E novamente a pergunta: o losango é um paralelogramo ou não?

Com tudo bem - um paralelogramo, porque tem e (lembre-se do nosso recurso 2).

E, novamente, como um losango é um paralelogramo, ele deve ter todas as propriedades de um paralelogramo. Isso significa que os cantos opostos do diamante são iguais, os lados opostos são paralelos e as diagonais são divididas pela metade no ponto de intersecção.

Propriedades de diamante

Olha a foto:

Como no caso de um retângulo, essas propriedades são distintas, ou seja, para cada uma dessas propriedades, podemos concluir que não temos apenas um paralelogramo, mas um losango.

Sinais de losango

E, novamente, preste atenção: não deve haver apenas um quadrilátero com diagonais perpendiculares, mas um paralelogramo. Certificar-se de que:

Claro que não, embora suas diagonais sejam perpendiculares, e a diagonal seja a bissetriz dos ângulos e. Mas ... as diagonais não são divididas, o ponto de intersecção ao meio, portanto - NÃO é um paralelogramo e, portanto, NÃO é um losango.

Ou seja, um quadrado é um retângulo e um losango ao mesmo tempo. Vamos ver o que acontece.

Está claro por quê? - losango - bissetriz do ângulo A, que é igual a. Portanto, ele se divide (e também) em dois ângulos.

Bem, isso está bem claro: as diagonais do retângulo são iguais; as diagonais do losango são perpendiculares e, em geral - as diagonais do paralelogramo são divididas pela metade pelo ponto de intersecção.

NÍVEL MÉDIO

Propriedades dos quadrantes. Paralelogramo

Propriedades de paralelogramo

Atenção! As palavras " propriedades do paralelogramo"Significa que se você tem uma tarefa há sim paralelogramo, então todos os itens a seguir podem ser usados.

Teorema das propriedades de um paralelogramo.

Em qualquer paralelogramo:

Vamos entender porque tudo isso é verdade, em outras palavras PROVAREMOS teorema.

Então, por que 1) é verdade?

Uma vez que é um paralelogramo, então:

• deitado sobre
• como deitado.

Portanto, (de acordo com a característica II: e - comum.)

Bem, e uma vez, então - é isso! - provado.

Mas por falar nisso! Neste caso, também provamos 2)!

Por quê? Mas afinal (olhe para a foto), ou seja, porque.

Restam apenas 3).

Para fazer isso, você ainda precisa desenhar a segunda diagonal.

E agora vemos isso - de acordo com o atributo II (ângulo e lado "entre" eles).

Propriedades comprovadas! Vamos passar para os recursos.

Sinais de paralelogramo

Lembre-se de que o atributo paralelogramo responde à pergunta “como sabemos?” Que uma figura é um paralelogramo.

Nos ícones é assim:

Por quê? Seria bom entender o porquê - isso é o suficiente. Mas olhe:

Bem, descobrimos por que o sinal 1 é verdadeiro.

Bem, é ainda mais fácil! Desenhe uma diagonal novamente.

Isso significa:

Etambém é fácil. Mas ... de uma forma diferente!

Conseqüentemente,. Uau! Mas também - interno unilateral com uma secante!

Portanto, o fato que significa isso.

E se você olhar do outro lado, então - interno unilateral com uma secante! E portanto.

Vê como é bom ?!

E novamente, simplesmente:

Da mesma forma, e.

Preste atenção: se você encontrou finalmente um sinal de paralelogramo em seu problema, então você tem exatamente paralelogramo e você pode usar por todos propriedades do paralelogramo.

Para maior clareza, veja o diagrama:

Propriedades dos quadrantes. Retângulo.

Propriedades do retângulo:

O ponto 1) é bastante óbvio - afinal, o recurso 3 ()

E ponto 2) - muito importante... Então, vamos provar que

Então, em duas pernas (e - comum).

Bem, uma vez que os triângulos são iguais, suas hipotenos também são iguais.

Provado isso!

E imagine, a igualdade das diagonais é uma propriedade distintiva de um retângulo entre todos os paralelogramos. Ou seja, a seguinte afirmação é verdadeira ^

Vamos entender por quê?

