При изучении систем случайных величин всегда следует обращать внимание на степень и характер их зависимости. Эта зависимость может быть более или менее тесной.
Понятие о независимых случайных величинах -- одно из важных понятий теории вероятностей.
Определение 1. Случайная величина Y называется независимой от случайной величины X, если закон распределения величины Y не зависит от того, какое значение приняла величина X.
Для непрерывных случайных величин условие независимости Y от X может быть записано в виде:
Напротив, в случае, если Y зависит от X, то
Докажем, что зависимость или независимость случайных величин всегда взаимны: если величина Y не зависит от X, то и величина X не зависит от Y.
Действительно, пусть Y не зависит от X , тогда
Плотность совместного распределения согласно (5.4.5) и (5.4.6) можно записать
откуда, получим:
что и требовалось доказать.
Так как зависимость и независимость случайных величин всегда взаимны, можно дать новое определение независимых случайных величин.
Определение 2. Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины X и Y называются зависимыми.
Для независимых непрерывных случайных величин теорема умножения законов распределения принимает вид:
т.е. плотность распределения системы независимых случайных величин равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему.
Остановимся, несколько подробнее на важных понятиях о «зависимости» и «независимости» случайных величин.
Понятие «зависимости» случайных величин, которым мы пользуемся в теории вероятностей, несколько отличается от обычного понятия «зависимости» величин, которым мы оперируем в математике. Действительно, обычно под «зависимостью» величин подразумевают только один тип зависимости--полную, жесткую, так называемую функциональную зависимость. Две величины X и Y называются функционально зависимыми, если, зная значение одной из них, можно точно указать значение другой.
В теории вероятностей мы встречаемся с другим, более общим, типом зависимости -- с вероятностной или «стохастической» зависимостью. Если величина Y связана с величиной X вероятностной зависимостью, то, зная значение X, нельзя указать точно значение Y, а можно указать только ее закон распределения, зависящий от того, какое значение приняла величина X.
Вероятностная зависимость между случайными величинами очень часто встречается на практике. Если случайные величины X и Y находятся в вероятностной зависимости, это не означает, что с изменением величины X величина Y изменяется вполне определенным образом; это лишь означает, что с изменением величины X величина Y имеет тенденцию также изменяться (например, возрастать или убывать при возрастании X).
Рассмотрим, например, две такие случайные величины: X -- рост наугад взятого человека, Y -- его вес. Очевидно, величины X и Y находятся в определенной вероятностной зависимости; она выражается в том, что в общем люди с большим ростом имеют больший вес.
Две случайные величины $X$ и $Y$ называются независимыми, если закон распределения одной случайной величины не изменяется от того, какие возможные значения приняла другая случайная величина. То есть, для любых $x$ и $y$ события $X=x$ и $Y=y$ являются независимыми. Поскольку события $X=x$ и $Y=y$ независимые, то по теореме произведения вероятностей независимых событий $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\right)\right)=P\left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$.
Пример 1 . Пусть случайная величина $X$ выражает денежный выигрыш по билетам одной лотереи «Русское лото», а случайная величина $Y$ выражает денежный выигрыш по билетам другой лотереи «Золотой ключ». Очевидно, что случайные величины $X,\ Y$ будут независимыми, так как выигрыш по билетам одной лотереи не зависит от закона распределения выигрышей по билетам другой лотереи. В том случае, когда случайные величины $X,\ Y$ выражали бы выигрыш по одной и той же лотереи, то, очевидно, данные случайные величины были бы зависимыми.
Пример 2 . Двое рабочих трудятся в разных цехах и изготавливают различные изделия, несвязанные между собой технологиями изготовления и используемым сырьем. Закон распределения числа бракованных изделий, изготовленных первым рабочим за смену, имеет следующий вид:
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
Число \ бракованных \ изделий \ x & 0 & 1 \\
\hline
Вероятность & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\end{array}$
Число бракованных изделий, изготовленных вторым рабочим за смену, подчиняется следующими закону распределения.
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
Число \ бракованных \ изделий \ y & 0 & 1 \\
\hline
Вероятность & 0,7 & 0,3 \\
\hline
\end{array}$
Найдем закон распределения числа бракованных изделий, изготовленных двумя рабочими за смену.
