Что такое знак абсолютной величины. Абсолютные величины и их классификация. Элективный курс по математике "абсолютная величина". Требования к уровню усвоения учебного материала

Упражнения для самостоятельной работы:

Решите неравенства:

№3. <3х–3,

№4. х 2 -3+2>0,

№5. х 2 -х<3,

№6. х 2 -6х+7-<0,

№7. 3+х 2 –7>0,

№8. >.

Занятие № 7 . Решение неравенств, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Пример. При каких значениях а верно неравенство: ах 2 +4+а+3<0 ?

При х0 имеем ах 2 +4х+а+3<0 . Старший коэффициент а должен быть отрицательным, дискриминант – меньше нуля.

а<0, Д=16–4а(а+3)<0; 16-4а 2 -12а<0; а 2 +3а-4>0; а<-4 и а>1 ;

абсцисса вершины параболы х 0 =-в/2а=- 4/2а=-2/а 0 , откуда а<-4 .

При х<0 имеем ах 2 –4х+а+3<0 . Рассуждая аналогично, получим: а<-4 .

Ответ: при а<-4 данное неравенство выполняется при всех действительных значениях х.

Упражнения для самостоятельной работы:

Решите неравенства с параметрами:

№2. (х–а)<0,

№3. Существуют ли такие значения а, при которых неравенство ах 2 >2+5 не имеет решений?

Занятия №8 - 9 . Метод интервалов решения уравнений и неравенств, содержащих модуль.

Рассмотрим метод интервалов на примере решения уравнения

-+3-2=х+2 .

Чтобы решить данное неравенство, необходимо раскрыть модули. Для этого выделим интервалы, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, принимают только положительные или отрицательные значения. Отыскание таких интервалов основано на теореме: если на интервале (а; в) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.

Чтобы выделить интервалы знакопостоянства, найдем точки, в которых выражения, записанные под модулем, обращаются в нуль:

х+1=0, х=-1; х=0; х–1=0, х=1; х–2=0, х=2.

Полученные точки разобьют прямую на искомые интервалы. Определим знаки выражений

х+1, х, х–1, х–2 на этих интервалах:

Учитывая знаки, раскроем модули. В результате получим совокупность систем, равносильную данному уравнению:

Последняя совокупность приводится к виду:

Решение совокупности систем и данного уравнения: -2; х 2.

Использованный прием называется методом интервалов . Он применяется и при решении неравенств.

Решить неравенство: +х–2<0.

1) Найдем нули выражения: х 2 -3х .

х 1 =0, х 2 =3.

2) Разобьем координатную прямую на интервалы и установим знак выражения х 2 -3х на каждом интервале:

3) Раскроем модуль:

Решение первой системы: , решение второй . Решение данного неравенства: .

Упражнения для самостоятельной работы:

№3

Занятие №10 - 11 . Решение неравенств вида , посредством равносильных переходов.

Рассмотрим неравенства вида и . Примем без доказательства следующую теорему: при любом значении а неравенство равносильно системе неравенств а неравенство равносильно совокупности неравенств

Рассмотрим пример: решить неравенство:>х+2 .

Пользуясь сформулированной теоремой, перейдем к совокупности неравенств:

Система и неравенство 0х>2 не имеют решений. Следовательно, решением совокупности (и данного неравенства) является х .

Упражнения для самостоятельной работы:

Занятие № 12. Применение свойств абсолютной величины при решении уравнений и неравенств.

При решении некоторых заданий находят применение свойства модуля. (При необходимости повторить их, см. занятие № 1).

Проиллюстрируем применение свойств модуля при решении следующих примеров.

Уравнения и их системы, содержащие знак абсолютной величины
(методическая разработка)

Параграф 1. Основные сведения.

Пункт 1. Определение абсолютной величины числа. Решение простейших уравнений.

Знакомство с понятием абсолютной величины числа (модуля числа) лучше начинать с его геометрической интерпретации: в геометрии модуль - это расстояние от точки, изображающей данное число на числовой оси или координатной плоскости, до начала координат. Так, число 5 расположено на числовой оси справа от нуля, а число -5 слева от нуля, но расстояния от точек, изображающих эти числа, до начала координат одинаковы и равны 5. Значение абсолютной величины числа a обозначается скобками: .
Поясним геометрическое определение модуля графически:

Соответственно устанавливается алгебраическое определение модуля некоторой величины:

.
Рассмотрим теперь простейшие (но важные для понимания материала) уравнения, включающие знак абсолютной величины. Под будем понимать некоторое алгебраическое выражение, содержащее неизвестную переменную.

А.Уравнения вида, где a - заданное число. (1)
Уточним стоящую перед нами задачу: если x - некоторое решение уравнения (1), то, согласно геометрическому определению модуля, точка f на числовой прямой расположена на расстоянии a от начала координат. Поэтому, если a0, то имеем две искомые точки: f1=-a, f2=a.

Итак, уравнение (1): при a0 имеет своими решениями решения уравнений и.
Коротко последнее утверждение записывается так:

Читается: множество решений уравнения при a>0 есть объединение множеств решений уравнений и.

Пример 1. Решить уравнения: а) ; б) ; в) ; г) .

Решения:
а) 
Ответ: x1=1 ; x2=6.

Б) => решений нет, т.к. модуль (абсолютное значение) любой величины не может быть отрицателен.
Ответ: решений нет.

В) 
Ответ: x1=-3; x2=0.

Г) 
Ответ: x1=-3; x2=3.

Пример 2. Решить уравнения: а) ; б) .

Решения:
а) согласно (1) в данном случае = , т.е. f(x)≥2. Поэтому уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

Ответ: x1=-5; x2=0; x3=2; x4=7.

В. Уравнения вида (2) и (3).
Поскольку модуль любого выражения - величина неотрицательная, следовательно, если x - решение уравнения (2), то и правая часть данного уравнения неотрицательна, т.е. . Но тогда в левой части этого же уравнения по определению равен просто. Вывод: при обязательном условии мы пришли к тождеству, поэтому решения неравенства будут одновременно решениями уравнения (2).
Рассуждая аналогично, получаем, что все решения неравенства являются решениями уравнения (3).