Isso significa (refere-se aos ângulos do paralelogramo). Mas vamos lembrar mais uma vez que é um paralelogramo e, portanto.

Conseqüentemente,. E, claro, segue-se que cada um deles é diferente! Afinal, eles devem ceder totalmente!

Então, eles provaram que se você paralelogramo se de repente (!) houver diagonais iguais, então isso exatamente retângulo.

Mas! Preste atenção!Isso é sobre paralelogramos! Nenhum um quadrângulo com diagonais iguais é um retângulo, e só paralelogramo!

Propriedades dos quadrantes. Losango

E novamente a pergunta: o losango é um paralelogramo ou não?

Com direito total - um paralelogramo, porque tem e (Lembre-se de nosso recurso 2).

E, novamente, como um losango é um paralelogramo, ele deve ter todas as propriedades de um paralelogramo. Isso significa que os cantos opostos do diamante são iguais, os lados opostos são paralelos e as diagonais são divididas pela metade no ponto de intersecção.

Mas também existem propriedades especiais. Nós formulamos.

Propriedades de diamante

Por quê? Bem, como um losango é um paralelogramo, suas diagonais são reduzidas à metade.

Por quê? Sim, é por isso!

Em outras palavras, as diagonais acabaram sendo as bissetoras dos cantos do losango.

Tal como acontece com o retângulo, essas propriedades são - distintivo, cada um deles também é um sinal de um losango.

Sinais de um losango.

Por que é que? E olhe,

Portanto, e ambosesses triângulos são isósceles.

Para ser um losango, um quadrilátero deve primeiro "tornar-se" um paralelogramo e, em seguida, exibir o sinal 1 ou 2.

Propriedades dos quadrantes. Quadrado

Ou seja, um quadrado é um retângulo e um losango ao mesmo tempo. Vamos ver o que acontece.

Está claro por quê? Quadrado - losango - bissetriz do ângulo, que é igual a. Portanto, ele se divide (e também) em dois ângulos.

Bem, isso está bem claro: as diagonais do retângulo são iguais; as diagonais do losango são perpendiculares e, em geral - as diagonais do paralelogramo são divididas pela metade pelo ponto de intersecção.

Por quê? Bem, basta aplicar o teorema de Pitágoras a.

RESUMO E FÓRMULAS BÁSICAS

Propriedades do paralelogramo:

1. Os lados opostos são iguais:,.
2. Os ângulos opostos são iguais:,.
3. Os ângulos de um lado somam:,.
4. As diagonais são divididas pela metade pelo ponto de interseção :.

Propriedades do retângulo:

1. As diagonais do retângulo são :.
2. Retângulo - paralelogramo (para um retângulo todas as propriedades do paralelogramo são cumpridas).

Propriedades do diamante:

1. As diagonais do losango são perpendiculares :.
2. As diagonais de um losango são as bissetoras de seus ângulos :; ; ; ...
3. Losango - paralelograma (para losango, todas as propriedades do paralelogramo são cumpridas).

Propriedades quadradas:

Um quadrado é um losango e um retângulo ao mesmo tempo, portanto, para um quadrado, todas as propriedades de um retângulo e de um losango são satisfeitas. E.

Um dos tópicos mais interessantes em geometria do curso escolar é "Quadrângulos" (8ª série). Que tipos de figuras existem, que propriedades especiais possuem? O que há de único nos quadrantes de noventa graus? Vamos dar uma olhada em tudo isso.

Qual forma geométrica é chamada de quadrângulo

Os polígonos que consistem em quatro lados e, portanto, em quatro vértices (vértices) são chamados de quadrantes na geometria euclidiana.

A história do nome deste tipo de figuras é interessante. Em russo, o substantivo "quadrângulo" é derivado da frase "quatro cantos" (assim como "triângulo" - três ângulos, "pentágono" - cinco cantos, etc.).

