रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरण: समाधान विधि। रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की विधियाँ एक संयुक्त प्रणाली को हल करने का एक उदाहरण

रैखिक प्रणालियों का समाधान बीजगणितीय समीकरणरैखिक बीजगणित की मुख्य समस्याओं में से एक है। इस समस्या का वैज्ञानिक और तकनीकी समस्याओं को हल करने में महत्वपूर्ण व्यावहारिक महत्व है; इसके अलावा, यह कम्प्यूटेशनल गणित, गणितीय भौतिकी में कई एल्गोरिदम के कार्यान्वयन और प्रयोगात्मक अनुसंधान के परिणामों को संसाधित करने में सहायक है।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणालीइस प्रकार के समीकरणों की प्रणाली कहलाती है: (1)

कहाँ – अज्ञात; - निःशुल्क सदस्य।

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना(1) संख्याओं के किसी भी सेट को कॉल करें, जब सिस्टम (1) में अज्ञात के स्थान पर रखा जाए सिस्टम के सभी समीकरणों को सही संख्यात्मक समानता में परिवर्तित करता है।

समीकरणों की प्रणाली कहलाती है संयुक्त, यदि इसका कम से कम एक समाधान है, और असंगत, यदि इसका कोई समाधान नहीं है।

समीकरणों की युगपत प्रणाली कहलाती है निश्चित, यदि इसका एक अनूठा समाधान है, और ढुलमुल, यदि इसके कम से कम दो अलग-अलग समाधान हों।

समीकरणों की दो प्रणालियाँ कहलाती हैं समकक्षया समकक्ष, यदि उनके पास समाधानों का एक ही सेट है।

सिस्टम (1) कहा जाता है सजातीय, यदि मुक्त शर्तें शून्य हैं:

एक सजातीय प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है - इसका एक समाधान होता है (शायद एकमात्र नहीं)।

यदि सिस्टम (1) में, तो हमारे पास सिस्टम है एनके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात: कहाँ – अज्ञात; - अज्ञात के लिए गुणांक, - निःशुल्क सदस्य।

एक रैखिक प्रणाली में एक ही समाधान हो सकता है, अनंत रूप से कई समाधान हो सकते हैं, या कोई भी समाधान नहीं हो सकता है।

दो अज्ञात वाले दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें

यदि तब सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है;

अगर तब सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है;

अगर तब सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान होते हैं।

उदाहरण।सिस्टम में संख्याओं की एक जोड़ी के लिए एक अनूठा समाधान है

सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं। उदाहरण के लिए, किसी दिए गए सिस्टम का समाधान संख्याओं के जोड़े आदि हैं।

सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है, क्योंकि दो संख्याओं का अंतर दो अलग-अलग मान नहीं ले सकता है।

परिभाषा। द्वितीय क्रम निर्धारकप्रपत्र की अभिव्यक्ति कहा जाता है:

.

निर्धारक को प्रतीक डी द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है।

नंबर ए 11, …, ए 22 निर्धारक के तत्व कहलाते हैं।

तत्वों द्वारा निर्मित विकर्ण ए 11 ; ए 22 को बुलाया गया है मुख्यतत्वों द्वारा निर्मित विकर्ण ए 12 ; ए 21 − ओर

इस प्रकार, दूसरे क्रम का निर्धारक मुख्य और द्वितीयक विकर्णों के तत्वों के उत्पादों के बीच के अंतर के बराबर है।

ध्यान दें कि उत्तर एक संख्या है.

उदाहरण।आइए निर्धारकों की गणना करें:

दो अज्ञात वाले दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें: कहाँ एक्स 1, एक्स 2 – अज्ञात; ए 11 , …, ए 22 - अज्ञात के लिए गुणांक, बी 1 ,बी 2 - निःशुल्क सदस्य।

यदि दो अज्ञात वाले दो समीकरणों की प्रणाली में एक अद्वितीय समाधान है, तो इसे दूसरे क्रम के निर्धारकों का उपयोग करके पाया जा सकता है।

परिभाषा।अज्ञात के गुणांकों से बने निर्धारक को कहा जाता है सिस्टम निर्धारक:डी= .

निर्धारक डी के कॉलम में क्रमशः गुणांक होते हैं एक्स 1 और पर , एक्स 2. आइए दो का परिचय दें अतिरिक्त क्वालीफायर,जो सिस्टम के निर्धारक से किसी एक कॉलम को मुक्त पदों के कॉलम के साथ प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है: डी 1 = डी 2 =।

प्रमेय 14(क्रेमर, केस n=2 के लिए)।यदि सिस्टम का निर्धारक डी शून्य (D¹0) से भिन्न है, तो सिस्टम में एक अद्वितीय समाधान होता है, जो सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है:

इन सूत्रों को कहा जाता है क्रैमर के सूत्र.

उदाहरण।आइए क्रैमर नियम का उपयोग करके सिस्टम को हल करें:

समाधान।आइए संख्याएँ खोजें

उत्तर।

परिभाषा। तृतीय क्रम निर्धारकप्रपत्र की अभिव्यक्ति कहा जाता है:

तत्वों ए 11; ए 22 ; ए 33 - मुख्य विकर्ण बनाएं।

नंबर ए 13; ए 22 ; ए 31 - एक पार्श्व विकर्ण बनाएं।

प्लस के साथ प्रविष्टि में शामिल हैं: मुख्य विकर्ण पर तत्वों का उत्पाद, शेष दो पद मुख्य विकर्ण के समानांतर आधार वाले त्रिकोणों के शीर्ष पर स्थित तत्वों का उत्पाद हैं। पार्श्व विकर्ण के संबंध में ऋणात्मक पद उसी प्रकार बनते हैं।

उदाहरण।आइए निर्धारकों की गणना करें:

कहाँ – अज्ञात; - अज्ञात के लिए गुणांक, - निःशुल्क सदस्य।

एक अद्वितीय समाधान के मामले में, तीन अज्ञात के साथ 3 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को तीसरे क्रम के निर्धारकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

सिस्टम डी के निर्धारक का रूप है:

आइए हम तीन अतिरिक्त निर्धारकों का परिचय दें:

प्रमेय 15(क्रेमर, केस n=3 के लिए)।यदि सिस्टम का निर्धारक डी शून्य से भिन्न है, तो सिस्टम में एक अद्वितीय समाधान होता है, जो क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है:

उदाहरण।आइए सिस्टम को हल करें क्रैमर के नियम के अनुसार.

समाधान।आइए संख्याएँ खोजें

आइए क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करें और मूल प्रणाली का समाधान खोजें:

उत्तर।

ध्यान दें कि क्रैमर का प्रमेय तब लागू होता है जब समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है और जब सिस्टम डी का निर्धारक गैर-शून्य होता है।

यदि किसी सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर है, तो इस स्थिति में सिस्टम का या तो कोई समाधान नहीं हो सकता है या अनंत संख्या में समाधान हो सकते हैं। इन मामलों का अलग से अध्ययन किया जाता है।

आइए केवल एक मामले पर ध्यान दें। यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य (D=0) के बराबर है, और कम से कम एक अतिरिक्त निर्धारक शून्य से भिन्न है, तो सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, अर्थात यह असंगत है।

क्रैमर प्रमेय को सिस्टम में सामान्यीकृत किया जा सकता है एनके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात: कहाँ – अज्ञात; - अज्ञात के लिए गुणांक, - निःशुल्क सदस्य।

यदि अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का निर्धारक तब सिस्टम का एकमात्र समाधान क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है:

अतिरिक्त योग्यता निर्धारक डी से प्राप्त किया जाता है यदि इसमें अज्ञात के लिए गुणांक का एक कॉलम शामिल है एक्स मैंमुक्त सदस्यों के कॉलम से बदलें।

ध्यान दें कि निर्धारक डी, डी 1, …, डी एनआदेश है एन.

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए सबसे आम तरीकों में से एक अज्ञात को क्रमिक रूप से समाप्त करने की विधि है −गॉस विधि. यह विधि प्रतिस्थापन विधि का एक सामान्यीकरण है और इसमें अज्ञात को क्रमिक रूप से तब तक समाप्त करना शामिल है जब तक कि एक अज्ञात के साथ एक समीकरण शेष न रह जाए।

यह विधि रैखिक समीकरणों की प्रणाली के कुछ परिवर्तनों पर आधारित है, जिसके परिणामस्वरूप मूल प्रणाली के समतुल्य प्रणाली बनती है। विधि एल्गोरिथ्म में दो चरण होते हैं।

प्रथम चरण कहा जाता है ठीक सीधेगॉस विधि. इसमें समीकरणों से अज्ञात को क्रमिक रूप से हटाना शामिल है। ऐसा करने के लिए, पहले चरण में, सिस्टम के पहले समीकरण को इससे विभाजित करें (अन्यथा, सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करें)। परिणामी घटे हुए समीकरण के गुणांकों को निर्दिष्ट करें, इसे गुणांक से गुणा करें और इसे सिस्टम के दूसरे समीकरण से घटाएं, जिससे इसे दूसरे समीकरण से हटा दिया जाए (गुणांक को शून्य कर दिया जाए)।

शेष समीकरणों के साथ भी ऐसा ही करें और एक नई प्रणाली प्राप्त करें, जिसके सभी समीकरणों में, दूसरे से शुरू करके, के गुणांकों में केवल शून्य होते हैं। जाहिर है, परिणामी नई प्रणाली मूल प्रणाली के समकक्ष होगी।

यदि नए गुणांक, सभी शून्य के बराबर नहीं हैं, तो उन्हें तीसरे और बाद के समीकरणों से उसी तरह बाहर रखा जा सकता है। अगले अज्ञात के लिए इस ऑपरेशन को जारी रखते हुए, सिस्टम को तथाकथित पर लाया जाता है त्रिकोणीय दृश्य:

यहां प्रतीक संख्यात्मक गुणांकों और मुक्त पदों को दर्शाते हैं जो परिवर्तनों के परिणामस्वरूप बदल गए हैं।

सिस्टम के अंतिम समीकरण से, शेष अज्ञात को एक अनोखे तरीके से और फिर अनुक्रमिक प्रतिस्थापन द्वारा निर्धारित किया जाता है।

टिप्पणी।कभी-कभी, परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, किसी भी समीकरण में सभी गुणांक और दाईं ओर शून्य हो जाते हैं, अर्थात समीकरण पहचान 0=0 में बदल जाता है। सिस्टम से ऐसे समीकरण को हटाकर, अज्ञात की संख्या की तुलना में समीकरणों की संख्या कम हो जाती है। ऐसी व्यवस्था का कोई एक समाधान नहीं हो सकता।

यदि, गॉस विधि को लागू करने की प्रक्रिया में, कोई भी समीकरण 0 = 1 के रूप की समानता में बदल जाता है (अज्ञात के लिए गुणांक 0 में बदल जाता है, और दाहिनी ओर एक गैर-शून्य मान लेता है), तो मूल प्रणाली का कोई समाधान नहीं है, क्योंकि ऐसी समानता किसी भी अज्ञात मूल्य के लिए झूठी है।

तीन अज्ञात वाले तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

(2)

कहाँ – अज्ञात; - अज्ञात के लिए गुणांक, - निःशुल्क सदस्य।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (एसएलएई) को हल करने की प्रणाली निस्संदेह है सबसे महत्वपूर्ण विषयरैखिक बीजगणित पाठ्यक्रम. गणित की सभी शाखाओं से बड़ी संख्या में समस्याएं रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए आती हैं। ये कारक इस लेख का कारण बताते हैं। लेख की सामग्री का चयन और संरचित किया गया है ताकि आप इसकी सहायता से कर सकें

• अपने रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए इष्टतम विधि चुनें,
• चुनी गई विधि के सिद्धांत का अध्ययन करें,
• विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं के विस्तृत समाधानों पर विचार करके अपने रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें।

लेख सामग्री का संक्षिप्त विवरण.

पहले सब कुछ दे दूँ आवश्यक परिभाषाएँ, अवधारणाएँ और संकेतन का परिचय दें।

आगे, हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीकों पर विचार करेंगे जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के बराबर है और जिनका एक अद्वितीय समाधान है। सबसे पहले, हम क्रैमर विधि पर ध्यान केंद्रित करेंगे, दूसरे, हम समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि दिखाएंगे, और तीसरा, हम गॉस विधि (अज्ञात चर के क्रमिक उन्मूलन की विधि) का विश्लेषण करेंगे। सिद्धांत को मजबूत करने के लिए, हम निश्चित रूप से कई SLAE को अलग-अलग तरीकों से हल करेंगे।

इसके बाद, हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए आगे बढ़ेंगे सामान्य रूप से देखें, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या से मेल नहीं खाती है या सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स एकवचन है। आइए हम क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय तैयार करें, जो हमें SLAEs की अनुकूलता स्थापित करने की अनुमति देता है। आइए मैट्रिक्स के आधार माइनर की अवधारणा का उपयोग करके सिस्टम के समाधान (यदि वे संगत हैं) का विश्लेषण करें। हम गॉस विधि पर भी विचार करेंगे और उदाहरणों के समाधानों का विस्तार से वर्णन करेंगे।

हम निश्चित रूप से रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की सजातीय और अमानवीय प्रणालियों के सामान्य समाधान की संरचना पर ध्यान देंगे। आइए हम समाधानों की एक मौलिक प्रणाली की अवधारणा दें और दिखाएं कि समाधानों की मौलिक प्रणाली के वैक्टर का उपयोग करके SLAE का सामान्य समाधान कैसे लिखा जाता है। बेहतर समझ के लिए, आइए कुछ उदाहरण देखें।

अंत में, हम समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करेंगे जिन्हें रैखिक में घटाया जा सकता है, साथ ही विभिन्न समस्याओं के समाधान में SLAE उत्पन्न होती हैं।

पेज नेविगेशन.