Пример 3. Решить уравнения: а) ; б) ; в) .
Решения:
а) 
Ответ: .

Б) 
Ответ: .

С. Уравнения вида (4).
Если x - решение уравнения (4), то, согласно геометрическому определению модуля, расстояния на числовой прямой от точек f и g до начала координат равны, т.е. либо точки f и g совпадают (имеем:), либо симметричны друг другу относительно начала координат (имеем:). Поэтому

В качестве особого следует упомянуть уравнение.
Решениями данного уравнения являются все x, при которых выражение определено.

Пример 4. Решить уравнения: а) ; б) ; в) ; г) .

Решения:

А) Данное уравнение есть уравнение вида, где. Эта функция определена при любых действительных x, поэтому x - любое.
Ответ: x - любое.

Б) 
Ответ: .

В) 
.
Ответ: .

Замечание: т.к.  , то обе части уравнения (4) можно возвести в квадрат, освобождаясь от модулей, причем среди корней получившегося уравнения не окажется «лишних» для нас.
Например: , откуда получаем.

D. Уравнения вида. (5)
Имеем: сумма неотрицательных по определению выражений равна нулю. Следовательно, каждое из слагаемых должно равняться нулю. Т.к. тогда и только тогда, когда, и тогда и только тогда, когда, следовательно уравнение (5) равносильно системе: .
Решать данную систему рациональнее следующим образом: выбрав из уравнений более простое, найти его решения и проверить их на соответствие всей системе подстановкой в оставшееся уравнение.

Пример 5. Решить уравнения: а) ;
б) .

Решения:

А)
Подставляем поочередно x=-1 и x=1 в первое уравнение, получаем, что оба уравнения системы выполнены только при x=-1.
Ответ: x=-1.

Б) Данное уравнение эквивалентно (равносильно) системе:

Ответ: x=-2.
Пункт 2. Метод интервалов. Решение простейших систем.

Пусть требуется решить уравнение. Согласно алгебраическому определению модуля:

Таким образом точка x=2 разбивает числовую ось на два интервала, на каждом из которых модульные скобки над выражением x-2 раскрываются по разному:

Поэтому решение исходного уравнения сводится к последовательному рассмотрению двух возможных ситуаций:
а) Предположим, что x - решение исходного уравнения, причем.
Тогда и имеем: , что соответствует условию а). Поэтому является решением исходного уравнения.
б) Предположим, что x - решение исходного уравнения, причем
Тогда и имеем: , что не соответствует условию б). Поэтому не является решением исходного уравнения.
Рассмотренное уравнение имеет единственный корень: .

Особенно метод интервалов полезен, если в уравнении несколько модульных скобок. Единственное затруднение - в определении четкой последовательности действий, поэтому настоятельно рекомендуется придерживаться следующего плана:

1) Определить все значения неизвестного, при которых выражения под знаками модуля обращаются в ноль или становятся неопределенны, и отметить полученные точки на числовой оси.
2) Решить исходное уравнение на каждом из выявленных числовых промежутков.
3) Объединить найденные решения в общий ответ.

Полезно по окончании первого этапа выписать, как именно в зависимости от положения неизвестного на числовой оси раскрываются каждые модульные скобки.

Упражнение: раскрыть модульные скобки в выражении.
Сначала рассматриваем внутренние скобки: при, поэтому отмечаем на числовой оси точку.
Затем рассматриваем внешние скобки: решаем уравнение (решение проводится изложенным выше методом интервалов:

Первое уравнение не имеет корней, а корнями второго являются числа 1 и -1, но x=1 не удовлетворяет условию).
Далее, выбрав произвольное x, большее -1, например x=0, убеждаемся, что при x>-1 ; выбрав произвольное x, меньшее -1, например x=-2, убеждаемся, что при x

В итоге на числовой оси отмечены точки x=-1 и x=0. На каждом из получившихся промежутков модули в исходном выражении раскрываются по «цепочке» (*):

При;
при;
при.

Пример 6.Решить уравнения: а) ; б) ; в) ; г) .
Решения:

А) I этап.
. Поэтому:
.

II этап.
1) Тогда поэтому исходное уравнение примет вид: .

2) . Тогда поэтому исходное уравнение примет вид: что не соответствует рассматриваемому отрезку, поэтому на данном промежутке исходное уравнение корней не имеет.
3) Тогда поэтому исходное уравнение примет вид: что соответствует рассматриваемому полуинтервалу, поэтому исходного уравнения.
III этап.
На первом и втором числовых промежутках уравнение решений не имеет. На третьем получили решение.
Ответ: .

Б) I этап.
Поэтому:

Имеем следующие числовые промежутки:

II этап.
1) Тогда поэтому исходное уравнение примет вид:
Получили верное числовое равенство, поэтому любое из данного полуинтервала является решением исходного уравнения!
2) . Имеем, раскрывая модули согласно результатам первого этапа: что соответствует рассматриваемому отрезку, поэтому есть решение исходного уравнения.
3) Раскрываем модули:
Получили неверное числовое равенство, поэтому на данном полуинтервале исходное уравнение корней не имеет.

III этап.
На первом промежутке:
На втором промежутке:
На третьем промежутке: нет решений.
Итог:
Ответ:

В) I этап.
Сначала рассматриваем «внутренний» модуль, затем «внешний»:
1) x=0 при x=0 =>
2)
Данное уравнение следует решить отдельно. Заметим при этом, что числовые промежутки, которые следует рассматривать, уже известны (см. (*)):
при имеем нет решений
при имеем,
но x1 не соответствует условию.
Итак, .
Само же выражение положительно при (например, x=10:) и отрицательно при (например, x=1:). Поэтому:

Имеем следующие числовые промежутки:

II этап.
На каждом промежутке сначала раскрываем внешние модульные скобки, затем внутренние.
1) .
: , что соответствует рассматриваемому интервалу, поэтому есть решение исходного уравнения.
2) .
: .
Проверим соответствие найденных корней заданному отрезку: - очевидно, проверим теперь, выполняется ли соотношение

Очевидно, т.е. является посторонним корнем.
3) .
: . Проверим полученное на соответствие заданному полуинтервалу: является корнем исходного уравнения.