Пусть случайная величина $X$ - число бракованных изделий, изготовленных первым рабочим за смену, а $Y$ - число бракованных изделий, изготовленных вторым рабочим за смену. По условию, случайные величины $X,\ Y$ независимы.
Число бракованных изделий, изготовленных двумя рабочими за смену, есть случайная величина $X+Y$. Ее возможные значения равны $0,\ 1$ и $2$. Найдем вероятности, с которыми случайная величина $X+Y$ принимает свои значения.
$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right)=0,8\cdot 0,7=0,56.$
$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\ Y=1\ или\ X=1,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=1\right)+P\left(X=1\right)P\left(Y=0\right)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7=0,38.$
$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\ Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\right)=0,2\cdot 0,3=0,06.$
Тогда закон распределения числа бракованных изделий, изготовленных двумя рабочими за смену:
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
Число \ бракованных \ изделий & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Вероятность & 0,56 & 0,38 & 0,06 \\
\hline
\end{array}$
В предыдущем примере мы выполняли операцию над случайными величинами $X,\ Y$, а именно находили их сумму $X+Y$. Дадим теперь более строгое определение операций (сложение, разность, умножение) над случайными величинами и приведем примеры решений.
Определение 1 . Произведением $kX$ случайной величины $X$ на постоянную величину $k$ называется случайная величина, которая принимает значения $kx_i$ с теми же вероятностями $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \dots ,\ n\right)$.
Определение 2 . Суммой (разностью или произведением) случайных величин $X$ и $Y$ называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ или $x_i\cdot y_i$), где $i=1,\ 2,\dots ,\ n$, с вероятностями $p_{ij}$ того, что случайная величина $X$ примет значение $x_i$, а $Y$ значение $y_j$:
$$p_{ij}=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right].$$
Так как случайные величины $X,\ Y$ независимые, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий: $p_{ij}=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right)=p_i\cdot p_j$.
Пример 3 . Независимые случайные величины $X,\ Y$ заданы своими законами распределения вероятностей.
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end{array}$
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end{array}$
Составим закон распределения случайной величины $Z=2X+Y$. Суммой случайных величин $X$ и $Y$, то есть $X+Y$, называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида $x_i+y_j$, где $i=1,\ 2,\dots ,\ n$, с вероятностями $p_{ij}$ того, что случайная величина $X$ примет значение $x_i$, а $Y$ значение $y_j$: $p_{ij}=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right]$. Так как случайные величины $X,\ Y$ независимые, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий: $p_{ij}=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right)=p_i\cdot p_j$.
Итак, имеет законы распределения случайных величины $2X$ и $Y$ соответственно.
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end{array}$
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end{array}$
Для удобства нахождения всех значений суммы $Z=2X+Y$ и их вероятностей составим вспомогательную таблицу, в каждой клетке которой поместим в левом углу значения суммы $Z=2X+Y$, а в правом углу - вероятности этих значений, полученные в результате перемножения вероятностей соответствующих значений случайных величин $2X$ и $Y$.
В результате получим распределение $Z=2X+Y$:
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\end{array}$
СОБЫТИЯ СЛУЧАЙНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ
- такие случайные события А
и В,
для которых вероятность Р
одновременного наступления 2-х событий А к В
равна произведению вероятностей наступления каждого из них в отдельности: Р(АВ) = Р(А)·Р(В).
Аналогично определение независимости п
случайных событий. Это определение распространяется на независимость случайных величин,
а именно, случайные величины X 1 , Х 2 , ...,
Х п
независимы, если для любой группы Х i1 , X i2 , ..., X ik ,
этих величин верно равенство: Р(Х i1 ≤ х i1, Х i2 ≤ х i2 , ...,
Х ik ≤ x ik) = Р(Х i1 ≤ х i2)Р(Х i2 ≤х i2)...(Р(Х ik ≤ х ik); 1≤ k ≤ n.
При решении геол. задач методами теории вероятностей и математической статистики
корректная зависимости изучаемых величин часто является наиболее сложной и ответственной частью исследования.