परिभाषाएँ, अवधारणाएँ, पदनाम।

हम फॉर्म के n अज्ञात चर (p, n के बराबर हो सकते हैं) के साथ p रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करेंगे।

अज्ञात चर, - गुणांक (कुछ वास्तविक या जटिल संख्याएँ), - मुक्त पद (वास्तविक या जटिल संख्याएँ भी)।

रिकॉर्डिंग के इस रूप को SLAE कहा जाता है कोआर्डिनेट.

में मैट्रिक्स फॉर्मसमीकरणों की इस प्रणाली को लिखने का रूप है,
कहाँ - सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स, - अज्ञात चर का एक कॉलम मैट्रिक्स, - मुक्त शर्तों का एक कॉलम मैट्रिक्स।

यदि हम मैट्रिक्स A में (n+1)वें कॉलम के रूप में मुक्त पदों का एक मैट्रिक्स-कॉलम जोड़ते हैं, तो हमें तथाकथित मिलता है विस्तारित मैट्रिक्सरैखिक समीकरणों की प्रणाली. आमतौर पर, एक विस्तारित मैट्रिक्स को अक्षर टी द्वारा दर्शाया जाता है, और मुक्त शब्दों के कॉलम को शेष कॉलम से एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा अलग किया जाता है, अर्थात,

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करनाअज्ञात चर के मानों का एक सेट कहा जाता है जो सिस्टम के सभी समीकरणों को पहचान में बदल देता है। अज्ञात चर के दिए गए मानों के लिए मैट्रिक्स समीकरण भी एक पहचान बन जाता है।

यदि समीकरणों की एक प्रणाली का कम से कम एक समाधान हो, तो इसे कहा जाता है संयुक्त.

यदि समीकरणों की एक प्रणाली का कोई समाधान नहीं है, तो इसे कहा जाता है असंगत.

यदि किसी SLAE के पास कोई अद्वितीय समाधान है, तो उसे कॉल किया जाता है निश्चित; यदि एक से अधिक समाधान हो तो - ढुलमुल.

यदि निकाय के सभी समीकरणों के मुक्त पद शून्य के बराबर हैं , फिर सिस्टम को कॉल किया जाता है सजातीय, अन्यथा - विजातीय.

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्राथमिक प्रणालियों को हल करना।

यदि किसी सिस्टम के समीकरणों की संख्या अज्ञात चरों की संख्या के बराबर है और इसके मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो ऐसे SLAE कहलाएंगे प्राथमिक. समीकरणों की ऐसी प्रणालियों का एक अनूठा समाधान होता है, और इस मामले में सजातीय प्रणालीसभी अज्ञात चर शून्य हैं।

हमने हाई स्कूल में ऐसे SLAE का अध्ययन शुरू किया। उन्हें हल करते समय, हमने एक समीकरण लिया, एक अज्ञात चर को अन्य के संदर्भ में व्यक्त किया और इसे शेष समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, फिर अगला समीकरण लिया, अगला अज्ञात चर व्यक्त किया और इसे अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, इत्यादि। या उन्होंने जोड़ विधि का उपयोग किया, यानी, उन्होंने कुछ अज्ञात चर को खत्म करने के लिए दो या दो से अधिक समीकरण जोड़े। हम इन विधियों पर विस्तार से ध्यान नहीं देंगे, क्योंकि ये अनिवार्य रूप से गॉस विधि के संशोधन हैं।

रैखिक समीकरणों की प्राथमिक प्रणालियों को हल करने की मुख्य विधियाँ क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि और गॉस विधि हैं। आइए उन्हें सुलझाएं.

क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

मान लीजिए हमें रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है

जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चरों की संख्या के बराबर होती है और सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है, अर्थात।

मान लीजिए कि यह सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक है, और - मैट्रिक्स के निर्धारक जो प्रतिस्थापन द्वारा ए से प्राप्त किए जाते हैं पहला, दूसरा, ..., नवाँमुक्त सदस्यों के कॉलम में क्रमशः कॉलम:

इस अंकन के साथ, अज्ञात चर की गणना क्रैमर विधि के सूत्रों का उपयोग करके की जाती है . इस प्रकार क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान पाया जाता है।

उदाहरण।

क्रैमर विधि .

समाधान।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रूप है . आइए इसके निर्धारक की गणना करें (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें):

चूँकि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य है, सिस्टम में एक अनूठा समाधान है जिसे क्रैमर विधि द्वारा पाया जा सकता है।

आइए आवश्यक निर्धारकों की रचना और गणना करें (हम मैट्रिक्स ए में पहले कॉलम को मुक्त शर्तों के कॉलम के साथ प्रतिस्थापित करके निर्धारक प्राप्त करते हैं, दूसरे कॉलम को मुक्त शर्तों के कॉलम के साथ बदलकर निर्धारक प्राप्त करते हैं, और मैट्रिक्स ए के तीसरे कॉलम को मुक्त शर्तों के कॉलम के साथ प्रतिस्थापित करके निर्धारक प्राप्त करते हैं) :

सूत्रों का उपयोग करके अज्ञात चर ढूँढना :

उत्तर:

क्रैमर विधि का मुख्य नुकसान (यदि इसे नुकसान कहा जा सकता है) निर्धारकों की गणना करने की जटिलता है जब सिस्टम में समीकरणों की संख्या तीन से अधिक होती है।

मैट्रिक्स विधि (व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके) का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

मान लीजिए कि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली मैट्रिक्स रूप में दी गई है, जहां मैट्रिक्स ए का आयाम n बटा n है और इसका निर्धारक गैर-शून्य है।

चूँकि, मैट्रिक्स A व्युत्क्रमणीय है, अर्थात व्युत्क्रम मैट्रिक्स है। यदि हम समानता के दोनों पक्षों को बाईं ओर से गुणा करते हैं, तो हमें अज्ञात चर के मैट्रिक्स-स्तंभ को खोजने का एक सूत्र मिलता है। इस प्रकार हमने मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान प्राप्त किया।

उदाहरण।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें मैट्रिक्स विधि.

समाधान।

आइए समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखें:

क्योंकि

तब SLAE को मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके, इस प्रणाली का समाधान इस प्रकार पाया जा सकता है .

आइए मैट्रिक्स ए के तत्वों के बीजगणितीय जोड़ से एक मैट्रिक्स का उपयोग करके एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स का निर्माण करें (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें):

यह व्युत्क्रम मैट्रिक्स को गुणा करके अज्ञात चर के मैट्रिक्स की गणना करने के लिए बनी हुई है मुक्त सदस्यों के मैट्रिक्स-कॉलम में (यदि आवश्यक हो, लेख देखें):

उत्तर:

या किसी अन्य संकेतन में x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1।

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों का समाधान खोजने में मुख्य समस्या व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने की जटिलता है, विशेष रूप से तीसरे से अधिक क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के लिए।

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

मान लीजिए कि हमें n अज्ञात चर वाले n रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान खोजने की आवश्यकता है
जिसके मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न है।

गॉस विधि का सारइसमें अज्ञात चरों को क्रमिक रूप से समाप्त करना शामिल है: पहले, x 1 को सिस्टम के सभी समीकरणों से बाहर रखा जाता है, दूसरे से शुरू करके, फिर x 2 को तीसरे से शुरू करके, सभी समीकरणों से बाहर रखा जाता है, और इसी तरह, जब तक कि केवल अज्ञात चर x n न रह जाए अंतिम समीकरण में. अज्ञात चरों को क्रमिक रूप से समाप्त करने के लिए सिस्टम समीकरणों को बदलने की इस प्रक्रिया को कहा जाता है प्रत्यक्ष गाऊसी विधि. गॉसियन विधि के फॉरवर्ड स्ट्रोक को पूरा करने के बाद, अंतिम समीकरण से x n पाया जाता है, अंतिम समीकरण से इस मान का उपयोग करके, x n-1 की गणना की जाती है, और इसी तरह, पहले समीकरण से x 1 पाया जाता है। सिस्टम के अंतिम समीकरण से पहले तक जाने पर अज्ञात चर की गणना करने की प्रक्रिया को कहा जाता है गाऊसी पद्धति का उलटा.

आइए हम अज्ञात चर को खत्म करने के लिए एल्गोरिदम का संक्षेप में वर्णन करें।

हम यह मान लेंगे, क्योंकि हम सिस्टम के समीकरणों को आपस में बदलकर इसे हमेशा प्राप्त कर सकते हैं। आइए दूसरे से शुरू करते हुए, सिस्टम के सभी समीकरणों से अज्ञात चर x 1 को हटा दें। ऐसा करने के लिए, सिस्टम के दूसरे समीकरण में हम पहले को जोड़ते हैं, से गुणा करते हैं, तीसरे समीकरण में हम पहले को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा करते हैं, और इसी तरह, nवें समीकरण में हम पहले को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा करते हैं। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगी

और कहां .

यदि हमने सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के संदर्भ में x 1 को व्यक्त किया होता और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित किया होता तो हम उसी परिणाम पर पहुंचते। इस प्रकार, चर x 1 को दूसरे से शुरू करके सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

आगे, हम इसी तरह आगे बढ़ते हैं, लेकिन केवल परिणामी प्रणाली के हिस्से के साथ, जो चित्र में चिह्नित है

ऐसा करने के लिए, सिस्टम के तीसरे समीकरण में हम दूसरे को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा किया जाता है, चौथे समीकरण में हम दूसरे को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा किया जाता है, और इसी तरह, nवें समीकरण में हम दूसरे को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा किया जाता है। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगी

और कहां . इस प्रकार, चर x 2 को तीसरे से शुरू करके सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

इसके बाद, हम अज्ञात x 3 को खत्म करने के लिए आगे बढ़ते हैं, जबकि हम चित्र में चिह्नित सिस्टम के हिस्से के साथ भी इसी तरह कार्य करते हैं

इसलिए हम गॉसियन पद्धति की सीधी प्रगति तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम आकार नहीं ले लेता

इस क्षण से हम गॉसियन विधि का उलटा शुरू करते हैं: हम अंतिम समीकरण से x n की गणना करते हैं, x n के प्राप्त मान का उपयोग करके हम अंतिम समीकरण से x n-1 पाते हैं, और इसी तरह, हम पहले समीकरण से x 1 पाते हैं .

उदाहरण।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें गॉस विधि.

समाधान।

आइए हम सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण से अज्ञात चर x 1 को बाहर कर दें। ऐसा करने के लिए, दूसरे और तीसरे समीकरण के दोनों पक्षों में हम पहले समीकरण के संबंधित भागों को क्रमशः और से गुणा करके जोड़ते हैं:

अब हम तीसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों में दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को जोड़कर, x 2 को इससे गुणा करके हटा देते हैं:

यह गॉस पद्धति का फॉरवर्ड स्ट्रोक पूरा करता है; हम रिवर्स स्ट्रोक शुरू करते हैं।

समीकरणों की परिणामी प्रणाली के अंतिम समीकरण से हम x 3 पाते हैं:

दूसरे समीकरण से हमें प्राप्त होता है।

पहले समीकरण से हम शेष अज्ञात चर पाते हैं और इस प्रकार गॉस विधि का उलटा पूरा करते हैं।

उत्तर:

एक्स 1 = 4, एक्स 2 = 0, एक्स 3 = -1।

सामान्य रूप के रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को हल करने की प्रणालियाँ।

सामान्य तौर पर, सिस्टम p के समीकरणों की संख्या अज्ञात चर n की संख्या से मेल नहीं खाती है:

ऐसे SLAE के पास कोई समाधान नहीं हो सकता है, एक ही समाधान हो सकता है, या अनंत रूप से कई समाधान हो सकते हैं। यह कथन समीकरणों की प्रणालियों पर भी लागू होता है जिनका मुख्य मैट्रिक्स वर्ग और एकवचन है।

क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान खोजने से पहले, इसकी अनुकूलता स्थापित करना आवश्यक है। इस प्रश्न का उत्तर कि SLAE कब संगत है और कब असंगत है क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय:
n अज्ञात (p, n के बराबर हो सकता है) के साथ p समीकरणों की एक प्रणाली के सुसंगत होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर हो, अर्थात , रैंक(ए)=रैंक(टी)।

आइए, एक उदाहरण के रूप में, रैखिक समीकरणों की प्रणाली की अनुकूलता निर्धारित करने के लिए क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

पता लगाएँ कि क्या रैखिक समीकरणों की प्रणाली है समाधान।

समाधान।

. आइए अवयस्कों को बॉर्डर करने की विधि का उपयोग करें। दूसरे क्रम का लघु शून्य से भिन्न. आइए इसकी सीमा से लगे तीसरे क्रम के अवयस्कों पर नजर डालें:

चूँकि तीसरे क्रम के सभी सीमावर्ती अवयस्क शून्य के बराबर हैं, मुख्य मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर है।

बदले में, विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक तीन के बराबर है, क्योंकि अवयस्क तीसरे क्रम का है

शून्य से भिन्न.