III этап.
;
;
.
Ответ: .

Г) Особенностью данного уравнения является присутствие неизвестной величины в знаменателе дроби, поэтому необходимо на каждом числовом промежутке находить область определения уравнения (ООУ).

Имеем два полуинтервала:

II этап.
1) раскрывая модуль и упрощая, получаем уравнение.
ООУ: . При из ООУ, очевидно, получаем верное равенство, т.о. решениями исходного уравнения являются все.
2) раскрывая модуль и упрощая, получаем уравнение ООУ: . Тогда, что соответствует рассматриваемому полуинтервалу, поэтому есть решение исходного уравнения.

Ответ: .

B. Решение несложных систем уравнений, содержащих знак абсолютной величины, не должно вызывать трудностей: как правило, достаточно использовать известный учащимся метод подстановки.

Пример 7. Решить системы уравнений:
а) б) в) г)

Решения:
а) Из первого уравнения системы получаем:
Тогда, после подстановки (*), второе уравнение примет вид:
.
Согласно (*): при при.
Ответ:

Б) Из первого уравнения системы получаем:
.
При из второго уравнения системы получаем
соответственно, x=2.
При из второго уравнения системы получаем y=-5.
Ответ: .

В) Из второго уравнения системы получаем:
.
При из первого уравнения получаем.
При из первого уравнения получаем; соответственно, .
Ответ: .

Г) В данном случае проще воспользоваться методом сложения, а для решения получающегося уравнения - методом интервалов.
.

1) получаем решений нет;
2) получаем.
Вывод: и теперь из первого уравнения получаем.
Ответ: .

Пункт 3. Рациональные методы решения: простейшие геометрические и алгебраические соображения, обобщение метода интервалов, замена переменной.

А. Некоторые простые уравнения допускают ясную геометрическую интерпретацию, решение их значительно упрощается - «неподходящие» числовые промежутки сразу исключаются из рассмотрения.
Покажем сначала, что геометрически есть расстояние между точками числовой оси, изображающими числа и. Для этого на числовой оси, где уже отмечены и перенесем начало координат в точку. Координаты точек изменятся:

Расстояние между точками и это, согласно новой системе отсчета, расстояние между точками и, т.е.

Пример 8. Решить уравнения: а) б) в) г) д) .

Решения:
а)Требуется указать на числовой оси такие x, что сумма расстояний от x до 1 и от x до 3 равна 3 ед. Расстояние между 1 и 3 равно 2 ед., поэтому (иначе). Получается, что x лежит либо левее 1, либо правее 3 - на некотором расстоянии от них, причем в любом случае. Поэтому, откуда.

Теперь легко находятся два значения x.
Ответ: .
б) Требуется указать на числовой оси такие точки 2x, что расстояние от 2x до -2 больше расстояния от 2x до 7 на 9,12 ед.
Если, рассматриваемая разность всегда равна -9;
Если, рассматриваемая разность всегда равна 9;
Если, рассматриваемая разность меньше либо равна 9.
Пусть, например, :

Тогда.
Ответ: решений нет.

В) Перепишем уравнение в виде. Поэтому искомое x лежит в три раза ближе к 3, чем к 2:

=> нет решений, так как x всегда ближе к 2, чем к 3;
«на глазок», ;
=> «на глазок», .
Ответ: .

Г) Данный пример показывает, что очень полезным бывает «строгое» разбиение числовой оси на промежутки (без «перекрытий» вида):

Нет решений;
(соответствует рассматриваемому полуинтервалу);
нет решений.
Ответ: .

Д) Начнем с применения метода интервалов:

Замечем теперь, что при и за пределами данного отрезка. Имеет смысл поэтому рассматривать уравнение только на этом отрезке, причем получаем: . Очевидно, x=2.
Ответ: .

B. Изучая области значений правой и левой частей уравнения, нередко удается упростить ход решения, исключая заведомо неподходящие значения неизвестного.

Пример 9. Решить уравнения: а) б) в) г) .

Решения:

А) Левая часть уравнения неотрицательна при любых x, а в правой части - отрицательное число.
Ответ: решений нет.

Б) Левая часть уравнения неотрицательна при любых x, поэтому, если x - решение, то правая часть также неотрицательна. Значит, достаточно рассмотреть только значения x из области то есть. Но тогда Получили неверное равенство.
Ответ: решений нет.
в) Выражение положительно при любых x, поэтому внешние модульные скобки можно снять. Кроме того, если x - решение, то правая часть также положительна, поэтому достаточно рассмотреть x из области. Тогда и получаем (соответствует области).
Ответ: .

Г) Сумма двух неотрицательных слагаемых равна 1, если каждое из слагаемых не превосходит единицы: Так как, то на указанном отрезке получаем Если, то, очевидно, что нас не устраивает. Поэтому, если x - решение, то. А на этом полуинтервале получаем
Ясно, что - посторонний корень.
Ответ: .

C. Рассмотрим уравнения вида (1)
Решая данное уравнение методом интервалов, мы получим уравнение для тех промежутков, где и уравнение для промежутков, где. Ясно, что нет смысла рассматривать каждый промежуток по отдельности, - достаточно разделить их на две указанные группы: для каждой надо решить соответствующее уравнение и проверить полученные корни на соответствие поставленному условию. Таким образом

Возможен и другой вариант: ясно, что среди решений уравнения истинными корнями уравнения (1) будут те, при которых Проводя аналогичные рассуждения для случая, получаем

Какой из вариантов избрать, зависит от вида функций, например, если решения уравнений проще подставлять для проверки в, то разумнее применить первый способ.

Пример 10. Решить уравнения: а)
б) в) .