Геологический словарь: в 2-х томах. - М.: Недра . Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др. . 1978 .
Смотреть что такое "СОБЫТИЯ СЛУЧАЙНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ" в других словарях:
См. События независимые случайные. Геологический словарь: в 2 х томах. М.: Недра. Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др.. 1978 … Геологическая энциклопедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Независимость (значения). В теории вероятностей два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Аналогично, две случайные … Википедия
Коэффициент корреляции - (Correlation coefficient) Коэффициент корреляции это статистический показатель зависимости двух случайных величин Определение коэффициента корреляции, виды коэффициентов корреляции, свойства коэффициента корреляции, вычисление и применение… … Энциклопедия инвестора
Математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных к. л. образом с первыми. Утверждение о том, что к. л. событие наступает с вероятностью, равной, напр., 1/2, еще не… … Математическая энциклопедия
В теории вероятностей одно из важнейших понятий этой теории. Иногда используют термины статистическая независимость, стохастическая независимость. Предположение о Н. рассматриваемых событий, испытаний и случайных величин было обычной предпосылкой … Математическая энциклопедия
Математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким либо образом с первыми. Утверждение о том, что какое либо событие наступает с Вероятностью,… … Большая советская энциклопедия
ГОСТ Р 50779.10-2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения - Терминология ГОСТ Р 50779.10 2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения оригинал документа: 2.3. (генеральная) совокупность Множество всех рассматриваемых единиц. Примечание Для случайной величины… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Занимается изучением событий, наступление которых достоверно неизвестно. Она позволяет судить о разумности ожидания наступления одних событий по сравнению с другими, хотя приписывание численных значений вероятностям событий часто бывает излишним… … Энциклопедия Кольера
Раздел математики, в к ром строят и изучают матем. модели случайных явлении. Случайность присуща в той или иной степени подавляющему большинству протекающих в природе процессов. Обычно она присутствует там, где существ. влияние на ход процесса… … Физическая энциклопедия
В математической статистике статистический метод, предназначенный для выявления влияния отдельных факторов на результат эксперимента, а также для последующего планирования аналогичных экспериментов. Первоначально Д. а. был предложен Р. Фишером… … Математическая энциклопедия
Любой из них, не зависит от того, какие значения приняли (или примут) остальные случайные величины.
Например, система двух игральных кубиков – совершенно понятно, что результат броска одного кубика никак не влияет на вероятности выпадения граней другого кубика. Или одинаковые независимо работающие игровые автоматы. И, наверное, у некоторых сложилось впечатление, что независимы вообще любые СВ. Однако это далеко не всегда так.
Рассмотрим одновременное сбрасывание двух кубиков-магнитов, у которых северные полюса находятся на стороне 1-очковой грани и южные – на противоположной грани в 6 очков. Будут ли независимыми аналогичные случайные величины? Да, будут. Просто снизятся вероятности выпадения «1» и «6» и увеличатся шансы других граней, т.к. в результате испытания кубики могут притянуться противоположными полюсами.
Теперь рассмотрим систему , в которой кубики сбрасываются последовательно :
– количество очков, выпавших на первом кубике;
– количество очков, выпавших на втором кубике, при условии, что он всё время сбрасывается по правую (например) сторону от 1-го кубика .
В этом случае закон распределения случайной величины зависит от того, как расположился 1-й кубик. Вторая кость может либо притянуться, либо наоборот – отскочить (если «встретились» одноимённые полюса), либо частично или полностью проигнорировать 1-й кубик.
Второй пример: предположим, что одинаковых игровых автоматов объединены в единую сеть, и 
– есть система случайных величин - выигрышей на соответствующих автоматах. Не знаю, законна ли эта схема, но владелец игрового зала вполне может настроить сеть следующим образом: при выпадении крупного выигрыша на каком-либо автомате, автоматически меняются законы распределения выигрышей вообще на всех автоматах. В частности, целесообразно на некоторое время обнулить вероятности крупных выигрышей, чтобы заведение не столкнулось с нехваткой средств (в том случае, если вдруг кто-то выиграет по-крупному ещё раз). Таким образом, рассмотренная система будет зависима.