इस प्रकार, रंग(ए), इसलिए, क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करके, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली असंगत है।

उत्तर:

सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है.

इसलिए, हमने क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करके एक प्रणाली की असंगतता स्थापित करना सीख लिया है।

लेकिन यदि किसी SLAE की अनुकूलता स्थापित हो जाए तो उसका समाधान कैसे खोजा जाए?

ऐसा करने के लिए, हमें मैट्रिक्स के आधार माइनर की अवधारणा और मैट्रिक्स की रैंक के बारे में एक प्रमेय की आवश्यकता है।

शून्य से भिन्न, मैट्रिक्स ए के उच्चतम क्रम के लघु को कहा जाता है बुनियादी.

आधार लघु की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि इसका क्रम मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है। एक गैर-शून्य मैट्रिक्स ए के लिए कई आधार लघु हो सकते हैं; हमेशा एक आधार लघु होता है;

उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें .

इस मैट्रिक्स के सभी तीसरे क्रम के अवयस्क शून्य के बराबर हैं, क्योंकि इस मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति के तत्व पहली और दूसरी पंक्तियों के संबंधित तत्वों का योग हैं।

निम्नलिखित दूसरे क्रम के अवयस्क बुनियादी हैं, क्योंकि वे गैर-शून्य हैं

नाबालिगों बुनियादी नहीं हैं, क्योंकि वे शून्य के बराबर हैं।

मैट्रिक्स रैंक प्रमेय.

यदि क्रम p बटा n के मैट्रिक्स की रैंक r के बराबर है, तो मैट्रिक्स के सभी पंक्ति (और स्तंभ) तत्व जो चुने हुए आधार को छोटा नहीं बनाते हैं, उन्हें संबंधित पंक्ति (और स्तंभ) बनाने वाले तत्वों के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है आधार गौण.

मैट्रिक्स रैंक प्रमेय हमें क्या बताता है?

यदि, क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार, हमने सिस्टम की अनुकूलता स्थापित की है, तो हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के किसी भी आधार को चुनते हैं (इसका क्रम r के बराबर है), और सिस्टम से सभी समीकरणों को बाहर कर देते हैं। चयनित आधार को लघु न बनाएं। इस तरह से प्राप्त SLAE मूल समीकरण के बराबर होगा, क्योंकि छोड़े गए समीकरण अभी भी बेमानी हैं (मैट्रिक्स रैंक प्रमेय के अनुसार, वे शेष समीकरणों का एक रैखिक संयोजन हैं)।

परिणामस्वरूप, सिस्टम के अनावश्यक समीकरणों को त्यागने के बाद, दो मामले संभव हैं।

यदि परिणामी प्रणाली में समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के बराबर है, तो यह निश्चित होगा और इसका एकमात्र समाधान क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि या गॉस विधि द्वारा पाया जा सकता है।

उदाहरण।

.

समाधान।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर है, क्योंकि अवयस्क दूसरे क्रम का है शून्य से भिन्न. विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक यह भी दो के बराबर है, क्योंकि केवल तीसरे क्रम का लघु शून्य है

और ऊपर माना गया दूसरे क्रम का लघु शून्य से भिन्न है। क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के आधार पर, हम रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली की अनुकूलता का दावा कर सकते हैं, क्योंकि रैंक (ए) = रैंक (टी) = 2।

एक आधार के रूप में हम नाबालिग लेते हैं . यह पहले और दूसरे समीकरण के गुणांकों से बनता है:


सिस्टम का तीसरा समीकरण आधार नाबालिग के निर्माण में भाग नहीं लेता है, इसलिए हम इसे मैट्रिक्स की रैंक पर प्रमेय के आधार पर सिस्टम से बाहर कर देते हैं:


इस प्रकार हमने रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रारंभिक प्रणाली प्राप्त की। आइए इसे क्रैमर विधि का उपयोग करके हल करें:


उत्तर:

एक्स 1 = 1, एक्स 2 = 2.

यदि परिणामी SLAE में समीकरणों की संख्या r है कम संख्याअज्ञात चर n, फिर समीकरणों के बाईं ओर हम उन पदों को छोड़ देते हैं जो आधार लघु बनाते हैं, और शेष पदों को हम विपरीत चिह्न के साथ सिस्टम के समीकरणों के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं।

समीकरणों के बाईं ओर शेष अज्ञात चर (उनमें से r) कहलाते हैं मुख्य.

अज्ञात चर (वहाँ n - r टुकड़े हैं) जो दाहिनी ओर हैं, कहलाते हैं मुक्त.

अब हम मानते हैं कि मुक्त अज्ञात चर मनमाना मान ले सकते हैं, जबकि आर मुख्य अज्ञात चर एक अनूठे तरीके से मुक्त अज्ञात चर के माध्यम से व्यक्त किए जाएंगे। उनकी अभिव्यक्ति क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि या गॉस विधि का उपयोग करके परिणामी SLAE को हल करके पाई जा सकती है।

आइए इसे एक उदाहरण से देखें.

उदाहरण।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें .

समाधान।

आइए सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें अवयस्कों को सीमांकित करने की विधि द्वारा। आइए 1 1 = 1 को पहले क्रम के गैर-शून्य लघु के रूप में लें। आइए इस लघु की सीमा से लगे दूसरे क्रम के गैर-शून्य लघु की खोज शुरू करें:


इस प्रकार हमने दूसरे क्रम का एक गैर-शून्य लघु पाया। आइए तीसरे क्रम के गैर-शून्य सीमा वाले लघु की खोज शुरू करें:


इस प्रकार, मुख्य मैट्रिक्स की रैंक तीन है। विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक भी तीन के बराबर है, यानी सिस्टम सुसंगत है।

हम तीसरे क्रम के पाए गए गैर-शून्य लघु को आधार के रूप में लेते हैं।

स्पष्टता के लिए, हम उन तत्वों को दिखाते हैं जो आधार बनाते हैं:


हम आधार में शामिल पदों को सिस्टम समीकरणों के बाईं ओर मामूली छोड़ देते हैं, और बाकी को विपरीत संकेतों के साथ दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:


आइए मुक्त अज्ञात चर x 2 और x 5 को मनमाना मान दें, अर्थात हम स्वीकार करते हैं , मनमानी संख्याएँ कहाँ हैं। इस मामले में, SLAE फॉर्म लेगा


आइए हम क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की परिणामी प्राथमिक प्रणाली को हल करें:


इस तरह, ।

अपने उत्तर में मुक्त अज्ञात चरों को इंगित करना न भूलें।

उत्तर:

मनमानी संख्याएँ कहाँ हैं?

संक्षेप।

सामान्य रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, हम पहले क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करके इसकी संगतता निर्धारित करते हैं। यदि मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर नहीं है, तो हम निष्कर्ष निकालते हैं कि सिस्टम असंगत है।

यदि मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है, तो हम एक आधार माइनर का चयन करते हैं और सिस्टम के समीकरणों को त्याग देते हैं जो चयनित आधार माइनर के निर्माण में भाग नहीं लेते हैं।

यदि आधार नाबालिग का क्रम अज्ञात चर की संख्या के बराबर है, तो SLAE के पास एक अद्वितीय समाधान है, जिसे हमें ज्ञात किसी भी विधि द्वारा पाया जा सकता है।

यदि आधार लघु का क्रम अज्ञात चर की संख्या से कम है, तो सिस्टम समीकरणों के बाईं ओर हम मुख्य अज्ञात चर के साथ शर्तों को छोड़ देते हैं, शेष शर्तों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और मनमाना मान देते हैं मुक्त अज्ञात चर। रैखिक समीकरणों की परिणामी प्रणाली से हम क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि या गॉस विधि का उपयोग करके मुख्य अज्ञात चर पाते हैं।

सामान्य रूप के रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि।

गॉस विधि का उपयोग किसी भी प्रकार के रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को पहले स्थिरता के लिए परीक्षण किए बिना हल करने के लिए किया जा सकता है। अज्ञात चरों के क्रमिक उन्मूलन की प्रक्रिया SLAE की अनुकूलता और असंगति दोनों के बारे में निष्कर्ष निकालना संभव बनाती है, और यदि कोई समाधान मौजूद है, तो उसे ढूंढना संभव बनाती है।

कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण से, गाऊसी पद्धति बेहतर है।

इस पर नजर रखें विस्तृत विवरणऔर सामान्य रूप के रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि लेख में उदाहरणों का विश्लेषण किया।

समाधानों की मौलिक प्रणाली के सदिशों का उपयोग करके सजातीय और अमानवीय रैखिक बीजगणितीय प्रणालियों के लिए एक सामान्य समाधान लिखना।

इस खंड में हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक साथ सजातीय और अमानवीय प्रणालियों के बारे में बात करेंगे जिनके समाधानों की संख्या अनंत है।

आइए सबसे पहले सजातीय प्रणालियों से निपटें।

समाधान की मौलिक प्रणाली n अज्ञात चर के साथ p रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की सजातीय प्रणाली इस प्रणाली के (n - r) रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों का एक संग्रह है, जहां r प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स के आधार नाबालिग का क्रम है।

यदि हम एक सजातीय SLAE के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों को X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) के रूप में निरूपित करते हैं आयाम n बटा 1) के आव्यूह, तो इस सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान को मनमाने ढंग से निरंतर गुणांक सी 1, सी 2, ..., सी (एन-आर) के साथ समाधान की मौलिक प्रणाली के वैक्टर के एक रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जाता है। है, ।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (ओरोस्लाउ) की एक सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान शब्द का क्या अर्थ है?

अर्थ सरल है: सूत्र सब कुछ निर्धारित करता है संभव समाधानमूल SLAE, दूसरे शब्दों में, मनमाना स्थिरांक C 1, C 2, ..., C (n-r) के मानों के किसी भी सेट को लेते हुए, सूत्र का उपयोग करके हम मूल सजातीय SLAE के समाधानों में से एक प्राप्त करेंगे।

इस प्रकार, यदि हम समाधानों की एक मौलिक प्रणाली पाते हैं, तो हम इस सजातीय SLAE के सभी समाधानों को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं।

आइए हम एक सजातीय SLAE के समाधान की एक मौलिक प्रणाली के निर्माण की प्रक्रिया दिखाएं।

हम रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली के आधार माइनर का चयन करते हैं, सिस्टम से अन्य सभी समीकरणों को बाहर करते हैं और मुक्त अज्ञात चर वाले सभी शब्दों को विपरीत संकेतों के साथ सिस्टम के समीकरणों के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं। आइए मुक्त अज्ञात चर को 1,0,0,...,0 मान दें और किसी भी तरह से रैखिक समीकरणों की परिणामी प्राथमिक प्रणाली को हल करके मुख्य अज्ञात की गणना करें, उदाहरण के लिए, क्रैमर विधि का उपयोग करके। इसका परिणाम X (1) होगा - मौलिक प्रणाली का पहला समाधान। यदि हम मुक्त अज्ञात को 0,1,0,0,…,0 मान देते हैं और मुख्य अज्ञात की गणना करते हैं, तो हमें X (2) मिलता है। और इसी तरह। यदि हम मुक्त अज्ञात चरों को 0.0,...,0.1 मान निर्दिष्ट करते हैं और मुख्य अज्ञात की गणना करते हैं, तो हमें X (n-r) प्राप्त होता है। इस प्रकार, एक सजातीय SLAE के समाधान की एक मौलिक प्रणाली का निर्माण किया जाएगा और इसके सामान्य समाधान को फॉर्म में लिखा जा सकता है।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की अमानवीय प्रणालियों के लिए, सामान्य समाधान को फॉर्म में दर्शाया जाता है, जहां संबंधित सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान होता है, और मूल अमानवीय SLAE का विशेष समाधान होता है, जिसे हम मुक्त अज्ञात मान देकर प्राप्त करते हैं। ​0,0,…,0 और मुख्य अज्ञात के मानों की गणना करना।

आइए उदाहरण देखें.

उदाहरण।

समाधानों की मौलिक प्रणाली और रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान खोजें .