Решения:

А) Предположим,
Тогда имеем
Предположим,
Тогда имеем нет решений.
Проверим теперь полученные корни. Перепишем исходное уравнение:
. Поскольку, оба корня истинны.
Ответ:

Б) Предположим,
Тогда имеем нет решений.
Предположим,
Тогда имеем
Для определения истинности этих корней проверим выполнение условия Получаем: Очевидно, корень посторонний. Для проверки выясним, верно ли, что. Так как то есть рассматриваемое неравенство не выполнено.
Ответ: решений нет.

В) Перепишем уравнение: Используем следующую графическую иллюстрацию: (здесь представлены графики функций и).

Теперь ясно, что получившиеся числовые промежутки следует объединить в три следующие группы:
1) . Получаем (соответствует поставленному условию).
2) Получаем
нет решений.
3) Получаем
нет решений.
Ответ: .

D. Метод замены некоторого выражения новой буквенной переменной хорошо известен. Можно заметить только, что при решении уравнений, содержащих модуль, часто удается сразу ограничить область изменения новой переменной.
Пример 11. Решить уравнения или систему уравнений: а) ;
б) ;
в)

Решения:
а) Заменив новой переменной получаем систему что означает, что и являются корнями уравнения Получаем.
Ответ: .

Б) Заменив выражение новой переменной получим уравнение. Получаем:
. Остается решить данные уравнения.
Ответ: .

В) Перепишем уравнение в виде:
Очевидно, возможны два варианта:
1)
2) Заменим новой переменной. Заметим, что по смыслу замены и согласно ОДЗ данного уравнения, т.е. (*) А уравнение примет вид. Так как, получаем
Учитывая (*), окончательно получаем
Значит, Заменяя на, получаем
Так как по смыслу замены, получаем

Контрольные задания к §1.
1) Решите, пользуясь определением модуля числа:
а) б) в) г) д) е) ж) з) и) к) .

2)Решите «стандартные» уравнения:
а) б) в) г) д) е) ж) з) и) .

3) Решите методом интервалов:
а) б) ; в) г) д) е) ж) з) и) к) л) м) н) о) п) р) с) т) у) ф) х) ч)

4)Решите рациональным способом:
а) б) в) г) д) е) ж) з) и) к) л) м) н)

5)Решите системы уравнений:
а) б) в) г) д) е) ж) з) и) к) л) м) н) о) п) р)

Уравнения и их системы, содержащие знак абсолютной величины
(методическая разработка)

Параграф 1. Основные сведения.

Пункт 1. Определение абсолютной величины числа. Решение простейших уравнений.

Знакомство с понятием абсолютной величины числа (модуля числа) лучше начинать с его геометрической интерпретации: в геометрии модуль - это расстояние от точки, изображающей данное число на числовой оси или координатной плоскости, до начала координат. Так, число 5 расположено на числовой оси справа от нуля, а число -5 слева от нуля, но расстояния от точек, изображающих эти числа, до начала координат одинаковы и равны 5. Значение абсолютной величины числа a обозначается скобками: .
Поясним геометрическое определение модуля графически:

Соответственно устанавливается алгебраическое определение модуля некоторой величины:

.
Рассмотрим теперь простейшие (но важные для понимания материала) уравнения, включающие знак абсолютной величины. Под будем понимать некоторое алгебраическое выражение, содержащее неизвестную переменную.

А.Уравнения вида, где a - заданное число. (1)
Уточним стоящую перед нами задачу: если x - некоторое решение уравнения (1), то, согласно геометрическому определению модуля, точка f на числовой прямой расположена на расстоянии a от начала координат. Поэтому, если a0, то имеем две искомые точки: f1=-a, f2=a.

Итак, уравнение (1): при a0 имеет своими решениями решения уравнений и.
Коротко последнее утверждение записывается так:

Читается: множество решений уравнения при a>0 есть объединение множеств решений уравнений и.

Пример 1. Решить уравнения: а) ; б) ; в) ; г) .

Решения:
а) 
Ответ: x1=1 ; x2=6.

Б) => решений нет, т.к. модуль (абсолютное значение) любой величины не может быть отрицателен.
Ответ: решений нет.

В) 
Ответ: x1=-3; x2=0.

Г) 
Ответ: x1=-3; x2=3.

Пример 2. Решить уравнения: а) ; б) .

Решения:
а) согласно (1) в данном случае = , т.е. f(x)≥2. Поэтому уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

Ответ: x1=-5; x2=0; x3=2; x4=7.

В. Уравнения вида (2) и (3).
Поскольку модуль любого выражения - величина неотрицательная, следовательно, если x - решение уравнения (2), то и правая часть данного уравнения неотрицательна, т.е. . Но тогда в левой части этого же уравнения по определению равен просто. Вывод: при обязательном условии мы пришли к тождеству, поэтому решения неравенства будут одновременно решениями уравнения (2).
Рассуждая аналогично, получаем, что все решения неравенства являются решениями уравнения (3).

Пример 3. Решить уравнения: а) ; б) ; в) .
Решения:
а) 
Ответ: .

Б) 
Ответ: .

С. Уравнения вида (4).
Если x - решение уравнения (4), то, согласно геометрическому определению модуля, расстояния на числовой прямой от точек f и g до начала координат равны, т.е. либо точки f и g совпадают (имеем:), либо симметричны друг другу относительно начала координат (имеем:). Поэтому

В качестве особого следует упомянуть уравнение.
Решениями данного уравнения являются все x, при которых выражение определено.

Пример 4. Решить уравнения: а) ; б) ; в) ; г) .

Решения:

А) Данное уравнение есть уравнение вида, где. Эта функция определена при любых действительных x, поэтому x - любое.
Ответ: x - любое.

Б) 
Ответ: .

В) 
.
Ответ: .

Замечание: т.к.  , то обе части уравнения (4) можно возвести в квадрат, освобождаясь от модулей, причем среди корней получившегося уравнения не окажется «лишних» для нас.
Например: , откуда получаем.