В качестве демонстрационного примера рассмотрим колоду из 8 карт, пусть это будут короли и дамы, и простую игру, в которой два игрока последовательно (не важно, в каком порядке) извлекают из колоды по одной карте. Рассмотрим случайную величину , которая символизирует одного игрока и принимает следующие значения: 1 , если он извлёк червовую карту, и 0 – если карту другой масти.
Аналогично, пусть случайная величина символизирует другого игрока и тоже принимает значения 0 либо 1, если он извлёк не черву и черву соответственно.
– вероятность того, что оба игрока извлекут черву,
– вероятность противоположного события, и:
– вероятность того, что один извлечёт черву, а другой – нет; ну или наоборот:
Таким образом, закон распределения вероятностей зависимой системы :
Контроль: 
, что и требовалось проверить. …Возможно, у вас возник вопрос, а почему я рассматриваю именно 8, а не 36 карт? Да просто для того, чтобы дроби получились не такими громоздкими.
Теперь немного проанализируем результаты. Если просуммировать вероятности по строкам
: , то получится в точности закон распределения случайной величины :
Легко понять, что это распределение соответствует ситуации, когда «иксовый» игрок тянет карту один, без «игрекового» товарища, и его математическое ожидание:
– равно вероятности извлечения червы из нашей колоды.
Аналогично, если просуммировать вероятности по столбцам
, то получим закон распределения одиночной игры второго игрока:
с тем же матожиданием
В силу «симметрии» правил игры, распределения получились одинаковыми, но, в общем случае, они, конечно, различны.
Помимо этого, полезно рассмотреть условные законы распределения вероятностей . Это ситуация, когда одна из случайных величин уже приняла какое-то конкретное значение, или же мы предполагаем это гипотетически.
Пусть «игрековый» игрок тянет карту первым и извлёкает не черву . Вероятность этого события составляет (суммируем вероятности по первому столбцу
таблицы – см. вверху
). Тогда, из той же теоремы умножения вероятностей зависимых событий
получаем следующие условные вероятности:
– вероятность того, что «иксовый» игрок вытянет не черву при условии, что «игрековый» вытянул не черву;
– вероятность того, что «иксовый» игрок вытянет черву, при условии, что «игрековый» вытянул не черву.
…все помнят, как избавляться от четырёхэтажных дробей ? И да, формальное, но очень удобное техническое правило вычисления этих вероятностей : сначала следует просуммировать все вероятности по столбцу , и затем каждую вероятность разделить на полученную сумму.
Таким образом, при условный закон распределения случайной величины запишется так:
, ОК. Вычислим условное математическое ожидание:
Теперь составим закон распределения случайной величины при условии, что случайная величина приняла значение , т.е. «игрековый» игрок извлёк карту червовой масти. Для этого суммируем вероятности 2-го столбца
таблицы (см. вверху
): 
и вычисляем условные вероятности:
– того, что «иксовый» игрок вытянет не черву,
– и черву.
Таким образом, искомый условный закон распределения:
Контроль: , и условное математическое ожидание:
– разумеется, оно получилось меньше, чем в предыдущем случае, так как «игрековый» игрок убавил количество черв в колоде.
«Зеркальным» способом (работая со строками таблицы ) можно составить – закон распределения случайной величины , при условии, что случайная величина приняла значение , и условное распределение , когда «иксовый» игрок извлёк черву. Легко понять, что в силу «симметрии» игры, получатся те же распределения и те же значения .
Для непрерывных случайных величин вводятся такие же понятия условных распределений и матожиданий , но если в них нет горячей надобности, то лучше продолжить изучение этого урока.
На практике в большинстве случаев вам предложат готовый закон распределения системы случайных величин:
Пример 4
Двумерная случайная величина задана своим законом распределения вероятностей:
…хотел рассмотреть таблицу побольше, но решил таки не маньячить, ведь главное разобраться в самом принципе решения.
Требуется:
1) Составить законы распределения и вычислить соответствующие математические ожидания. Сделать обоснованный вывод о зависимости или независимости случайных величин .