समाधान।

रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणालियों के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक हमेशा विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर होती है। आइए सीमांत अवयस्कों की विधि का उपयोग करके मुख्य मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें। पहले क्रम के गैर-शून्य लघु के रूप में, हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का तत्व 1 1 = 9 लेते हैं। आइए दूसरे क्रम का सीमावर्ती गैर-शून्य लघु खोजें:

शून्य से भिन्न दूसरे क्रम का एक अवयस्क पाया गया है। आइए गैर-शून्य की तलाश में इसकी सीमा से लगे तीसरे क्रम के अवयस्कों के बारे में जानें:

सभी तीसरे क्रम के सीमावर्ती अवयस्क शून्य के बराबर हैं, इसलिए, मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर है। चलो ले लो । स्पष्टता के लिए, आइए सिस्टम के उन तत्वों पर ध्यान दें जो इसे बनाते हैं:

मूल SLAE का तीसरा समीकरण आधार नाबालिग के निर्माण में भाग नहीं लेता है, इसलिए, इसे बाहर रखा जा सकता है:

हम मुख्य अज्ञात वाले पदों को समीकरणों के दाईं ओर छोड़ देते हैं, और मुक्त अज्ञात वाले पदों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:

आइए हम रैखिक समीकरणों की मूल सजातीय प्रणाली के समाधान की एक मौलिक प्रणाली का निर्माण करें। इस SLAE के समाधान की मूल प्रणाली में दो समाधान शामिल हैं, क्योंकि मूल SLAE में चार अज्ञात चर हैं, और इसके आधार नाबालिग का क्रम दो के बराबर है। X (1) को खोजने के लिए, हम मुक्त अज्ञात चर को x 2 = 1, x 4 = 0 मान देते हैं, फिर हम समीकरणों की प्रणाली से मुख्य अज्ञात पाते हैं
.

आइए इसे क्रैमर विधि का उपयोग करके हल करें:

इस प्रकार, ।

अब आइए X (2) की रचना करें। ऐसा करने के लिए, हम मुक्त अज्ञात चर को x 2 = 0, x 4 = 1 मान देते हैं, फिर हम रैखिक समीकरणों की प्रणाली से मुख्य अज्ञात पाते हैं
.

आइए फिर से क्रैमर विधि का उपयोग करें:

हमें मिला।

तो हमें समाधान की मौलिक प्रणाली के दो वैक्टर मिले और, अब हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान को लिख सकते हैं:

, जहां C 1 और C 2 मनमानी संख्याएं हैं।, शून्य के बराबर हैं. हम लघु को भी मूल के रूप में लेंगे, सिस्टम से तीसरे समीकरण को हटा देंगे और मुक्त अज्ञात वाले शब्दों को सिस्टम समीकरणों के दाईं ओर ले जाएंगे:

खोजने के लिए, आइए मुक्त अज्ञात चर को x 2 = 0 और x 4 = 0 मान दें, फिर समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगी , जहां से हम क्रैमर विधि का उपयोग करके मुख्य अज्ञात चर पाते हैं:

हमारे पास है , इस तरह,

जहाँ C 1 और C 2 मनमानी संख्याएँ हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक अनिश्चित सजातीय प्रणाली के समाधान उत्पन्न होते हैं रैखिक स्थान

समाधान।

एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक दीर्घवृत्त के विहित समीकरण का रूप होता है . हमारा कार्य पैरामीटर ए, बी और सी निर्धारित करना है। चूँकि दीर्घवृत्ताभ बिंदु A, B और C से होकर गुजरता है, तो उनके निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते समय विहित समीकरणदीर्घवृत्ताकार इसे एक पहचान में बदलना होगा। तो हमें तीन समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:

चलो निरूपित करें , तो प्रणाली रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली बन जाएगी .

आइए सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें:

चूँकि यह गैर-शून्य है, हम क्रैमर विधि का उपयोग करके समाधान पा सकते हैं:
). जाहिर है, x = 0 और x = 1 इस बहुपद के मूल हैं। विभाजन से भागफल पर है । इस प्रकार, हमारा विस्तार होता है और मूल अभिव्यक्ति रूप धारण कर लेती है .

आइए अनिश्चित गुणांकों की विधि का उपयोग करें।

अंशों के संगत गुणांकों को बराबर करने पर, हम रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली पर पहुँचते हैं . इसका समाधान हमें वांछित अनिश्चित गुणांक ए, बी, सी और डी देगा।

आइए गॉसियन विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें:

गॉसियन विधि के विपरीत का उपयोग करके, हम D = 0, C = -2, B = 1, A = 1 पाते हैं।

हम पाते हैं,

उत्तर:

.

समाधान ढूँढना रैखिक प्रणाली
Bodrenko.com पर पोर्टेबल विंडोज़ एप्लिकेशन

§2. एक रेखीय प्रणाली का समाधान ढूँढना

क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय एक रैखिक प्रणाली की अनुकूलता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति स्थापित करता है, लेकिन इस प्रणाली का समाधान खोजने का कोई तरीका प्रदान नहीं करता है।
इस अनुभाग में हम रैखिक प्रणाली (3.1) का समाधान पाएंगे। सबसे पहले, हम मुख्य मैट्रिक्स के गैर-शून्य निर्धारक के साथ रैखिक समीकरणों की द्विघात प्रणाली के सबसे सरल मामले पर विचार करेंगे, और फिर हम फॉर्म (3.1) की सामान्य रैखिक प्रणाली के सभी समाधानों के सेट को खोजने के लिए आगे बढ़ेंगे।
1. मुख्य मैट्रिक्स के शून्येतर निर्धारक के साथ रैखिक समीकरणों की द्विघात प्रणाली।मान लीजिए कि रैखिक समीकरणों की एक द्विघात प्रणाली दी गई है

मुख्य मैट्रिक्स के एक गैर-शून्य निर्धारक Δ के साथ

आइए हम साबित करें कि ऐसी प्रणाली का एक अनूठा समाधान है, और हम यह समाधान ढूंढ लेंगे। सबसे पहले, हम साबित करेंगे कि सिस्टम (3.10) का केवल एक ही समाधान हो सकता है (अर्थात, हम सिस्टम (3.10) के अस्तित्व की धारणा के तहत समाधान की विशिष्टता साबित करेंगे)।
आइए मान लें कि कोई n संख्याएँ x 1, x 2,..., x n हैं जैसे कि इन संख्याओं को सिस्टम (3.10) में प्रतिस्थापित करने पर, इस सिस्टम के सभी समीकरण सर्वसमिका बन जाते हैं (यानी, सिस्टम का कुछ समाधान होता है) 3.10) x 1, x 2,..., x n). फिर, बीजगणितीय पूरक ए 1 जे, ए 2 जे,..., मैट्रिक्स (3.11) के निर्धारक Δ के जे-आरओ कॉलम के ए एनजे तत्वों द्वारा क्रमशः पहचान (3.10) को गुणा करना और फिर परिणामी पहचान जोड़ना, हम प्राप्त करते हैं ( किसी भी संख्या j के लिए, 1, 2,..., n के बराबर)

यह ध्यान में रखते हुए कि जे-आरओ कॉलम के तत्वों के संबंधित बीजगणितीय पूरक द्वारा आई-वें कॉलम के तत्वों के उत्पादों का योग i ≠ j के लिए शून्य के बराबर है और मैट्रिक्स के निर्धारक Δ (3.11) के बराबर है i = j (अध्याय 1 के §2 के पैराग्राफ 4 से संपत्ति 4° देखें), हम अंतिम समानता से प्राप्त करते हैं

x j Δ = b 1 A 1j + b 2 A 2j + ... + b n A nj। (3.12)

आइए हम प्रतीक द्वारा निरूपित करेंΔ जे (बी मैं ) (या, अधिक संक्षेप में, प्रतीकΔ जे ) निर्धारक से प्राप्त निर्धारकΔ मुख्य मैट्रिक्स (3.11) इसके जे-वें कॉलम को मुक्त शब्दों के कॉलम के साथ बदलकर बी 1 ,बी 2 ,...,बी एन (अन्य सभी कॉलमों को अपरिवर्तित रखते हुए Δ ).
ध्यान दें कि (3.12) के दाईं ओर निश्चित रूप से निर्धारक Δ j (b i) है (इसे सत्यापित करने के लिए, i-वें कॉलम के तत्वों पर निर्धारक Δ j (b i) का विस्तार लिखना पर्याप्त है) , और यह समानता रूप धारण कर लेती है

Δ x j = Δ j (3.13)

चूँकि मैट्रिक्स (3.11) का निर्धारक शून्येतर है, समानताएँ (3.13) संबंधों के समतुल्य हैं

तो हमने ये साबित कर दिया है यदि समाधान x 1 , एक्स 2 ,...,एक्स एन प्रणाली (3.10) निर्धारक के साथΔ शून्य से भिन्न मुख्य मैट्रिक्स (3.11) मौजूद है, तो यह समाधान विशिष्ट रूप से सूत्रों (3.14) द्वारा निर्धारित किया जाता है.
सूत्र (3.14) कहलाते हैं क्रैमर सूत्र.
आइए हम एक बार फिर इस बात पर जोर दें कि क्रैमर के सूत्र अब तक किसी समाधान के अस्तित्व की धारणा के तहत प्राप्त किए गए हैं और इसकी विशिष्टता साबित करते हैं।
सिस्टम (3.10) के समाधान के अस्तित्व को साबित करना बाकी है। ऐसा करने के लिए, क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के आधार पर, यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि मुख्य मैट्रिक्स (3.11) की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है (समाधान के अस्तित्व को साबित करने का एक और तरीका है) सिस्टम (3.10), जिसमें यह जांचना शामिल है कि क्रैमर के सूत्रों (3.14) द्वारा परिभाषित संख्याएं x 1, x 2,..x n, सिस्टम (3.10) के सभी समीकरणों को पहचान में बदल देती हैं)

लेकिन यह स्पष्ट है, क्योंकि संबंध Δ ≠ 0 के कारण, मुख्य मैट्रिक्स की रैंक n के बराबर है, और n पंक्तियों वाले विस्तारित मैट्रिक्स (3.15) की रैंक संख्या n से अधिक नहीं हो सकती है और इसलिए है मुख्य मैट्रिक्स की रैंक के बराबर।
इससे यह पूर्णतया सिद्ध होता है शून्य से भिन्न मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक के साथ रैखिक समीकरणों (3.10) की द्विघात प्रणाली, और इसके अलावा, क्रैमर सूत्रों (3.14) द्वारा निर्धारित एक अद्वितीय समाधान है।

हमने जो कथन सिद्ध किया है उसे मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके और भी अधिक सरलता से स्थापित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम (जैसा कि § 1 के पैराग्राफ 1 में है) सिस्टम (3.10) को इसके समतुल्य मैट्रिक्स समीकरण से प्रतिस्थापित करते हैं

एएक्स = बी, (3.16)

जहां ए सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स है (3.11), और एक्स और बी कॉलम हैं,

जिनमें से पहला निर्धारित किया जाना है, और दूसरा दिया जाना है।
चूँकि मैट्रिक्स A का निर्धारक Δ शून्य से भिन्न है, इसलिए एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स A -1 है (पैराग्राफ 7, §2, अध्याय 1 देखें)।
आइए मान लें कि सिस्टम (3.10) का एक समाधान है, यानी। एक कॉलम X है जो मैट्रिक्स समीकरण (3.16) को एक पहचान में बदल देता है। बाईं ओर संकेतित पहचान को व्युत्क्रम मैट्रिक्स A -1 से गुणा करने पर हमें प्राप्त होगा

ए -1 (एएक्स) = ए -1 वी. (3.17)

आइए अब इस बात पर ध्यान दें कि तीन आव्यूहों के गुणनफल के संयोजन गुण के कारण (पैराग्राफ 2, § 1, अध्याय 1 देखें) और संबंध ए -1 ए = ई के कारण, जहां ई पहचान मैट्रिक्स है (पैराग्राफ देखें) 7, §2, अध्याय 1), ए -1 (एएक्स) = (ए -1 ए)एक्स = ईएक्स = एक्स, इसलिए हम (3.17) से प्राप्त करते हैं

एक्स = ए -1 वी. (3.18)

समानता (3.18) का विस्तार करना और Ch के §2 के पैराग्राफ 7 से व्युत्क्रम मैट्रिक्स के रूप को ध्यान में रखना (सूत्र A.41 देखें)। 1), हम कॉलम X के तत्वों के लिए क्रैमर सूत्र प्राप्त करते हैं।
इसलिए, हमने साबित कर दिया है कि यदि मैट्रिक्स समीकरण (3.16) का कोई समाधान मौजूद है, तो यह क्रैमर के सूत्रों के समतुल्य संबंध (3.18) द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है।
यह जांचना आसान है कि संबंध (3.18) द्वारा परिभाषित कॉलम एक्स वास्तव में मैट्रिक्स समीकरण (3.16) का समाधान है,
यानी, जब इसे इस समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो यह इसे एक पहचान में बदल देता है। वास्तव में, यदि कॉलम X समानता (3.18) द्वारा निर्धारित किया जाता है, तो AX = A(A -1 B) = (AA -1)B = EB = B.
इसलिए, यदि मैट्रिक्स ए का निर्धारक शून्य से भिन्न है (अर्थात, यदि यह मैट्रिक्स गैर-एकवचन है), तो, और इसके अलावा, मैट्रिक्स समीकरण (3.16) का एक अनूठा समाधान है, जो संबंध द्वारा निर्धारित होता है ( 3.18), क्रैमर के सूत्रों के बराबर।
उदाहरण। आइए रैखिक समीकरणों की द्विघात प्रणाली का समाधान खोजें