No entanto, em latim (por meio do qual muitos termos geométricos vieram para a maioria das línguas do mundo) é chamado de quadrilátero. Esta palavra é formada a partir do numeral quadri (quatro) e do substantivo latus (lado). Portanto, podemos concluir que os antigos chamavam esse polígono apenas de "quatro lados".

A propósito, esse nome (com ênfase na presença de quatro lados em figuras desse tipo, não cantos) foi preservado em algumas línguas modernas. Por exemplo, em inglês é quadrilátero e em francês é quadrilatère.

Além disso, na maioria das línguas eslavas, o tipo de figuras em questão ainda é identificado pelo número de ângulos, e não de lados. Por exemplo, em eslovaco (štvoruholník), em búlgaro (“chetyr'g'lnik”), em bielorrusso (“chatyrohkutnik”), em ucraniano (“chotirikutnik”), em tcheco (čtyřúhelník), mas em polonês o quadrilátero é denominado pelo número de lados - cz.

Que tipos de quadriláteros são estudados no currículo escolar

Na geometria moderna, existem 4 tipos de polígonos com quatro lados.

No entanto, devido às propriedades muito complexas de alguns deles, nas aulas de geometria os escolares são apresentados a apenas dois tipos.

• Paralelogramo. Os lados opostos de tal quadrângulo são paralelos entre si e, consequentemente, também são iguais aos pares.
• Trapézio (trapézio ou trapézio). Este quadrilátero consiste em dois lados opostos, paralelos um ao outro. No entanto, o outro par de lados não tem esse recurso.

Tipos de quadrantes não estudados no curso de geometria escolar

Além do anterior, existem mais dois tipos de quadrantes que os alunos não conhecem nas aulas de geometria, devido à sua complexidade particular.

• Deltoid (pipa) - uma figura em que cada um dos dois pares de lados adjacentes é igual em comprimento um ao outro. Esse quadrilátero recebeu este nome devido ao fato de que em sua aparência se assemelha bastante à letra do alfabeto grego - "delta".
• Antiparalelogramo - esta figura é tão complexa quanto seu nome. Nele, dois lados opostos são iguais, mas não são paralelos um ao outro. Além disso, os longos lados opostos desse quadrilátero se cruzam, assim como as extensões dos outros dois lados mais curtos.

Tipos de paralelogramo

Tendo lidado com os principais tipos de quadrículas, você deve prestar atenção às suas subespécies. Assim, todos os paralelogramos, por sua vez, também são divididos em quatro grupos.

• Paralelogramo clássico.
• Losango (losango) - uma figura quadrangular com lados iguais. Suas diagonais se cruzam em ângulos retos, dividindo o losango em quatro triângulos retângulos iguais.
• Retângulo O nome fala por si. Uma vez que é um retângulo com ângulos retos (cada um deles é igual a noventa graus). Seus lados opostos não são apenas paralelos, mas também iguais.
• Quadrado Como um retângulo, é um retângulo com ângulos retos, mas todos os lados são iguais. Isso torna esta figura próxima a um losango. Portanto, pode-se argumentar que um quadrado é um cruzamento entre um losango e um retângulo.

Propriedades especiais de um retângulo

Considerando as figuras em que cada um dos ângulos entre os lados é igual a noventa graus, vale a pena prestar mais atenção ao retângulo. Então, quais são as características especiais que o distinguem de outros paralelogramos?

Para argumentar que o paralelogramo em questão é um retângulo, suas diagonais devem ser iguais entre si, e cada um dos cantos deve ser reto. Além disso, o quadrado de suas diagonais deve corresponder à soma dos quadrados dos dois lados adjacentes desta figura. Em outras palavras, um retângulo clássico consiste em dois triângulos retângulos, e neles, como se sabe, a diagonal do quadrilátero em consideração atua como hipotenusa.

A última das características listadas desta figura também é sua propriedade especial. Além disso, existem outros. Por exemplo, o fato de todos os lados do quadrângulo estudado com ângulos retos serem ao mesmo tempo suas alturas.

Além disso, se você desenhar um círculo ao redor de qualquer retângulo, seu diâmetro será igual à diagonal da figura inscrita.