Это задание для самостоятельного решения! Напоминаю, что в случае независимости СВ законы 
должны получиться одинаковыми и совпасть с законом распределения случайной величины , и законы – совпасть с . Десятичные дроби, кто не знает или позабыл, удобно делить так: .
Свериться с образцом можно внизу страницы.
2) Вычислить коэффициент ковариации.
Сначала разберёмся в самом термине, и откуда он вообще произошёл: когда случайная величина принимает различные значения, то говорят, что она варьируется
, и количественное измерение этой вариации
, как вы знаете, выражается дисперсией
. Используя формулу вычисления дисперсии, а также свойства матожидания и дисперсии, нетрудно установить, что:
то есть, при сложении двух случайных величин суммируются их дисперсии и добавляется дополнительное слагаемое, характеризующее совместную вариацию
или коротко – ковариацию
случайных величин.
Ковариация или корреляционный момент – это мера совместной вариации случайных величин.
Обозначение : или
Ковариация дискретных случайных величин определяется, сейчас буду «выражаться»:), как математическое ожидание произведения линейных отклонений
этих случайных величин от соответствующих матожиданий:
Если , то случайные величины зависимы . Образно говоря, ненулевое значение говорит нам о закономерных «откликах» одной СВ на изменение другой СВ.
Ковариацию можно вычислить двумя способами, я рассмотрю оба.
Способ первый
. По определению математического ожидания
:
«Страшная» формула и совсем не страшные вычисления. Сначала составим законы распределения случайных величин и – для этого суммируем вероятности по строкам («иксовая» величина)
и по столбцам («игрековая» величина)
:
Взгляните на исходную верхнюю таблицу – всем понятно, как получились распределения? Вычислим матожидания
:
и отклонения
значений случайных величин от соответствующих математических ожиданий:
Полученные отклонения удобно поместить в двумерную таблицу, внутрь которой затем переписать вероятности из исходной таблицы:
Теперь нужно вычислить все возможные произведения , в качестве примера я выделил: (красный цвет)
и (синий цвет)
. Вычисления удобно проводить в Экселе, а на чистовике расписать всё подробно. Я привык работать «по строкам» слева направо и поэтому сначала перечислю все возможные произведения с «иксовым» отклонением -1,6, затем – с отклонением 0,4:
Способ второй
, более простой и распространённый. По формуле:
Матожидание произведения СВ определяется как 
и технически всё очень просто: берём исходную таблицу задачи и находим все возможные произведения на соответствующие вероятности ; на рисунке ниже я выделил красным цветом произведение 
и синим произведение :
Сначала перечислю все произведения со значением , затем – со значением , но вы, разумеется, можете использовать и другой порядок перебора – кому как удобнее:
Значения уже вычислены (см. 1-й способ), и осталось применить формулу:
Как отмечалось выше, ненулевое значение ковариации говорит нам о зависимости случайных величин, причём, чем оно больше по модулю , тем эта зависимость ближе к функциональной линейной зависимости . Ибо определяется через линейные отклонения.
Таким образом, определение можно сформулировать точнее:
Ковариация – это мера линейной зависимости случайных величин.
С нулевым значением всё занятнее. Если установлено, что , то случайные величины могут оказаться как независимыми, так и зависимыми (т.к. зависимость может носить не только линейный характер). Таким образом, этот факт в общем случае нельзя использовать для обоснования независимости СВ !
Однако, если известно, что независимы, то . В этом легко убедиться аналитически: так как для независимых случайных величин справедливо свойство (см. предыдущий урок)
, то по формуле вычисления ковариации:
Какие значения может принимать этот коэффициент? Коэффициент ковариации принимает значения, не превосходящие по модулю – и чем больше , тем сильнее выражена линейная зависимость. И всё вроде бы хорошо, но есть существенное неудобство такой меры:
Предположим, мы исследуем двумерную непрерывную случайную величину
(готовимся морально:)), компоненты которой измеряются в сантиметрах, и получили значение 
. Кстати, какая размерность у ковариации? Коль скоро, – сантиметры, и – тоже сантиметры, то их произведение и матожидание этого произведения 
– выражается в квадратных сантиметрах, т.е. ковариация, как и дисперсия – есть квадратичная
величина.