मुख्य मैट्रिक्स के एक गैर-शून्य निर्धारक के साथ

क्योंकि

फिर, क्रैमर के सूत्रों के आधार पर, विचाराधीन प्रणाली के एकमात्र समाधान का रूप x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, x 4 = 4 है।
क्रैमर के सूत्रों का मुख्य महत्व यह है कि वे समीकरणों के गुणांक और मुक्त शर्तों के संदर्भ में रैखिक समीकरणों (एक गैर-शून्य निर्धारक के साथ) की द्विघात प्रणाली को हल करने के लिए एक स्पष्ट अभिव्यक्ति प्रदान करते हैं। क्रैमर के सूत्रों के व्यावहारिक उपयोग में बोझिल गणनाएं शामिल हैं (एन अज्ञात के साथ एन समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, किसी को (एन + 1) एनवें-क्रम निर्धारक की गणना करनी होती है)। इसमें यह जोड़ा जाना चाहिए कि यदि समीकरणों और मुक्त पदों के गुणांक किसी भी मापी गई भौतिक मात्रा के केवल अनुमानित मान हैं या गणना प्रक्रिया के दौरान गोल किए जाते हैं, तो क्रैमर के सूत्रों के उपयोग से बड़ी त्रुटियां हो सकती हैं और कुछ मामलों में अनुचित है.
अध्याय 4 के §4 में, ए.एन. के कारण नियमितीकरण विधि प्रस्तुत की जाएगी। तिखोनोव और आपको समीकरण गुणांक के मैट्रिक्स और मुक्त शब्दों के कॉलम और चैप में निर्दिष्ट सटीकता के अनुरूप एक रैखिक प्रणाली का समाधान खोजने की अनुमति देता है। 6 रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए तथाकथित पुनरावृत्त तरीकों का एक विचार देता है, जो अज्ञात के क्रमिक अनुमानों का उपयोग करके इन प्रणालियों को हल करना संभव बनाता है।
निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि इस खंड में हमने उस मामले को विचार से बाहर रखा है जब सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स (3.10) का निर्धारक गायब हो जाता है। यह मामला अगले पैराग्राफ में प्रस्तुत n अज्ञात के साथ m रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के सामान्य सिद्धांत में शामिल होगा।
2. सामान्य रैखिक प्रणाली के सभी समाधान ढूँढना।आइये अब विचार करें सामान्य प्रणाली n अज्ञात के साथ m रैखिक समीकरण (3.1)। आइए मान लें कि यह प्रणाली सुसंगत है और इसके मुख्य और विस्तारित आव्यूहों की रैंक संख्या r के बराबर है। व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मान सकते हैं कि मुख्य मैट्रिक्स (3.2) का आधार माइनर इस मैट्रिक्स के ऊपरी बाएं कोने में है (सिस्टम (3.1) में समीकरणों और अज्ञात को पुनर्व्यवस्थित करके सामान्य मामले को इस मामले में कम कर दिया गया है)।
फिर मुख्य मैट्रिक्स (3.2) और विस्तारित मैट्रिक्स (3.8) दोनों की पहली r पंक्तियाँ इन मैट्रिक्स की आधार पंक्तियाँ हैं (चूंकि मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक दोनों r के बराबर हैं, मुख्य मैट्रिक्स का आधार माइनर एक साथ विस्तारित मैट्रिक्स का आधार माइनर होगा), और, आधार माइनर पर प्रमेय 1.6 के अनुसार, विस्तारित मैट्रिक्स (1.8) की प्रत्येक पंक्ति, (आर + 1)वीं पंक्ति से शुरू होकर, का एक रैखिक संयोजन है इस मैट्रिक्स की पहली r पंक्तियाँ।
सिस्टम (3.1) के संदर्भ में, इसका मतलब है कि इस सिस्टम का प्रत्येक समीकरण, (आर + 1)वें समीकरण से शुरू होकर, इस सिस्टम के पहले आर समीकरणों का एक रैखिक संयोजन (यानी, एक परिणाम) है ( यानी, सिस्टम (3.1) के पहले आर समीकरणों का कोई भी समाधान इस सिस्टम के सभी बाद के समीकरणों की पहचान में बदल जाता है).
इस प्रकार, सिस्टम (3.1) के केवल पहले आर समीकरणों के सभी समाधान ढूंढना पर्याप्त है। आइए हम सिस्टम (3.1) के पहले r समीकरणों पर विचार करें, उन्हें फॉर्म में लिखें

यदि हम अज्ञात x r+1 ,...,x n को पूरी तरह से मनमाना मान देते हैं c r+1 ,...,c n , तो सिस्टम (1.19) r अज्ञात x के लिए r रैखिक समीकरणों की एक द्विघात प्रणाली में बदल जाएगा 1 , x 2 , ..., x r , और इस प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक मैट्रिक्स (3.2) का गैर-शून्य आधार लघु है। पिछले पैराग्राफ के परिणामों के कारण, इस प्रणाली (3.19) में क्रैमर के सूत्रों द्वारा निर्धारित एक अद्वितीय समाधान है, अर्थात मनमाने ढंग से चुने गए c r+1 ,...,c n के लिए r संख्याओं का एक अद्वितीय संग्रह है c 1 ,.. .,c r, सिस्टम के सभी समीकरणों (3.19) को सर्वसमिकाओं में बदलना और क्रैमर के सूत्रों द्वारा परिभाषित करना।
इस अनूठे समाधान को लिखने के लिए, हम मैट्रिक्स (3.2) के आधार लघु एम से प्राप्त निर्धारक को प्रतीक एम जे (डी आई) द्वारा इसके जे-आरओ कॉलम को संख्या डी 1, डी 2 के कॉलम के साथ प्रतिस्थापित करके निरूपित करने के लिए सहमत हैं। ...,डी आई,..., डी आर (एम के अन्य सभी कॉलम बिना बदले संरक्षित किए जा रहे हैं)। फिर, क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके और निर्धारक की रैखिक संपत्ति का उपयोग करके सिस्टम (3.19) का समाधान लिखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

सूत्र (3.20) अज्ञात x j = c j (j = 1, 2,......, r) के मानों को अज्ञात के गुणांकों, मुक्त पदों और r+1 के साथ मनमाने ढंग से निर्दिष्ट मापदंडों के माध्यम से व्यक्त करते हैं। ..., एन के साथ।
आइए इसे साबित करें सूत्र (3.20) में सिस्टम (3.1) का कोई समाधान शामिल है. वास्तव में, मान लीजिए c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r , c (0) r+1 , ...,c (0) n निर्दिष्ट प्रणाली का एक मनमाना समाधान है . तब यह सिस्टम का समाधान है (3.19)। लेकिन सिस्टम (3.19) से मात्राएँ c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r मात्राओं c (0) r+1 , ...,c (0) के माध्यम से विशिष्ट रूप से निर्धारित की जाती हैं ) n और ठीक क्रैमर के सूत्रों (3.20) के अनुसार। इस प्रकार, के साथ आर+1 =सी (0) आर+1 , ..., साथ एन =सी (0) एन सूत्र (3.20) हमें विचाराधीन सी का सटीक समाधान देते हैं (0) 1 , सी (0) 2 ,...,सी (0) आर , सी (0) आर+1 , ...,सी (0) एन .
टिप्पणी।यदि सिस्टम (3.1) के मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक आर अज्ञात एन की संख्या के बराबर है, तो इस मामले में संबंध (3.20) सूत्रों में बदल जाते हैं

सिस्टम के अनूठे समाधान को परिभाषित करना (3.1)। इस प्रकार, सिस्टम (3.1) का एक अद्वितीय समाधान है (अर्थात, यह निश्चित है) बशर्ते कि इसके मुख्य और विस्तारित आव्यूहों की रैंक r अज्ञात n की संख्या के बराबर हो (और समीकरणों की संख्या m से कम या उसके बराबर हो)।
उदाहरण। आइए रैखिक प्रणाली के सभी समाधान खोजें

यह सत्यापित करना आसान है कि इस प्रणाली के मुख्य और विस्तारित दोनों मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर है (यानी, यह प्रणाली संगत है), और हम मान सकते हैं कि मूल लघु एम मुख्य मैट्रिक्स के ऊपरी बाएं कोने में है , अर्थात। . लेकिन फिर, अंतिम दो समीकरणों को छोड़कर और 3 और 4 के साथ मनमाने ढंग से सेट करने पर, हमें सिस्टम मिलता है

एक्स 1 - एक्स 2 = 4 - सी 3 + सी 4,

एक्स 1 + एक्स 2 = 8 - 2सी 3 - 3सी 4,

जिससे, क्रैमर के सूत्रों के आधार पर, हम मान प्राप्त करते हैं

एक्स 1 = सी 1 = 6 - 3/2 सी 3 - सी 4, एक्स 2 = सी 2 = 2 - 1/2 सी 3 - 2सी 4। (3.22)

तो चार नंबर

(6 - 3/2 सी 3 - सी 4,2 - 1/2 सी 3 - 2सी 4,सी 3, सी 4) (3.23)

सी 3 और सी 4 के मनमाने ढंग से दिए गए मानों के लिए वे सिस्टम (3.21) का एक समाधान बनाते हैं, और लाइन (3.23) में इस सिस्टम के सभी समाधान शामिल होते हैं।

3. एक सजातीय प्रणाली के समाधानों के एक सेट के गुण।आइए अब हम एन अज्ञात (3.7) के साथ एम रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली पर विचार करें, उपरोक्त मानते हुए, कि मैट्रिक्स (3.2) की रैंक आर के बराबर है, और आधार मामूली एम इसके ऊपरी बाएं कोने में स्थित है आव्यूह। चूँकि इस बार सभी b i शून्य के बराबर हैं, सूत्र (3.20) के बजाय हमें निम्नलिखित सूत्र मिलते हैं:

अज्ञात के गुणांकों के माध्यम से अज्ञात x j = c j (j = 1, 2,..., r) के मानों को व्यक्त करना और मनमाने ढंग से दिए गए मान c r+1 ,...,c n। पिछले पैराग्राफ में जो सिद्ध हुआ था उसके कारण सूत्र (3.24) में सजातीय प्रणाली का कोई समाधान होता है (3.7).
आइए अब यह सुनिश्चित करें कि set सजातीय प्रणाली के सभी समाधान (3.7) एक रैखिक स्थान बनाते हैं.
मान लीजिए X 1 = (x (1) 1, x (1) 2,...,x (1) n) और X 2 = (x (2) 1, x (2) 2,...,x ( 2) n) सजातीय प्रणाली (3.7) के दो मनमाने समाधान हैं, और λ कोई वास्तविक संख्या है। इस तथ्य के कारण कि सजातीय प्रणाली (3.7) का प्रत्येक समाधान n संख्याओं के सभी क्रमित संग्रहों में से रैखिक स्थान A n का एक तत्व है, यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि दोनों संग्रहों में से प्रत्येक

एक्स 1 + एक्स 2 = (एक्स (1) 1 + एक्स (2) 1 ,..., एक्स (1) एन + एक्स (2) एन)

λ एक्स 1 = (λ x (1) 1 ,...,λ x (1) n)

सजातीय प्रणाली (3.7) का भी एक समाधान है।
उदाहरण के लिए, सिस्टम के किसी भी समीकरण (3.7) पर विचार करें मैं-वें समीकरण, और अज्ञात के स्थान पर निर्दिष्ट आबादी के तत्वों को इस समीकरण में रखें। यह मानते हुए कि एक्स 1 और एक्स 2 एक सजातीय प्रणाली के समाधान हैं, हमारे पास होगा

और इसका मतलब है कि सेट X 1 + X 2 और λ X 1 सजातीय प्रणाली (3.7) के समाधान हैं।
तो, सजातीय प्रणाली (3.7) के सभी समाधानों का सेट एक रैखिक स्थान बनाता है, जिसे हम प्रतीक आर द्वारा निरूपित करते हैं।
आइए इस स्थान R का आयाम ज्ञात करें और इसमें एक आधार बनाएं।
आइए हम सिद्ध करें कि इस धारणा के तहत कि सजातीय प्रणाली (3.7) के मैट्रिक्स की रैंक r के बराबर है, सजातीय प्रणाली (3.7) के सभी समाधानों का रैखिक स्थान R, रैखिक स्थान A के समरूपी है एन आर (n - r) संख्याओं के सभी ऑर्डर किए गए संग्रह(स्पेस ए एम को उदाहरण 3, खंड 1, खंड 1, अध्याय 2 में पेश किया गया था)।