D. Уравнения вида. (5)
Имеем: сумма неотрицательных по определению выражений равна нулю. Следовательно, каждое из слагаемых должно равняться нулю. Т.к. тогда и только тогда, когда, и тогда и только тогда, когда, следовательно уравнение (5) равносильно системе: .
Решать данную систему рациональнее следующим образом: выбрав из уравнений более простое, найти его решения и проверить их на соответствие всей системе подстановкой в оставшееся уравнение.

Пример 5. Решить уравнения: а) ;
б) .

Решения:

А)
Подставляем поочередно x=-1 и x=1 в первое уравнение, получаем, что оба уравнения системы выполнены только при x=-1.
Ответ: x=-1.

Б) Данное уравнение эквивалентно (равносильно) системе:

Ответ: x=-2.
Пункт 2. Метод интервалов. Решение простейших систем.

Пусть требуется решить уравнение. Согласно алгебраическому определению модуля:

Таким образом точка x=2 разбивает числовую ось на два интервала, на каждом из которых модульные скобки над выражением x-2 раскрываются по разному:

Поэтому решение исходного уравнения сводится к последовательному рассмотрению двух возможных ситуаций:
а) Предположим, что x - решение исходного уравнения, причем.
Тогда и имеем: , что соответствует условию а). Поэтому является решением исходного уравнения.
б) Предположим, что x - решение исходного уравнения, причем
Тогда и имеем: , что не соответствует условию б). Поэтому не является решением исходного уравнения.
Рассмотренное уравнение имеет единственный корень: .

Особенно метод интервалов полезен, если в уравнении несколько модульных скобок. Единственное затруднение - в определении четкой последовательности действий, поэтому настоятельно рекомендуется придерживаться следующего плана:

1) Определить все значения неизвестного, при которых выражения под знаками модуля обращаются в ноль или становятся неопределенны, и отметить полученные точки на числовой оси.
2) Решить исходное уравнение на каждом из выявленных числовых промежутков.
3) Объединить найденные решения в общий ответ.

Полезно по окончании первого этапа выписать, как именно в зависимости от положения неизвестного на числовой оси раскрываются каждые модульные скобки.

Упражнение: раскрыть модульные скобки в выражении.
Сначала рассматриваем внутренние скобки: при, поэтому отмечаем на числовой оси точку.
Затем рассматриваем внешние скобки: решаем уравнение (решение проводится изложенным выше методом интервалов:

Первое уравнение не имеет корней, а корнями второго являются числа 1 и -1, но x=1 не удовлетворяет условию).
Далее, выбрав произвольное x, большее -1, например x=0, убеждаемся, что при x>-1 ; выбрав произвольное x, меньшее -1, например x=-2, убеждаемся, что при x

В итоге на числовой оси отмечены точки x=-1 и x=0. На каждом из получившихся промежутков модули в исходном выражении раскрываются по «цепочке» (*):

При;
при;
при.

Пример 6.Решить уравнения: а) ; б) ; в) ; г) .
Решения:

А) I этап.
. Поэтому:
.

II этап.
1) Тогда поэтому исходное уравнение примет вид: .

2) . Тогда поэтому исходное уравнение примет вид: что не соответствует рассматриваемому отрезку, поэтому на данном промежутке исходное уравнение корней не имеет.
3) Тогда поэтому исходное уравнение примет вид: что соответствует рассматриваемому полуинтервалу, поэтому исходного уравнения.
III этап.
На первом и втором числовых промежутках уравнение решений не имеет. На третьем получили решение.
Ответ: .

Б) I этап.
Поэтому:

Имеем следующие числовые промежутки:

II этап.
1) Тогда поэтому исходное уравнение примет вид:
Получили верное числовое равенство, поэтому любое из данного полуинтервала является решением исходного уравнения!
2) . Имеем, раскрывая модули согласно результатам первого этапа: что соответствует рассматриваемому отрезку, поэтому есть решение исходного уравнения.
3) Раскрываем модули:
Получили неверное числовое равенство, поэтому на данном полуинтервале исходное уравнение корней не имеет.

III этап.
На первом промежутке:
На втором промежутке:
На третьем промежутке: нет решений.
Итог:
Ответ:

В) I этап.
Сначала рассматриваем «внутренний» модуль, затем «внешний»:
1) x=0 при x=0 =>
2)
Данное уравнение следует решить отдельно. Заметим при этом, что числовые промежутки, которые следует рассматривать, уже известны (см. (*)):
при имеем нет решений
при имеем,
но x1 не соответствует условию.
Итак, .
Само же выражение положительно при (например, x=10:) и отрицательно при (например, x=1:). Поэтому:

Имеем следующие числовые промежутки:

II этап.
На каждом промежутке сначала раскрываем внешние модульные скобки, затем внутренние.
1) .
: , что соответствует рассматриваемому интервалу, поэтому есть решение исходного уравнения.
2) .
: .
Проверим соответствие найденных корней заданному отрезку: - очевидно, проверим теперь, выполняется ли соотношение

Очевидно, т.е. является посторонним корнем.
3) .
: . Проверим полученное на соответствие заданному полуинтервалу: является корнем исходного уравнения.

III этап.
;
;
.
Ответ: .

Г) Особенностью данного уравнения является присутствие неизвестной величины в знаменателе дроби, поэтому необходимо на каждом числовом промежутке находить область определения уравнения (ООУ).

Имеем два полуинтервала:

II этап.
1) раскрывая модуль и упрощая, получаем уравнение.
ООУ: . При из ООУ, очевидно, получаем верное равенство, т.о. решениями исходного уравнения являются все.
2) раскрывая модуль и упрощая, получаем уравнение ООУ: . Тогда, что соответствует рассматриваемому полуинтервалу, поэтому есть решение исходного уравнения.

Ответ: .

B. Решение несложных систем уравнений, содержащих знак абсолютной величины, не должно вызывать трудностей: как правило, достаточно использовать известный учащимся метод подстановки.