Entre outras propriedades deste quadrilátero, é plano e não existe na geometria não euclidiana. Isso se deve ao fato de que em tal sistema não existem figuras quadrangulares, cuja soma dos ângulos é igual a trezentos e sessenta graus.

A praça e suas características

Tendo lidado com os sinais e propriedades de um retângulo, você deve prestar atenção ao segundo quadrângulo conhecido pela ciência com ângulos retos (este é um quadrado).

Sendo na verdade o mesmo retângulo, mas com lados iguais, esta figura tem todas as suas propriedades. Mas, ao contrário dele, o quadrado está presente na geometria não euclidiana.

Além disso, esta figura possui outras características distintas próprias. Por exemplo, o fato de que as diagonais de um quadrado não são apenas iguais entre si, mas também se cruzam em ângulos retos. Assim, como um losango, um quadrado consiste em quatro triângulos retângulos, nos quais é dividido pelas diagonais.

Além disso, essa figura é a mais simétrica de todos os quadrantes.

Qual é a soma dos ângulos de um quadrilátero

Considerando as características dos quadrantes da geometria euclidiana, você deve prestar atenção aos seus ângulos.

Portanto, em cada uma das figuras acima, independentemente de ter ângulos retos ou não, a soma total é sempre a mesma - trezentos e sessenta graus. Esta é uma característica única deste tipo de figura.

Perímetro de quadrantes

Tendo descoberto a que é igual a soma dos ângulos de um quadrilátero e outras propriedades especiais de figuras deste tipo, vale a pena descobrir quais fórmulas são mais bem usadas para calcular seu perímetro e área.

Para determinar o perímetro de qualquer quadrângulo, você só precisa somar o comprimento de todos os seus lados.

Por exemplo, em uma forma KLMN, seu perímetro pode ser calculado usando a fórmula: P \u003d KL + LM + MN + KN. Se você substituir os números aqui, obterá: 6 + 8 + 6 + 8 \u003d 28 (cm).

No caso em que a figura em questão é um losango ou um quadrado, para encontrar o perímetro, você pode simplificar a fórmula simplesmente multiplicando o comprimento de um de seus lados por quatro: P \u003d KL x 4. Por exemplo: 6 x 4 \u003d 24 (cm).

Fórmulas de quadrângulo de área

Tendo descoberto como encontrar o perímetro de qualquer forma com quatro cantos e lados, vale a pena considerar as maneiras mais populares e simples de encontrar sua área.

Outras propriedades dos quadrantes: círculos inscritos e circunscritos

Tendo considerado as características e propriedades de um quadrilátero como uma figura da geometria euclidiana, vale a pena prestar atenção à capacidade de descrever ou inscrever círculos dentro dele:

• Se as somas dos ângulos opostos da figura forem cento e oitenta graus cada e iguais aos pares, então um círculo pode ser descrito livremente em torno de tal quadrilátero.
• De acordo com o teorema de Ptolomeu, se um círculo é descrito fora de um polígono com quatro lados, então o produto de suas diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos dessa figura. Assim, a fórmula ficará assim: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
• Se você construir um quadrângulo no qual as somas dos lados opostos são iguais entre si, um círculo pode ser inscrito nele.

Tendo descoberto o que é um quadrângulo, que tipos existem, quais deles têm apenas ângulos retos entre os lados e quais propriedades eles possuem, vale a pena lembrar de todo esse material. Em particular, a fórmula para encontrar o perímetro e a área dos polígonos considerados. Afinal, figuras com esse formato são uma das mais comuns, e esse conhecimento pode ser útil para cálculos na vida real.

Um quadrilátero convexo é uma figura composta por quatro lados conectados nos vértices, formando quatro vértices juntamente com os lados, enquanto o próprio quadrilátero está sempre no mesmo plano em relação à linha reta na qual um de seus lados se encontra. Em outras palavras, a forma inteira está em um lado de cada lado.

Em contato com

Como você pode ver, a definição é muito fácil de lembrar.