आइए हम सजातीय प्रणाली (3.7) के प्रत्येक समाधान (c 1 ,...,c r , c r+1 ,...,c n) को एक तत्व (c r+1 ,...,c n) के साथ जोड़ते हैं। अंतरिक्ष ए एन आरचूँकि संख्याएँ c r+1 ,...,c n को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है और प्रत्येक विकल्प के साथ, सूत्र (3.24) का उपयोग करके, वे विशिष्ट रूप से सिस्टम (3.7) का समाधान निर्धारित करते हैं, तो हमने जो पत्राचार स्थापित किया है वह है एक से एक. इसके बाद, हम ध्यान दें कि यदि अंतरिक्ष के तत्व c (1) r+1 ,...,c (1) n और c (2) r+1 ,...,c (2) n हैं ए एन आरतत्वों के अनुरूप (c (1) 1 ,...,c (1) r , c (1) r+1 ,...,c (1) n) और (c (2) 1 ,... ,c (2) r , c (2) r+1 ,...,c (2) n) अंतरिक्ष R का, फिर सूत्र (3.24) से यह तुरंत अनुसरण करता है कि तत्व (c (1) r+1 + c (2 ) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n) तत्व (c (1) 1 + c (2) 1 ,...,c (1) से मेल खाता है r + c (2) r , c (1) r+1 + c (2) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n), और तत्व (λ c (1) r+1 ,... ,λ c (1) n) किसी भी वास्तविक λ के लिए तत्व से मेल खाता है (λ c (1) 1 ,...,λ c (1) r , λ c (1) r+1 , ...,λ सी (1 ) एन). इससे साबित होता है कि हमने जो पत्राचार स्थापित किया है वह एक समरूपता है।
इस प्रकार, n अज्ञात के साथ सजातीय प्रणाली (3.7) के सभी समाधानों का रैखिक स्थान R और r के बराबर मुख्य मैट्रिक्स का रैंक अंतरिक्ष के लिए समरूपी है ए एन आरऔर, इसलिए, इसका आयाम n - r है।
सजातीय प्रणाली (3.7) के (एन - आर) रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों का कोई भी सेट (प्रमेय 2.5 के आधार पर) सभी समाधानों के स्थान आर में एक आधार बनाता है और इसे सजातीय प्रणाली (3.7) के समाधानों का मूल सेट कहा जाता है। .
समाधानों का एक मौलिक सेट बनाने के लिए, आप अंतरिक्ष में किसी भी आधार से शुरुआत कर सकते हैं ए एन आर. इस आधार के अनुरूप सिस्टम (3.7) के समाधानों का सेट, समरूपता के कारण, रैखिक रूप से स्वतंत्र होगा और इसलिए समाधानों का एक मौलिक सेट होगा।
सिस्टम (3.7) के समाधानों के मूल सेट पर विशेष ध्यान दिया जाता है, जो सबसे सरल आधार ई 1 = (1, 0, 0,..., 0), ई 2 = (1, 1, 0,) से मेल खाता है। .., 0), ..., ई एन-आर = (0, 0, 0,..., 1) रिक्त स्थान ए एन आरऔर सजातीय प्रणाली (3.7) के समाधानों का सामान्य मौलिक सेट कहा जाता है।
आधार नाबालिग की रैंक और स्थान के बारे में ऊपर दी गई धारणाओं के तहत, सूत्रों (3.24) के आधार पर, सजातीय प्रणाली (3.7) के समाधान के सामान्य मौलिक सेट का रूप है:

आधार की परिभाषा के अनुसार, सजातीय प्रणाली (3.7) के किसी भी समाधान एक्स को फॉर्म में दर्शाया जा सकता है

एक्स= सी 1 एक्स 1 + सी 2 एक्स 2 + ... + सी एन-आर एक्स एन-आर, (3.26)

जहां C 1, C 2, ..., C n-r कुछ स्थिरांक हैं। चूँकि सूत्र (3.26) में सजातीय प्रणाली (3.7) का कोई समाधान शामिल है, यह सूत्र विचाराधीन सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान देता है।
उदाहरण। समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली पर विचार करें:

अमानवीय प्रणाली (3.21) के अनुरूप, पिछले पैराग्राफ के अंत में उदाहरण में विश्लेषण किया गया है। वहां हमें पता चला कि इस प्रणाली के मैट्रिक्स की रैंक आर दो के बराबर है, और हमने निर्दिष्ट मैट्रिक्स के ऊपरी बाएं कोने में नाबालिग को आधार के रूप में लिया।
पिछले पैराग्राफ के अंत में किए गए तर्क को दोहराते हुए, हम सूत्र (3.22) के बजाय संबंध प्राप्त करते हैं

सी 1 = - 3/2 सी 3 - सी 4, सी 2 = - 1/2 सी 3 - 2सी 4,

मनमाने ढंग से चुने गए सी 3 और सी 4 के लिए मान्य। इन संबंधों का उपयोग करते हुए (पहले मान लें कि c 3 =1,c 4 =0, और फिर c 3 = 0,c 4 = 1) हम सिस्टम (3.27) के दो समाधानों का एक सामान्य मौलिक सेट प्राप्त करते हैं:

एक्स 1 = (-3/2,-1/2,1,0), एक्स 2 = (-1,-2, 0.1)। (3.28)

जहाँ C 1 और C 2 मनमाना स्थिरांक हैं।
इस खंड को समाप्त करने के लिए, हम अमानवीय रैखिक प्रणाली (3.1) और संबंधित सजातीय प्रणाली (3.7) (अज्ञात के लिए समान गुणांक के साथ) के समाधान के बीच एक संबंध स्थापित करेंगे। आइए हम निम्नलिखित दो कथनों को सिद्ध करें।
1°. असंगत प्रणाली (3.1) के किसी भी समाधान का संगत सजातीय प्रणाली (3.7) के किसी भी समाधान के साथ योग प्रणाली (3.1) का एक समाधान है।
वास्तव में, यदि c 1 ,...,c n सिस्टम (3.1) का एक समाधान है, a d 1 ,...,d n संबंधित सजातीय सिस्टम (3.7) का एक समाधान है, तो, किसी में प्रतिस्थापित करना (उदाहरण के लिए, i-वें में) सिस्टम का समीकरण (3.1) अज्ञात संख्याओं के स्थान पर c 1 + d 1 ,...,c n + d n , हम प्राप्त करते हैं

क्यू.ई.डी.
2°. अमानवीय प्रणाली (3.1) के दो मनमाने समाधानों का अंतर संबंधित सजातीय प्रणाली (3.7) का समाधान है।
वास्तव में, यदि c" 1 ,...,c" n और c" 1 ,...,c" n सिस्टम (3.1) के दो मनमाने समाधान हैं, तो, किसी में प्रतिस्थापित करना (उदाहरण के लिए, i- में) वें) सिस्टम का समीकरण (3.7) अज्ञात संख्याओं के स्थान पर c" 1 - c" 1 ,...,c" n - c" n हमें मिलता है

क्यू.ई.डी.
सिद्ध कथनों से यह निष्कर्ष निकलता है कि, अमानवीय प्रणाली (3.1) का एक समाधान खोजने और इसे संबंधित सजातीय प्रणाली (3.7) के प्रत्येक समाधान के साथ जोड़ने पर, हमें अमानवीय प्रणाली (3.1) के सभी समाधान प्राप्त होते हैं।
दूसरे शब्दों में, अमानवीय प्रणाली (3.1) के विशेष समाधान और संबंधित सजातीय प्रणाली (3.7) के सामान्य समाधान का योग अमानवीय प्रणाली (3.1) का सामान्य समाधान देता है।
अमानवीय प्रणाली (3.1) के एक विशेष समाधान के रूप में, उस समाधान को लेना स्वाभाविक है (जैसा कि ऊपर माना गया है, कि प्रणाली के मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक (3.1) आर के बराबर है और मूल माइनर इन मैट्रिक्स के ऊपरी बाएँ कोने में है)

जो प्राप्त होगा यदि सूत्र (3.20) में हम सभी संख्याओं c r+1 ,...,c n को शून्य के बराबर सेट करें। इस विशेष समाधान को संबंधित सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान (3.26) में जोड़ने पर, हमें अमानवीय प्रणाली (3.1) के सामान्य समाधान के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:

एक्स= एक्स 0 + सी 1 एक्स 1 + सी 2 एक्स 2 + ... + सी एन-आर एक्स एन-आर। (3.30)

इस अभिव्यक्ति में, X 0 एक विशेष समाधान (3.29) को दर्शाता है, C 1 , C 2 , ... , C n-r मनमाना स्थिरांक हैं, और X 1 , समाधानों का (3.25) संगत सजातीय प्रणाली।
इस प्रकार, पिछले पैराग्राफ के अंत में विचार की गई अमानवीय प्रणाली (3.21) के लिए, फॉर्म का एक विशेष समाधान (3.29) X 0 = (6,2,0, 0) के बराबर है।
इस विशेष समाधान को संबंधित सजातीय प्रणाली (3.27) के सामान्य समाधान (3.28) में जोड़ने पर, हमें अमानवीय प्रणाली (3.21) का निम्नलिखित सामान्य समाधान प्राप्त होता है:

एक्स = (6,2,0, 0) + सी 1 (-3/2,-1/2,1,0) + सी 2 (-1,-2, 0.1)। (3.31)

यहाँ C 1 और C 2 मनमाना स्थिरांक हैं।
4. रैखिक प्रणालियों को हल करने पर समापन टिप्पणियाँ।पिछले पैराग्राफ में विकसित रैखिक प्रणालियों को हल करने की विधियाँ
मैट्रिक्स की रैंक की गणना करने और उसका आधार माइनर खोजने की आवश्यकता पर निर्भर करता है। एक बार जब आधार माइनर मिल जाता है, तो समाधान निर्धारकों की गणना करने की तकनीक और क्रैमर के सूत्रों के उपयोग पर आ जाता है।
मैट्रिक्स की रैंक की गणना करने के लिए, आप निम्नलिखित नियम का उपयोग कर सकते हैं: मैट्रिक्स की रैंक की गणना करते समय, किसी को निचले क्रम के अवयस्क से उच्च क्रम के अवयस्क की ओर बढ़ना चाहिए; इसके अलावा, यदि क्रम k का एक गैर-शून्य लघु M पहले ही पाया जा चुका है, तो केवल क्रम (k + 1) की सीमा वाले लघु M(अर्थात्, वे लघु M को अपने अंदर समाहित करते हैं) यह नाबालिग एम है; यदि क्रम (k + 1) के सभी सीमावर्ती अवयस्क शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक k के बराबर है(वास्तव में, संकेतित मामले में, मैट्रिक्स की सभी पंक्तियाँ (स्तंभ) इसकी k पंक्तियों (स्तंभों) के रैखिक पतवार से संबंधित हैं, जिसके चौराहे पर एक मामूली एम है, और संकेतित रेखीय पतवार का आयाम है k के बराबर)।
आइए मैट्रिक्स की रैंक की गणना के लिए एक अन्य नियम भी बताएं। ध्यान दें कि मैट्रिक्स की पंक्तियों (स्तंभों) के साथ कोई भी प्रदर्शन कर सकता है तीन प्राथमिक ऑपरेशन, जो इस मैट्रिक्स की रैंक को नहीं बदलता है: 1) दो पंक्तियों (या दो स्तंभों) का क्रमपरिवर्तन, 2) किसी भी गैर-शून्य कारक द्वारा एक पंक्ति (या स्तंभ) का गुणन, 3) की एक पंक्ति (स्तंभ) को जोड़ना अन्य पंक्तियों (स्तंभों) का एक मनमाना रैखिक संयोजन (ये तीन ऑपरेशन इस तथ्य के कारण मैट्रिक्स की रैंक नहीं बदलते हैं कि ऑपरेशन 1) और 2) मैट्रिक्स की रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों (स्तंभों) की अधिकतम संख्या को नहीं बदलते हैं, और ऑपरेशन 3) में यह गुण है कि इस ऑपरेशन को करने से पहले मौजूद सभी पंक्तियों (स्तंभों) का रैखिक विस्तार इस ऑपरेशन को करने के बाद प्राप्त सभी पंक्तियों (स्तंभों) के रैखिक लिफाफे के साथ मेल खाता है)।
हम कहेंगे कि मैट्रिक्स ||a ij ||, जिसमें m पंक्तियाँ और n कॉलम हैं विकर्णफॉर्म, यदि a 11, a 22,.., a rr के अलावा इसके सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, जहां r = min(m, n)। ऐसे मैट्रिक्स की रैंक स्पष्ट रूप से r के बराबर है।
आइए यह सुनिश्चित करें किसी भी मैट्रिक्स के तीन प्राथमिक संचालन का उपयोग करना

विकर्ण रूप में घटाया जा सकता है(जो हमें इसकी रैंक की गणना करने की अनुमति देता है)।

वास्तव में, यदि मैट्रिक्स (3.31) के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, तो यह मैट्रिक्स पहले ही विकर्ण रूप में कम हो चुका है। अगर माँ
पसलियों (3.31) में गैर-शून्य तत्व हैं, फिर दो पंक्तियों और दो स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करके कोई यह सुनिश्चित कर सकता है कि तत्व 11 गैर-शून्य है। मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को 11 -1 से गुणा करने के बाद, हम तत्व 11 को एक में बदल देंगे। मैट्रिक्स के j-ro कॉलम से आगे घटाकर (j = 2, 3,..., n के लिए) पहले कॉलम को i1 से गुणा किया जाता है, और फिर इससे घटाया जाता है मैं-वीं पंक्ति(i = 2, 3,..., n के लिए) पहली पंक्ति को i1 से गुणा करने पर, हमें (3.31) के बजाय निम्नलिखित रूप का एक मैट्रिक्स मिलता है:

एक फ्रेम में लिए गए मैट्रिक्स के साथ हमने पहले ही वर्णित ऑपरेशनों को निष्पादित किया है, और उसी तरह से कार्य करना जारी रखा है, चरणों की एक सीमित संख्या के बाद हम एक विकर्ण मैट्रिक्स प्राप्त करेंगे।
पिछले पैराग्राफ में उल्लिखित रैखिक प्रणालियों को हल करने के तरीके, जो अंततः क्रैमर के सूत्रों के तंत्र का उपयोग करते हैं, उस स्थिति में बड़ी त्रुटियों का कारण बन सकते हैं जब समीकरणों और मुक्त शर्तों के गुणांक के मान लगभग दिए जाते हैं या जब ये मान दिए जाते हैं गणना प्रक्रिया के दौरान पूर्णांकित किया जाता है।
सबसे पहले, यह उस मामले पर लागू होता है जब मैट्रिक्स मुख्य निर्धारक (या आधार नाबालिग) के अनुरूप होता है बुरी तरह से वातानुकूलित(यानी जब इस मैट्रिक्स के तत्वों में "छोटा" परिवर्तन व्युत्क्रम मैट्रिक्स के तत्वों में "बड़े" परिवर्तनों के अनुरूप होता है)। स्वाभाविक रूप से, इस मामले में समाधान रैखिक प्रणाली होगी अस्थिर(अर्थात, समीकरणों और मुक्त पदों के गुणांकों के मूल्यों में "छोटा" परिवर्तन समाधान में "बड़े" परिवर्तनों के अनुरूप होगा)।
उल्लेखनीय परिस्थितियों में समाधान खोजने के लिए अन्य (क्रैमर के सूत्रों से अलग) सैद्धांतिक एल्गोरिदम और रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों को विकसित करने की आवश्यकता होती है।
§4 अध्याय 4 में हम परिचित होंगे ए.एन. द्वारा नियमितीकरण विधि तिखोनोवातथाकथित ढूँढना सामान्य(अर्थात् मूल के निकटतम) रैखिक प्रणाली का समाधान।
अध्याय 6 तथाकथित के बारे में बुनियादी जानकारी प्रदान करेगा पुनरावृत्तीय तरीकेरैखिक प्रणालियों के समाधान जो अज्ञात के क्रमिक अनुमानों का उपयोग करके इन प्रणालियों को हल करने की अनुमति देते हैं।

स्थिरता के लिए रैखिक आयुगणितीय समीकरणों (एसएलएई) की एक प्रणाली का अध्ययन करने का मतलब यह पता लगाना है कि इस प्रणाली के पास समाधान हैं या नहीं। अच्छा, यदि समाधान हैं तो बताएं कि कितने हैं।

हमें "रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली। मूल पद। अंकन का मैट्रिक्स रूप" विषय से जानकारी की आवश्यकता होगी। विशेष रूप से, सिस्टम मैट्रिक्स और विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स जैसी अवधारणाओं की आवश्यकता होती है, क्योंकि क्रोनकर-कैपेली प्रमेय का निर्माण उन पर आधारित है। हमेशा की तरह, हम सिस्टम मैट्रिक्स को $A$ अक्षर से और सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को $\वाइडटिल्डे(A)$ अक्षर से निरूपित करेंगे।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल तभी जब सिस्टम मैट्रिक्स की रैंक सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर हो, यानी। $\रंग ए=\रंग\वाइडटिल्डे(ए)$.

मैं आपको याद दिला दूं कि एक प्रणाली को संयुक्त कहा जाता है यदि उसके पास कम से कम एक समाधान हो। क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय यह कहता है: यदि $\rang A=\rang\ widthilde(A)$, तो एक समाधान है; यदि $\rang A\neq\rang\ widthilde(A)$, तो इस SLAE का कोई समाधान नहीं है (असंगत)। इन समाधानों की संख्या के बारे में प्रश्न का उत्तर क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के परिणाम द्वारा दिया गया है। परिणाम के निर्माण में, अक्षर $n$ का उपयोग किया जाता है, जो दिए गए SLAE के चरों की संख्या के बराबर है।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय का परिणाम

1. यदि $\rang A\neq\rang\ widthilde(A)$, तो SLAE असंगत है (इसका कोई समाधान नहीं है)।
2. यदि $\rang A=\rang\ widthilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. यदि $\rang A=\rang\whitetilde(A) = n$, तो SLAE निश्चित है (बिल्कुल एक समाधान है)।

कृपया ध्यान दें कि तैयार किया गया प्रमेय और उसका परिणाम यह नहीं दर्शाता है कि SLAE का समाधान कैसे खोजा जाए। इनकी मदद से आप केवल यह पता लगा सकते हैं कि ये समाधान मौजूद हैं या नहीं और अगर मौजूद हैं तो कितने हैं।

उदाहरण क्रमांक 1

SLAE का पता लगाएं )\right.$ अनुकूलता के लिए यदि SLAE संगत है, तो समाधानों की संख्या इंगित करें।

किसी दिए गए SLAE के समाधान के अस्तित्व का पता लगाने के लिए, हम क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करते हैं। हमें सिस्टम $A$ के मैट्रिक्स और सिस्टम $\वाइडटिल्डे(A)$ के विस्तारित मैट्रिक्स की आवश्यकता होगी, हम उन्हें लिखेंगे:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \वाइडटिल्ड(ए)=\बाएं(\प्रारंभ(सरणी) (सीसीसी|सी) -3 और 9 और-7 और 17 \\ -1 और 2 और -4 और 9\\ 4 और -2 और 19 और -42 \end(सरणी) \दाएं). $$

हमें $\rang A$ और $\rang\वाइडटिल्डे(A)$ खोजने की जरूरत है। ऐसा करने के कई तरीके हैं, जिनमें से कुछ मैट्रिक्स रैंक अनुभाग में सूचीबद्ध हैं। आमतौर पर, ऐसी प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए दो तरीकों का उपयोग किया जाता है: "परिभाषा के अनुसार मैट्रिक्स की रैंक की गणना करना" या "प्राथमिक परिवर्तनों की विधि द्वारा मैट्रिक्स की रैंक की गणना करना"।

विधि संख्या 1. परिभाषा के अनुसार रैंक की गणना।

परिभाषा के अनुसार, रैंक मैट्रिक्स के अवयस्कों का उच्चतम क्रम है, जिनमें से कम से कम एक ऐसा होता है जो शून्य से भिन्न होता है। आमतौर पर, अध्ययन पहले क्रम के नाबालिगों के साथ शुरू होता है, लेकिन यहां मैट्रिक्स $A$ के तीसरे क्रम के नाबालिग की गणना तुरंत शुरू करना अधिक सुविधाजनक है। तीसरे क्रम के छोटे तत्व प्रश्न में मैट्रिक्स की तीन पंक्तियों और तीन स्तंभों के चौराहे पर स्थित हैं। चूँकि मैट्रिक्स $A$ में केवल 3 पंक्तियाँ और 3 कॉलम हैं, मैट्रिक्स $A$ का तीसरा ऑर्डर माइनर मैट्रिक्स $A$ का निर्धारक है, अर्थात। $\डेल्टा ए$. निर्धारक की गणना करने के लिए, हम "दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के लिए सूत्र" विषय से सूत्र संख्या 2 लागू करते हैं:

$$ \डेल्टा ए=\बाएं| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right|=-21. $$

तो, मैट्रिक्स $A$ का एक तीसरा ऑर्डर माइनर है, जो शून्य के बराबर नहीं है। चौथे क्रम के माइनर का निर्माण करना असंभव है, क्योंकि इसके लिए 4 पंक्तियों और 4 स्तंभों की आवश्यकता होती है, और मैट्रिक्स $A$ में केवल 3 पंक्तियाँ और 3 स्तंभ होते हैं। तो, मैट्रिक्स $A$ के अवयस्कों का उच्चतम क्रम, जिनमें से कम से कम एक ऐसा है जो शून्य के बराबर नहीं है, 3 के बराबर है। इसलिए, $\rang A=3$।

हमें $\rang\वाइडटिल्डे(ए)$ भी ढूंढना होगा। आइए मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ की संरचना को देखें। मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(A)$ में लाइन तक मैट्रिक्स $A$ के तत्व हैं, और हमें पता चला कि $\Delta A\neq 0$। नतीजतन, मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ में तीसरे क्रम का नाबालिग है, जो शून्य के बराबर नहीं है। हम मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ के चौथे क्रम के माइनर का निर्माण नहीं कर सकते हैं, इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं: $\rang\वाइडटिल्डे(ए)=3$।

चूँकि $\rang A=\rang\whitetilde(A)$, तो क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार प्रणाली सुसंगत है, अर्थात। एक समाधान है (कम से कम एक)। समाधानों की संख्या इंगित करने के लिए, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि हमारे SLAE में 3 अज्ञात हैं: $x_1$, $x_2$ और $x_3$। चूँकि अज्ञात की संख्या $n=3$ है, हम निष्कर्ष निकालते हैं: $\rang A=\rang\ widthilde(A)=n$, इसलिए, क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के परिणाम के अनुसार, प्रणाली निश्चित है, अर्थात। एक अनोखा समाधान है.

समस्या सुलझ गई है। इस पद्धति के क्या नुकसान और फायदे हैं? सबसे पहले बात करते हैं फायदे की. सबसे पहले, हमें केवल एक निर्धारक खोजने की आवश्यकता थी। इसके बाद, हमने तुरंत समाधानों की संख्या के बारे में निष्कर्ष निकाला। आमतौर पर, मानक मानक गणनाएँ समीकरणों की प्रणालियाँ देती हैं जिनमें तीन अज्ञात होते हैं और एक अद्वितीय समाधान होता है। ऐसी प्रणालियों के लिए, यह विधि बहुत सुविधाजनक है, क्योंकि हम पहले से जानते हैं कि एक समाधान है (अन्यथा उदाहरण मानक गणना में नहीं होता)। वे। हमें बस इतना करना है कि अधिक से अधिक समाधान का अस्तित्व दिखाया जाए तेज़ तरीके से. दूसरे, सिस्टम मैट्रिक्स के निर्धारक का परिकलित मान (यानी $\Delta A$) बाद में उपयोगी होगा: जब हम क्रैमर विधि का उपयोग करके या व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके किसी दिए गए सिस्टम को हल करना शुरू करते हैं।

हालाँकि, रैंक की गणना करने की विधि परिभाषा के अनुसार उपयोग करने के लिए अवांछनीय है यदि सिस्टम का मैट्रिक्स $A$ आयताकार है। इस मामले में, दूसरी विधि का उपयोग करना बेहतर है, जिसकी चर्चा नीचे की जाएगी। इसके अलावा, यदि $\Delta A=0$, तो हम किसी दिए गए अमानवीय SLAE के समाधानों की संख्या के बारे में कुछ नहीं कह सकते। हो सकता है कि SLAE के पास अनंत संख्या में समाधान हों, या शायद कोई भी नहीं। यदि $\Delta A=0$, तो अतिरिक्त शोध की आवश्यकता होती है, जो अक्सर बोझिल होता है।

जो कहा गया है उसे संक्षेप में बताने के लिए, मैं नोट करता हूं कि पहली विधि उन SLAE के लिए अच्छी है जिनका सिस्टम मैट्रिक्स वर्गाकार है। इसके अलावा, SLAE में स्वयं तीन या चार अज्ञात शामिल हैं और इसे मानक मानक गणनाओं या परीक्षणों से लिया गया है।

विधि संख्या 2. प्रारंभिक परिवर्तनों की विधि द्वारा रैंक की गणना।

इस विधि का वर्णन संबंधित विषय में विस्तार से किया गया है। हम मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ की रैंक की गणना करना शुरू करेंगे। मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(A)$ और $A$ क्यों नहीं? तथ्य यह है कि मैट्रिक्स $A$ मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ का हिस्सा है, इसलिए, मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ की रैंक की गणना करके हम एक साथ मैट्रिक्स $ए$ की रैंक पाएंगे .

\begin(संरेखित) और\वाइडटिल्डे(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 और 19 और -42 \end(सरणी) \दाएं) \दायां तीर \बाएं|\पाठ(पहली और दूसरी पंक्तियों की अदला-बदली करें)\दाएं| \दायां तीर \\ और\दायां तीर \बाएं(\शुरू(सरणी) (सीसीसी|सी) -1 और 2 और -4 और 9 \\ -3 और 9 और-7 और 17\\ 4 और -2 और 19 और - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \fantom(0) \\ r_2-3r_1\\ r_3+4r_1 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array) (ccc| सी) -1 और 2 और -4 और 9 \ 0 और 3 और 5 और -10\ 0 और 6 और 3 और -6 \end(सरणी) \दाएं) \begin(सरणी) (एल) \फैंटम(0 ) \\ प्रेत(0)\ r_3-2r_2 \end(सरणी)\दायां तीर\\ और\दायां तीर \बाएं(\शुरू(सरणी) (सीसीसी|सी) -1 और 2 और -4 और 9 \\ 0 और 3 &5 और -10\\ 0 और 0 और -7 और 14 \end(सरणी) \दाएं) \end(संरेखित)

हमने मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ को घटाकर सोपानक रूप में कर दिया है। परिणामी सोपानक मैट्रिक्स में तीन गैर-शून्य पंक्तियाँ हैं, इसलिए इसकी रैंक 3 है। नतीजतन, मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ की रैंक 3 के बराबर है, यानी। $\रंग\वाइडटिल्डे(ए)=3$. मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ के तत्वों के साथ परिवर्तन करते समय, हमने एक साथ लाइन तक स्थित मैट्रिक्स $ए$ के तत्वों को बदल दिया। मैट्रिक्स $A$ को भी सोपानक रूप में घटा दिया गया है: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \सही )$. निष्कर्ष: मैट्रिक्स $A$ की रैंक भी 3 है, अर्थात। $\रंग ए=3$.