Пример 7. Решить системы уравнений:
а) б) в) г)

Решения:
а) Из первого уравнения системы получаем:
Тогда, после подстановки (*), второе уравнение примет вид:
.
Согласно (*): при при.
Ответ:

Б) Из первого уравнения системы получаем:
.
При из второго уравнения системы получаем
соответственно, x=2.
При из второго уравнения системы получаем y=-5.
Ответ: .

В) Из второго уравнения системы получаем:
.
При из первого уравнения получаем.
При из первого уравнения получаем; соответственно, .
Ответ: .

Г) В данном случае проще воспользоваться методом сложения, а для решения получающегося уравнения - методом интервалов.
.

1) получаем решений нет;
2) получаем.
Вывод: и теперь из первого уравнения получаем.
Ответ: .

Пункт 3. Рациональные методы решения: простейшие геометрические и алгебраические соображения, обобщение метода интервалов, замена переменной.

А. Некоторые простые уравнения допускают ясную геометрическую интерпретацию, решение их значительно упрощается - «неподходящие» числовые промежутки сразу исключаются из рассмотрения.
Покажем сначала, что геометрически есть расстояние между точками числовой оси, изображающими числа и. Для этого на числовой оси, где уже отмечены и перенесем начало координат в точку. Координаты точек изменятся:

Расстояние между точками и это, согласно новой системе отсчета, расстояние между точками и, т.е.

Пример 8. Решить уравнения: а) б) в) г) д) .

Решения:
а)Требуется указать на числовой оси такие x, что сумма расстояний от x до 1 и от x до 3 равна 3 ед. Расстояние между 1 и 3 равно 2 ед., поэтому (иначе). Получается, что x лежит либо левее 1, либо правее 3 - на некотором расстоянии от них, причем в любом случае. Поэтому, откуда.

Теперь легко находятся два значения x.
Ответ: .
б) Требуется указать на числовой оси такие точки 2x, что расстояние от 2x до -2 больше расстояния от 2x до 7 на 9,12 ед.
Если, рассматриваемая разность всегда равна -9;
Если, рассматриваемая разность всегда равна 9;
Если, рассматриваемая разность меньше либо равна 9.
Пусть, например, :

Тогда.
Ответ: решений нет.

В) Перепишем уравнение в виде. Поэтому искомое x лежит в три раза ближе к 3, чем к 2:

=> нет решений, так как x всегда ближе к 2, чем к 3;
«на глазок», ;
=> «на глазок», .
Ответ: .

Г) Данный пример показывает, что очень полезным бывает «строгое» разбиение числовой оси на промежутки (без «перекрытий» вида):

Нет решений;
(соответствует рассматриваемому полуинтервалу);
нет решений.
Ответ: .

Д) Начнем с применения метода интервалов:

Замечем теперь, что при и за пределами данного отрезка. Имеет смысл поэтому рассматривать уравнение только на этом отрезке, причем получаем: . Очевидно, x=2.
Ответ: .

B. Изучая области значений правой и левой частей уравнения, нередко удается упростить ход решения, исключая заведомо неподходящие значения неизвестного.

Пример 9. Решить уравнения: а) б) в) г) .

Решения:

А) Левая часть уравнения неотрицательна при любых x, а в правой части - отрицательное число.
Ответ: решений нет.

Б) Левая часть уравнения неотрицательна при любых x, поэтому, если x - решение, то правая часть также неотрицательна. Значит, достаточно рассмотреть только значения x из области то есть. Но тогда Получили неверное равенство.
Ответ: решений нет.
в) Выражение положительно при любых x, поэтому внешние модульные скобки можно снять. Кроме того, если x - решение, то правая часть также положительна, поэтому достаточно рассмотреть x из области. Тогда и получаем (соответствует области).
Ответ: .

Г) Сумма двух неотрицательных слагаемых равна 1, если каждое из слагаемых не превосходит единицы: Так как, то на указанном отрезке получаем Если, то, очевидно, что нас не устраивает. Поэтому, если x - решение, то. А на этом полуинтервале получаем
Ясно, что - посторонний корень.
Ответ: .

C. Рассмотрим уравнения вида (1)
Решая данное уравнение методом интервалов, мы получим уравнение для тех промежутков, где и уравнение для промежутков, где. Ясно, что нет смысла рассматривать каждый промежуток по отдельности, - достаточно разделить их на две указанные группы: для каждой надо решить соответствующее уравнение и проверить полученные корни на соответствие поставленному условию. Таким образом

Возможен и другой вариант: ясно, что среди решений уравнения истинными корнями уравнения (1) будут те, при которых Проводя аналогичные рассуждения для случая, получаем

Какой из вариантов избрать, зависит от вида функций, например, если решения уравнений проще подставлять для проверки в, то разумнее применить первый способ.

Пример 10. Решить уравнения: а)
б) в) .

Решения:

А) Предположим,
Тогда имеем
Предположим,
Тогда имеем нет решений.
Проверим теперь полученные корни. Перепишем исходное уравнение:
. Поскольку, оба корня истинны.
Ответ:

Б) Предположим,
Тогда имеем нет решений.
Предположим,
Тогда имеем
Для определения истинности этих корней проверим выполнение условия Получаем: Очевидно, корень посторонний. Для проверки выясним, верно ли, что. Так как то есть рассматриваемое неравенство не выполнено.
Ответ: решений нет.

В) Перепишем уравнение: Используем следующую графическую иллюстрацию: (здесь представлены графики функций и).

Теперь ясно, что получившиеся числовые промежутки следует объединить в три следующие группы:
1) . Получаем (соответствует поставленному условию).
2) Получаем
нет решений.
3) Получаем
нет решений.
Ответ: .

D. Метод замены некоторого выражения новой буквенной переменной хорошо известен. Можно заметить только, что при решении уравнений, содержащих модуль, часто удается сразу ограничить область изменения новой переменной.
Пример 11. Решить уравнения или систему уравнений: а) ;
б) ;
в)

Решения:
а) Заменив новой переменной получаем систему что означает, что и являются корнями уравнения Получаем.
Ответ: .