Propriedades e tipos básicos

Quadriláteros convexos incluem quase todas as figuras conhecidas por nós, consistindo de quatro cantos e lados. O seguinte pode ser distinguido:

1. paralelograma;
2. quadrado;
3. retângulo;
4. trapézio;
5. losango.

Todas essas figuras estão unidas não apenas pelo fato de serem quadrangulares, mas também pelo fato de serem convexas. Basta considerar o diagrama:

A figura mostra um trapézio convexo... Aqui você pode ver que o trapézio está no mesmo plano ou em um lado do segmento. Se você realizar ações semelhantes, poderá descobrir que, no caso de todos os outros lados, o trapézio é convexo.

Um paralelogramo é um quadrilátero convexo?

Acima está a imagem de um paralelogramo. Como você pode ver na foto, o paralelogramo também é convexo... Se você olhar para a figura em relação às linhas nas quais os segmentos AB, BC, CD e AD se encontram, torna-se claro que ela está sempre no mesmo plano a partir dessas linhas. As principais características de um paralelogramo são que seus lados são paralelos aos pares e iguais, assim como os ângulos opostos são iguais entre si.

Agora, imagine um quadrado ou retângulo. De acordo com suas propriedades principais, são também paralelogramos, ou seja, todos os seus lados estão paralelos aos pares. Apenas no caso de um retângulo, o comprimento dos lados pode ser diferente e os ângulos são retos (iguais a 90 graus), um quadrado é um retângulo em que todos os lados são iguais e os ângulos também são retos e, para um paralelogramo, os comprimentos dos lados e ângulos podem ser diferentes.

Como resultado, a soma de todos os quatro cantos do quadrilátero deve ser igual a 360 graus... A maneira mais fácil de determinar isso é pelo retângulo: todos os quatro cantos do retângulo são retos, ou seja, iguais a 90 graus. A soma desses ângulos de 90 graus dá 360 graus, ou seja, se você adicionar 90 graus 4 vezes, obtém o resultado desejado.

Propriedade das diagonais de um quadrilátero convexo

Diagonais de um quadrilátero convexo se cruzam... Na verdade, esse fenômeno pode ser observado visualmente, basta olhar para a foto:

A figura à esquerda mostra um quadrilátero ou quadrilátero não convexo. Como quiser. Como você pode ver, as diagonais não se cruzam, pelo menos não todas. À direita está um quadrilátero convexo. A propriedade das diagonais de se cruzarem já foi observada aqui. A mesma propriedade pode ser considerada um sinal da convexidade de um quadrângulo.

Outras propriedades e critérios para a convexidade de um quadrilátero

Especificamente para este termo, é muito difícil nomear quaisquer propriedades e sinais específicos. É mais fácil isolar de acordo com diferentes tipos de quadrantes deste tipo. Você pode começar com um paralelogramo. Já sabemos que se trata de uma figura quadrangular, cujos lados são pares paralelos e iguais. Ao mesmo tempo, isso também inclui a propriedade das diagonais do paralelogramo se cruzarem, bem como o sinal da convexidade da própria figura: o paralelogramo está sempre no mesmo plano e de um lado em relação a qualquer um de seus lados.

Assim, os principais sinais e propriedades são conhecidos:

1. a soma dos ângulos do quadrilátero é 360 graus;
2. as diagonais das figuras se cruzam em um ponto.

Retângulo... Esta figura tem as mesmas propriedades e recursos do paralelogramo, mas todos os seus ângulos são iguais a 90 graus. Daí o nome - retângulo.

Quadrado, o mesmo paralelogramo, mas seus cantos são retos como os de um retângulo. Por causa disso, um quadrado raramente é chamado de retângulo. Mas a principal característica distintiva de um quadrado, além dos já listados acima, é que todos os quatro lados são iguais.

O trapézio é uma figura muito interessante... Este também é um quadrângulo e também convexo. Neste artigo, o trapézio já foi considerado usando o exemplo de uma imagem. É claro que também é convexo. A principal diferença, e portanto um sinal de um trapézio, é que seus lados podem não ser absolutamente iguais entre si em comprimento, assim como seus ângulos em valor. Nesse caso, a figura permanece sempre no mesmo plano em relação a qualquer uma das retas, que conecta quaisquer dois de seus vértices ao longo dos segmentos que formam a figura.