चूँकि $\rang A=\rang\ widthilde(A)$, तो क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार प्रणाली सुसंगत है, अर्थात। एक समाधान है. समाधानों की संख्या इंगित करने के लिए, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि हमारे SLAE में 3 अज्ञात हैं: $x_1$, $x_2$ और $x_3$। चूँकि अज्ञात की संख्या $n=3$ है, हम निष्कर्ष निकालते हैं: $\rang A=\rang\ widthilde(A)=n$, इसलिए, क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के परिणाम के अनुसार, सिस्टम को परिभाषित किया गया है, यानी। एक अनोखा समाधान है.

दूसरी विधि के क्या फायदे हैं? इसका मुख्य लाभ इसकी बहुमुखी प्रतिभा है। इससे हमें कोई फर्क नहीं पड़ता कि सिस्टम का मैट्रिक्स वर्गाकार है या नहीं। इसके अलावा, हमने वास्तव में गॉसियन पद्धति के आगे के परिवर्तनों को अंजाम दिया। केवल कुछ चरण शेष हैं, और हम इस SLAE का समाधान प्राप्त कर सकते हैं। सच कहूँ तो, मुझे पहले की तुलना में दूसरी विधि अधिक पसंद है, लेकिन चुनाव स्वाद का मामला है।

उत्तर: दिया गया SLAE सुसंगत और परिभाषित है।

उदाहरण क्रमांक 2

SLAE का पता लगाएं अनुकूलता के लिए 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4. \end(संरेखित) \right.$।

हम प्रारंभिक परिवर्तनों की विधि का उपयोग करके सिस्टम मैट्रिक्स और विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स की रैंक पाएंगे। विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स: $\वाइडटिल्ड(ए)=\बाएं(\शुरू(सरणी) (सीसीसी|सी) 1 और -1 और 2 और -1\\ -1 और 2 और -3 और 3 \\ 2 और -1 और 3 और 2 \\ 3 और -2 और 5 और 1 \\ 2 और -3 और 5 और -4 \end(सरणी) \दाएं)$। आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को परिवर्तित करके आवश्यक रैंक खोजें:

$$ \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 और 5 और 1 \\ 2 और -1 और 3 और 2 \end(सरणी) \दाएं) \begin(सरणी) (एल) \फैंटम(0)\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4 -3r_1\\r_5-2r_1\end(सरणी)\दायां तीर \बाएं(\शुरू(सरणी) (सीसीसी|सी) 1 और -1 और 2 और -1\\ 0 और 1 और -1 और 2 \\ 0 और -1 और 1 और -2 \ 0 और 1 और -1 और 4 \ 0 और 1 और -1 और 4 \end(सरणी) \दाएं) \begin(सरणी) (एल) \फैंटम(0)\\ \फैंटम(0)\\r_3-r_2\\ r_4-r_2\\r_5+r_2\end(array)\rightarrow\\ $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 और 2 और -1\\ 0 और 1 और -1 और 2 \\ 0 और 0 और 0 और 2 \\ 0 और 0 और 0 और 2 \\ 0 और 0 और 0 और 0 \end(सरणी) \ दाएं) \begin(सरणी) (एल) \फैंटम(0)\\\फैंटम(0)\\\फैंटम(0)\\ r_4-r_3\\\फैंटम(0)\एंड(सरणी)\दायां तीर \बाएं (\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 और 0 और 0 और 0 \end(सरणी) \दाएं) $$

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में घटाया गया है। एक सोपानक मैट्रिक्स की रैंक उसकी गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या के बराबर होती है, इसलिए $\rang\ widthilde(A)=3$. मैट्रिक्स $A$ (लाइन तक) को भी सोपानक रूप में घटा दिया गया है, और इसकी रैंक 2 है, $\rang(A)=2$।

चूँकि $\rang A\neq\rang\ widthilde(A)$, तो क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार सिस्टम असंगत है (यानी, इसका कोई समाधान नहीं है)।

उत्तर: सिस्टम असंगत है.

उदाहरण संख्या 3

SLAE का पता लगाएं ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(allined) \right.$ अनुकूलता के लिए।

हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में लाते हैं:

$$ \left(\begin(array)(ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 और 0 और -7 और -64 \ -5 और 17 और -16 और -5 और -4 और -90 \ 7 और -17 और 23 और 0 और 15 और 132 \ अंत(सरणी) \दाएं) \ओवरसेट (r_1\leftrightarrow(r_3))(\rightarrow) $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 और -5 और 11 और 42\\ -3 और 9 और -11 और 0 और -7 और -64\\ -5 और 17 और -16 और -5 और -4 और -90\\ 7 और -17 और 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right) \begin(array) (l) \fantom(0)\\ r_2-2r_1 \\r_3+3r_1 \\ r_4+5r_1 \\ r_5-7r_1 \end( सरणी) \दायां तीर \बाएं(\शुरू(सरणी)(सीसीसीसी|सी) 1 और -2 और 3 और 0 और 2 और 17\\ 0 और 4 और 1 और -5 और 7 और 8\\ 0 और 3 और - 2 & 0 & -1 & -13\\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 \end(array) \right) \begin( सारणी) (एल) \फैंटम(0)\\ फैंटम(0)\\4r_3+3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5+3r_2 \end(सरणी) \दायां तीर $$ $$ \दायां तीर\बाएं(\शुरू (सरणी)(सीसीसीसी|सी) 1 और -2 और 3 और 0 और 2 और 17\\ 0 और 4 और 1 और -5 और 7 और 8\\ 0 और 0 और -11 और 15 और -25 और -76 \\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 \end(array) \right) \begin(array) (l) \fantom(0 )\\ फैंटम(0)\\फैंटम(0) \\ r_4-r_3 \\ r_5+r_2 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 और 0 और 2 और 17\\ 0 और 4 और 1 और -5 और 7 और 8\\ 0 और 0 और -11 और 15 और -25 और -76\\ 0 और 0 और 0 और 0 और 0 और 0 \\ 0 और 0 और 0 और 0 और 0 और 0 \end(सरणी) \दाएं) $$

हमने सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स और सिस्टम के मैट्रिक्स को ही चरणबद्ध रूप में लाया है। सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक तीन के बराबर है, सिस्टम के मैट्रिक्स की रैंक भी तीन के बराबर है। चूँकि सिस्टम में $n=5$ अज्ञात हैं, अर्थात। $\rang\ widthilde(A)=\rang(A)\lt(n)$, तो क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के परिणाम के अनुसार, यह प्रणाली अनिश्चित है, यानी। समाधानों की अनंत संख्या है।

उत्तर: सिस्टम अनिश्चित है.

दूसरे भाग में हम ऐसे उदाहरण देखेंगे जो अक्सर मानक गणनाओं में शामिल होते हैं परीक्षण पत्रउच्च गणित में: इसमें शामिल मापदंडों के मूल्यों के आधार पर SLAE की स्थिरता और समाधान का अध्ययन।

समाधान. ए= . आइए r(A) खोजें। क्योंकि आव्यूहऔर उसका क्रम 3x4 है, तो अवयस्कों का उच्चतम क्रम 3 है। इसके अलावा, सभी तीसरे क्रम के अवयस्क शून्य के बराबर हैं (इसे स्वयं जांचें)। मतलब, आर(ए)< 3. Возьмем главный बुनियादी लघु = -5-4 = -9 ≠ 0. इसलिए r(A) =2.

चलो गौर करते हैं आव्यूह साथ = .

मामूली तीसरा आदेश ≠ 0. अतः r(C) = 3.

चूँकि r(A) ≠ r(C) , तो सिस्टम असंगत है।

उदाहरण 2.समीकरणों की प्रणाली की अनुकूलता निर्धारित करें

यदि यह सुसंगत हो तो इस प्रणाली को हल करें।

समाधान.

ए = , सी = . यह स्पष्ट है कि r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. चूँकि detC = 0, तो r(C)< 4. चलो गौर करते हैं नाबालिग तीसरा आदेश, मैट्रिक्स ए और सी के ऊपरी बाएँ कोने में स्थित: = -23 ≠ 0. अतः r(A) = r(C) = 3.

संख्या अज्ञात सिस्टम में n=3. इसका मतलब है कि सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है। इस मामले में, चौथा समीकरण पहले तीन के योग का प्रतिनिधित्व करता है और इसे अनदेखा किया जा सकता है।

क्रैमर के सूत्रों के अनुसारहमें x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23 मिलता है।

2.4. मैट्रिक्स विधि. गाऊसी विधि

प्रणाली एनरेखीय समीकरणसाथ एनअज्ञात बातें सुलझ सकती हैं मैट्रिक्स विधिसूत्र X = A -1 B (Δ पर) के अनुसार ≠ 0), जो (2) से दोनों भागों को ए -1 से गुणा करने पर प्राप्त होता है।

उदाहरण 1. समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

मैट्रिक्स विधि (धारा 2.2 में इस प्रणाली को क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके हल किया गया था)

समाधान. Δ = 10 ≠ 0 ए = - गैर-पतित मैट्रिक्स।

= (आवश्यक गणना करके इसे स्वयं जांचें)।

ए -1 = (1/Δ)х= .

एक्स = ए -1 वी = एक्स= .

उत्तर: .

व्यावहारिक दृष्टि सेमैट्रिक्स विधि और सूत्र क्रेमरबड़ी मात्रा में गणनाओं से जुड़े हैं, इसलिए प्राथमिकता दी जाती है गाऊसी विधि, जिसमें अज्ञात का क्रमिक उन्मूलन शामिल है। ऐसा करने के लिए, समीकरणों की प्रणाली को त्रिकोणीय विस्तारित मैट्रिक्स के साथ एक समतुल्य प्रणाली में घटा दिया जाता है (मुख्य विकर्ण के नीचे के सभी तत्व शून्य के बराबर होते हैं)। इन क्रियाओं को अग्रगति कहा जाता है। परिणामी त्रिकोणीय प्रणाली से, चर क्रमिक प्रतिस्थापन (रिवर्स) का उपयोग करके पाए जाते हैं।

उदाहरण 2. गॉस विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें

(ऊपर, इस प्रणाली को क्रैमर फॉर्मूला और मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके हल किया गया था)।

समाधान.

सीधी चाल. आइए विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे त्रिकोणीय रूप में कम करें:

~ ~ ~ ~ .

हम पाते हैं प्रणाली

उलटी चाल.अंतिम समीकरण से हम पाते हैं एक्स 3 = -6 और इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

एक्स 2 = - 11/2 - 1/4एक्स 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

एक्स 1 = 2 -एक्स 2 + एक्स 3 = 2+4-6 = 0.

उत्तर: .

2.5. रैखिक समीकरणों की प्रणाली का सामान्य समाधान

मान लीजिए कि रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है = बी मैं(मैं=). माना r(A) = r(C) = r, अर्थात प्रणाली सहयोगी है. शून्य के अलावा क्रम r का कोई भी लघु है बुनियादी लघु.व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मान लेंगे कि आधार नाबालिग मैट्रिक्स ए की पहली आर (1 ≤ आर ≤ मिनट (एम, एन)) पंक्तियों और स्तंभों में स्थित है। अंतिम एम-आरसिस्टम के समीकरण, हम संक्षिप्त सिस्टम लिखते हैं:

जो मूल के समतुल्य है. आइए अज्ञातों के नाम बताएं x 1 ,….x rबुनियादी, और एक्स आर +1 ,…, एक्स आरमुक्त करें और मुक्त अज्ञात वाले पदों को काटे गए सिस्टम के समीकरणों के दाईं ओर ले जाएं। हमें बुनियादी अज्ञात के संबंध में एक प्रणाली प्राप्त होती है:

जो मुक्त अज्ञात के मूल्यों के प्रत्येक सेट के लिए है एक्स आर +1 = सी 1 ,…, एक्स एन = सी एन-आरकेवल एक ही समाधान है एक्स 1 (सी 1 ,…, सी एन-आर),…, एक्स आर (सी 1 ,…, सी एन-आर),क्रैमर नियम द्वारा पाया गया।

संगत समाधानसंक्षिप्त, और इसलिए मूल प्रणाली का रूप है:

एक्स(सी 1 ,…, सी एन-आर) = - प्रणाली का सामान्य समाधान.

यदि सामान्य समाधान में हम मुक्त अज्ञात को कुछ संख्यात्मक मान निर्दिष्ट करते हैं, तो हमें रैखिक प्रणाली का एक समाधान प्राप्त होता है, जिसे आंशिक समाधान कहा जाता है।

उदाहरण. अनुकूलता स्थापित करें और सिस्टम का एक सामान्य समाधान खोजें

समाधान. ए = , सी = .

इसलिए कैसे आर(ए)= r(C) = 2 (इसे स्वयं देखें), तो मूल प्रणाली सुसंगत है और इसमें अनंत संख्या में समाधान हैं (क्योंकि r< 4).