Б) Заменив выражение новой переменной получим уравнение. Получаем:
. Остается решить данные уравнения.
Ответ: .

В) Перепишем уравнение в виде:
Очевидно, возможны два варианта:
1)
2) Заменим новой переменной. Заметим, что по смыслу замены и согласно ОДЗ данного уравнения, т.е. (*) А уравнение примет вид. Так как, получаем
Учитывая (*), окончательно получаем
Значит, Заменяя на, получаем
Так как по смыслу замены, получаем

Контрольные задания к §1.
1) Решите, пользуясь определением модуля числа:
а) б) в) г) д) е) ж) з) и) к) .

2)Решите «стандартные» уравнения:
а) б) в) г) д) е) ж) з) и) .

3) Решите методом интервалов:
а) б) ; в) г) д) е) ж) з) и) к) л) м) н) о) п) р) с) т) у) ф) х) ч)

4)Решите рациональным способом:
а) б) в) г) д) е) ж) з) и) к) л) м) н)

5)Решите системы уравнений:
а) б) в) г) д) е) ж) з) и) к) л) м) н) о) п) р)

Задания на построение графиков функции «модуль» и задачи с параметрами традиционно - это одна из самых трудных тем математики, поэтому она всегда включена в задания повышенного и высокого уровня ГИА и ЕГЭ.

Понятие «модуль» изучается в школе с 6 класса, причем на уровне,только определения и вычисления, несмотря на то, что он широко применяется во многих разделах школьного курса математики, например, в изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике будут изучаться понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях.

Перед выпускниками стоит проблема – удачно сдать ГИА в 9классе, а в дальнейшем и ЕГЭ.

В этом году на уроках математики мы познакомились с понятием линейной функции и научились строить ее график. Было показано, что этот ее график берется за основу построения функции «модуль». Кроме того, учитель сказала, что уравнения бывают с одним и несколькими модулям. Я решила глубже изучить эту тему, тем более, что она мне пригодится при сдаче экзаменов.

Тема «Графический метод решения уравнений, содержащих абсолютную величину»

Цель работы : исследование возможности рационального построения графиков с модулями для решения уравнений, содержащих модуль и параметр

Изучить теорию по решению методов уравнений с модулем.

Научиться решать уравнения 1 й степени, содержащие знак абсолютной величины.

Классифицировать графические методы решения уравнений.

Проанализировать достоинства и недостатки различных методов построения графиков функции «модуль».

Узнать, что такое параметр

Применить рациональные методы для решения уравнений с параметром

Объект – методы решения уравнений с модулем

Предмет графический метод решения уравнений

Методы исследования: теоретические и практические:

теоретические - это изучение литературы по теме исследования; интернет – информации;

практические- это анализ информации, полученной при изучении литературы, результатов, полученных при решении уравнений с модулем различными способами;

сравнение способов решения уравнений предмет рациональности их использования при решении различных уравнений с модулем.

Глава I

Понятия и определения

1.1.Понятие «модуль» широко применяется во многих разделах школьного курса математики, например, в изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus », что в переводе означает «мера». Это слово имеет множество значений и применяется не только в математике, физике и технике, но и в архитектуре, программировании и других точных науках.Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Знак модуля был введен в XIX веке Вейерштрассом.

В архитектуре модуль– исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения.В технике – это термин, применяемый в различных областях техники, служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например, модуль упругости, модуль зацепления.В математике модуль имеет несколько значений, но я буду рассматривать его как абсолютную величину числа.

Определение: Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само это число, если а ≥0, или противоположное число – а , если а<0; модуль нуля равен нулю.

Модуль-это расстояние на координатной прямой от нуля до точки.

1.2. Уравнение с модулем – это уравнение, содержащее переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет. Методы решения уравнений с модулем:

1.По определению модуля - «снятие модуля». Решение происходит на основе определения.

2.Аналитический метод- решение уравнений с использованием преобразований выражений, входящих в уравнение и свойств модуля.

3.Метод интервалов: раскрытие модуля на интервалах и полуинтервалах, образованными «нулями» модулей.

4.Графический метод. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций, представляющих левую и правую часть уравнения. В случае, если графики пересекутся, то абсциссы точек пересечений данных графиков будут являться корнями данного уравнения.

1.3.Методы построения графиков функции с модулем

1.3.1. По определению. Строятся две прямые у=кх+в, где х>0, у=-кх+в, где х <0

1.3.2 Метод симметрии. Строится график у=кх+в, при х>0.Часть прямой при х <0 отображается относительно оси абцисс.

1.3.3.Преобразование функций:

а) у=|x |+n график сдвигается вверх по оси ординат на в единиц

б) у=|x |-n график сдвигается вниз по оси ординат

с) у=|x +n | график сдвигается влево по оси абцисс

d )у=|x -n | график сдвигается вправо по оси абцисс

1.3.4. Метод интервалов. Координатная прямая разбивается на интервалы и полуинтервалы нулями модулей. Далее, используя определение модуля, для каждой из найденных областей получим уравнение, которое необходимо решить на данном промежутке и получить функцию.

1.3.5. Метод расширения областей нулей. В том случае, когда модулей несколько, удобнее не раскрывать модули, а использовать следующее утверждение: алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет собой кусочно-линейную функцию, график которой состоит из n +1 прямолинейных отрезков.

Тогда график может быть построен по n +2 точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна - произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней и последняя - с абсциссой, большей большего из корней.

1.4. Имеем уравнение ax+b=c. В этом уравнении х – неизвестное, a,b,c – коэффициенты, которые могут принимать различные числовые значения. Заданные таким образом коэффициенты называются параметрами. Одно уравнение с параметрами задает множество уравнений (для всех возможных значений параметров).

это все уравнения, которые задает уравнение с параметрами ax+b=c.

Решить уравнение с параметрами – это значит:

Указать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.

Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение определяет корень уравнения.