O losango é uma figura igualmente interessante... Em parte, um quadrado pode ser considerado um losango. Um sinal de um losango é o fato de que suas diagonais não apenas se cruzam, mas também dividem os cantos do losango pela metade, e as próprias diagonais se cruzam em ângulos retos, ou seja, são perpendiculares. Se os comprimentos dos lados do losango forem iguais, as diagonais também serão reduzidas à metade quando se cruzarem.

Deltóides ou rombóides convexos (losangos) pode ter diferentes comprimentos de lados. Mas, ao mesmo tempo, as propriedades e características básicas do próprio losango e as características e propriedades da convexidade ainda são preservadas. Ou seja, podemos observar que as diagonais dividem os cantos ao meio e se cruzam em ângulos retos.

A tarefa de hoje era considerar e compreender o que são quadrangulares convexos, o que são e suas principais características e propriedades. Atenção! Vale a pena lembrar novamente que a soma dos ângulos de um quadrilátero convexo é 360 graus. O perímetro das figuras, por exemplo, é igual à soma dos comprimentos de todos os segmentos de linha que formam a figura. As fórmulas para o cálculo do perímetro e da área dos quadrantes serão discutidas nos próximos artigos.

Tipos de quadrantes convexos

Definição. Um paralelogramo é um quadrilátero no qual os lados opostos são paralelos aos pares.

Propriedade. Em um paralelogramo, os lados opostos são iguais e os ângulos opostos são iguais.

Propriedade. As diagonais do paralelogramo são divididas pela metade no ponto de interseção.

1 sinal de um paralelogramo. Se em um quadrilátero dois lados são iguais e paralelos, então esse quadrilátero é um paralelogramo.

2 sinais de um paralelogramo. Se em um quadrilátero os lados opostos forem iguais aos pares, então esse quadrilátero é um paralelogramo.

3 sinais de um paralelogramo. Se em um quadrilátero as diagonais se cruzam e o ponto de intersecção é dividido ao meio, então esse quadrilátero é um paralelogramo.

Definição. Um trapézio é um quadrilátero em que dois lados são paralelos e os outros dois não. Lados paralelos são chamados motivos.

O trapézio é chamado isósceles (isósceles)se seus lados são iguais. Em um trapézio isósceles, os ângulos nas bases são iguais.

retangular.

a linha média do trapézio... A linha do meio é paralela às bases e igual à sua meia soma.

Retângulo

Definição.

Propriedade. As diagonais do retângulo são iguais.

Atributo retângulo. Se as diagonais em um paralelogramo são iguais, então este paralelogramo é um retângulo.

Definição.

Propriedade. As diagonais de um losango são perpendiculares entre si e dividem seus cantos ao meio.

Definição.

Um quadrado é uma visão particular de um retângulo e também uma visão particular de um losango. Portanto, tem todas as suas propriedades.

Propriedades:
1. Todos os cantos do quadrado são retos

Esquema todas as regras

Palavras-chave:
quadrilátero, convexo, soma dos ângulos, área de um quadrilátero

Quadrilátero uma figura é chamada, que consiste em quatro pontos e quatro segmentos conectando-os em série. Nesse caso, nenhum desses pontos deve estar em uma linha reta e os segmentos que os conectam não devem se cruzar.

• Os vértices do quadrilátero são chamados vizinho se forem as extremidades de um de seus lados.
• Vértices que não são adjacentes , são chamados oposto .
• Os segmentos que conectam os vértices opostos do quadrilátero são chamados diagonais .
• Os lados de um quadrângulo, saindo de um vértice, são chamados vizinho festas.
• Partes que não têm um fim comum são chamadas oposto festas.
• O quadrângulo é chamado convexo se ele está localizado em um meio-plano em relação à linha reta que contém algum de seus lados.