Теперь предположим, что кто-то изучил ту же систему , но использовал не сантиметры, а миллиметры. Так как 1 см = 10 мм, то ковариация увеличится в 100 раз и будет равна 
!
Поэтому удобно рассмотреть нормированный коэффициент ковариации, который давал бы нам одинаковое и безразмерное значение. Такой коэффициент получил название, продолжаем нашу задачу:
3) Коэффициент корреляции . Или, точнее, коэффициент линейной корреляции:
, где – стандартные отклонения
случайных величин.
Коэффициент корреляции безразмерен и принимает значения из промежутка:
(если у вас на практике получилось другое – ищите ошибку) .
Чем больше по модулю к единице, тем теснее линейная взаимосвязь между величинами , и чем ближе к нулю – тем такая зависимость выражена меньше. Взаимосвязь считается существенной, начиная примерно с . Крайним значениям соответствует строгая функциональная зависимость , но на практике, конечно, «идеальных» случаев не встретить.
Очень хочется привести много интересных примеров, но корреляция более актуальна в курсе математической статистики
, и поэтому я приберегу их на будущее. Ну а сейчас найдём коэффициент корреляции в нашей задаче. Так. Законы распределения уже известны, скопирую сверху:
Матожидания найдены: , и осталось вычислить стандартные отклонения. Табличкой
уж оформлять не буду, быстрее подсчитать строкой:
Ковариация найдена в предыдущем пункте 
, и осталось рассчитать коэффициент корреляции:
, таким образом, между величинами имеет место линейная зависимость средней тесноты.
Четвёртое задание опять же более характерно для задач математической статистики , но на всякий случай рассмотрим его и здесь:
4) Составить уравнение линейной регрессии на .
Уравнение линейной регрессии
– это функция 
, которая наилучшим образом
приближает значения случайной величины . Для наилучшего приближения, как правило, используют метод наименьших квадратов
, и тогда коэффициенты регрессии можно вычислить по формулам:
, вот это чудеса, и 2-й коэффициент:
Различают события зависимые и независимые. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не взаимосвязанные, то остановки этих линий являются независимыми событиями.
Несколько событий называются независимыми в совокупности , если любое из них не зависит от любого другого события и от любой комбинации остальных.
События называются зависимыми , если одно из них влияет на вероятность появления другого. Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая. Вероятность одного события B, вычисленная в предположении осуществления другого события A, называется условной вероятностью события Bи обозначается P{A|B}.
Условие независимости события B от события A записывают в виде P{B|A}=P{B}, а условие его зависимости - в виде P{B|A}≠P{B}.
Вероятность события в испытаниях Бернулли. Формула Пуассона.
Повторными независимыми испытаниями, испытаниями Бернулли или схемой Бернулли называются такие испытания, если при каждом испытании имеются только два исхода - появление события А или и вероятность этих событий остается неизменной для всех испытаний. Эта простая схема случайных испытаний имеет большое значение в теории вероятностей.
Наиболее известным примером испытаний Бернулли является опыт с последовательным бросанием правильной (симметричной и однородной) монеты, где событием А является выпадение, например, "герба", ("решки").
Пусть в некотором опыте вероятность события А равна P(А)=р , тогда , где р+q=1. Выполним опыт n раз, предположив, что отдельные испытания независимы, а значит исход любых из них не связан с исходами предыдущих (или последующих) испытаний. Найдем вероятность появления событий А точно k раз, скажем только в первых k испытаниях. Пусть - событие, заключающееся в том, что при n испытаниях событие А появиться точно k раз в первых испытаниях. Событие можно представить в виде
Поскольку опыты мы предположили независимыми, то
41)[стр2] Если ставить вопрос о появлении события А k-раз в n испытаниях в произвольном порядке, то событие представимо в виде
Число различных слагаемых в правой части этого равенства равно числу испытаний из n по k , поэтому вероятность событий , которую будем обозначать , равна
Последовательность событий образует полную группу независимых событий 
. Действительно, из независимости событий получаем