1.5.Выводы:

Таким образом, существуют разные методы построения графиков с модулем, которые необходимо исследовать на возможность их рационального применения.

Глава II

Анализ методов построения графиков функций, содержащих модуль, и применение

«График – это говорящая линия,

которая может о многом рассказать»

М.Б.Балк

2.1. Изучая виды уравнений с модулем, мы увидели, что их можно и разделить по типам и методам решения.

Таблица. Классификация типов уравнений и их методов решения.

Тип уравнения

Вид уравнения

Метод решения

1.Уравнение с одним модулем

|xn|=a

|x|n=a

1.По определению модуля

2.Графический

3.Аналитический

2.Уравнение, содержащее 2 модуля

|xn||xm|=a

1.По определению модуля

2.Графический

3.Метод интервалов

4.Аналитический

3.Вложенные модули

|||xn|m||= а

1.По определению модуля

2.Графический

Вывод: таким образом, классификация уравнений дает нам общие методы решения всех типов уравнений - это по определению модуля и графический метод.

2.2.Анализ построения графиков .

2.2.1. Тип 1. Построение у=|x |

2.2.1.1.По определению .

1.Строим прямую у=х

2.Выделяем часть прямой при х0

3.Строим прямую у=-х

4.Выделяем часть прямой при х<0

2.2.1.2. Метод симметрии

1.Строим прямую у=х

2.Строим симметрию относительно оси абцисс при х<0

2.2.1.3. Построение у=|x -2|

1.Строим прямую у=х-2

2.Выделяем часть прямой при х-20

3.Строим прямую у=-х+2

4.Выделяем часть прямой при х-2<0

Вывод: метод симметрии рациональнее

2.2.2. Тип 2.

Задание: построить график у=

2.2.2.1.Метод интервалов

1. на
получаем у=-х+3+1-х-4 ; у = -2х

2. на
получаему=-х+3-1+х-4; у = -2

3. на
получаем у=х-3-1+х-4; у = 2х-8

4.Строим все прямые.

5.Выделяем части прямых на интервалах

2.2.2.2.Метод расширения областей нулей

1.Нули: 3 и 1; расширенная область: 2,4,0

2.Вычисляем значения в: 3,1,2,4,0 это: -2, -2, -2, 0, 0

3.Расставляем точки с их координатами и соединяем

Вывод: Метод расширения области нулей рациональнее

2.2.3. Тип 3. Вложенные модули-«матрешка»

Исследуем построение у=||х|-1|

2.2.3.1. По определению модуля

По определению главного модуля имеем:

1) х>0 у=|х|-1

2) х<0 у=-|х|+1

2. «Снимаем» следующий модуль:

Модуль: у=х-1, х>0 и у=-х+1 х<0

у=-х+1 х>0 у=х-1 х<0

3. Строим графики

2.2.3.2.Метод симметрии

1. у=|х|-1
у=х-1,симметрия

2. Симметрия относительно оси абцисс части графика, где х-1<0

Вывод: метод симметрии рациональнее.

2.2.4. Сведем анализ результатов в таблицу:

Знания и умения

Недостатки

По определению

Определение модуля

Знать: как определяются координаты точек прямых

Уметь выделять часть прямой по неравенству

Громоздкие решения

Применение большого объема знаний

При «снятии» модуля можно допустить ошибки

Метод симметрии

Знать и уметь применять преобразование функции

Строить симметрию относительно оси абцисс

Знание алгоритмов преобразования графиков

Метод интервалов

Находить нули модуля

Определять интервалы и полуинтервалы

Раскрывать модули

Вычислять модули

Приводить подобные слагаемые

Уметь строить точки по их координатам

Строить прямые

Громоздкие решения

Много вычислений и преобразований при снятии нулей

Занимает много времени

Правильность определения интервалов и полуинтервалов

Метод расширения области нулей

Находить нули модуля

Уметь расширять область нулей

Уметь вычислять модули в этих точках

Уметь строить точки по их координатам

Допуск ошибок в вычислениях

Метод преобразований функций

Знать алгоритм преобразования

Уметь строить точки по их координатам

Уметь вычислять координаты точек

Уметь применять алгоритм преобразования

Знание алгоритмов преобразования графиков

Вывод: анализируя таблицу, делаем вывод, что метод симметрии и расширения области нулей самые рациональные, т.к. содержат меньше всего действий для построения, а значит экономят времени.

2.3.Применение рациональных методов построения графиков к решению уравнений с модулем и параметром

2.3.1. Решить уравнение:

Строим у=
и у=0,5-х

2.Расширенная область:-1,2

3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)

4.Проводим отрезки и лучи

2.3.2. ЕГЭ 2009г. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
, имеет ровно 1 корень.а =7. в ходе проделанной работы нам удалось изучить и проанализировать разные методы построения графиков. В результате анализа и сравнения методов построения графиков получили следующие выводы:

Перевод алгебраической задачи на язык г рафиков позволяет избежать громоздких решений;

При решении уравнений, содержащих модуль и параметр, графический способ является более наглядным и сравнительно более простым;

При построении графиков, содержащих 2 модуля и «матрешку» практичнее метод симметрии;

Хотя графический способ решения уравнений является приближенным, т.к. точность зависит от выбранного единичного отрезка, толщины карандаша, углов под которыми пересекаются линии и т.д., но этот метод позволяет оценивать кол-во корней уравнений для решения уравнений с параметром.

Учитывая, что одни из самых популярных заданий на ЕГЭ и ГИА уравнения с модулем, то, что главным моим результатом является то, что я могу решать уравнения с модулем и параметром графическим способом.

Список литературы

1.Данкова И. «Предпрофильная подготовка по математике», Москва, 2006г.

2. Внеклассная работа по математике. Альхова З.Н., Макеева А.В., г. Саратов: Лицей, 2003.

3.Математика. Учебное пособие под редакцией Муравья Л.Я., г. Москва Бридж, 1994.

4. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. Выпуск-2.Автор-составитель: М.Е. Козина., г. Волгоград: Учитель,2007

5. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. М,2006г.