Tipos de quadriláteros

1. Paralelogramo - um quadrângulo cujos lados opostos são paralelos aos pares
   • Retângulo - um paralelogramo com todos os ângulos retos
   • Losango - paralelogramo em que todos os lados são iguais
   • Quadrado - um retângulo com todos os lados iguais
2. Trapézio - um quadrilátero em que dois lados são paralelos e os outros dois lados não são paralelos
3. Deltóide - um quadrilátero em que dois pares de lados adjacentes são iguais

Quadrangles

Quadrilátero uma figura é chamada, que consiste em quatro pontos e quatro segmentos conectando-os em série. Além disso, nenhum desses pontos se encontra em uma linha reta e os segmentos que os conectam não se cruzam.

oposto. oposto.

Tipos de quadriláteros

Paralelogramo

Paralelogramo é chamado de quadrângulo, cujos lados opostos são paralelos aos pares.

Propriedades de paralelogramo

• lados opostos são iguais;
• ângulos opostos são iguais;
• a soma dos quadrados das diagonais é igual à soma dos quadrados de todos os lados:

Sinais de paralelogramo

Trapézio é chamado de quadrilátero em que dois lados opostos são paralelos e os outros dois não são paralelos.

Os lados paralelos do trapézio são chamados motivos, e lados não paralelos - lados laterais. O segmento que conecta os pontos médios dos lados é chamado a linha média.

O trapézio é chamado isósceles (ou isósceles) se seus lados forem iguais.

Um trapézio, um dos cantos do qual é reto, é chamado retangular.

Propriedades trapézio

Sinais de um trapézio

Retângulo

Retângulo chamado de paralelogramo, no qual todos os ângulos estão corretos.

Propriedades retangulares

Recursos retangulares

Um paralelogramo é um retângulo se:

1. Um de seus cantos é reto.
2. Suas diagonais são iguais.

Losango chamado de paralelogramo no qual todos os lados são iguais.

Propriedades de diamante

• todas as propriedades do paralelogramo;
• diagonais são perpendiculares;

Sinais de losango

Quadrado é chamado de retângulo no qual todos os lados são iguais.

Propriedades quadradas

• todos os cantos do quadrado são retos;
• as diagonais do quadrado são iguais, perpendiculares entre si, o ponto de interseção é reduzido à metade e os cantos do quadrado são reduzidos à metade.

Sinais de uma praça

Fórmulas básicas

S \u003d d 1 d 2 pecado

Paralelogramo
uma e b - lados adjacentes; - o ângulo entre eles; h a - elevação lateral uma.

S \u003d ab pecado

S \u003d d 1 d 2 pecado

Trapézio
uma e b - bases; h - a distância entre eles; eu - linha do meio .

Retângulo

S \u003d d 1 d 2 pecado

S \u003d a 2 pecado

S \u003d d 1 d 2

Quadrado
d - a diagonal.

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Propriedades dos quadrângulos. Tipos de quadriláteros. Propriedades de quadrantes arbitrários. Propriedades do paralelogramo. Propriedades do diamante. Propriedades do retângulo. Propriedades quadradas. Propriedades do trapézio. Por volta de 7 a 9 anos (13 a 15 anos)

Propriedades dos quadrantes. Tipos de quadriláteros. Propriedades de quadrantes arbitrários.
Propriedades do paralelogramo. Propriedades do diamante. Propriedades do retângulo. Propriedades quadradas. Propriedades do trapézio.

Tipos de quadriláteros:

• Paralelogramo - este é um quadrilátero em que os lados opostos são paralelos

• Losango É um paralelogramo com todos os lados iguais.

• Retângulo É um paralelogramo com todos os ângulos retos.

• Quadrado É um retângulo com todos os lados iguais.

Propriedades quadrilaterais arbitrárias:

Propriedades do paralelogramo:

Propriedades do diamante:

Propriedades do retângulo:

Propriedades quadradas:

Propriedades do trapézio:

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Esquema todas as regras

Geometria não euclidiana, geometria semelhante à geometria Euclides no fato de que define o movimento das figuras, mas difere da geometria euclidiana pelo fato de um de seus cinco postulados (o segundo ou quinto) ser substituído por sua negação. A negação de um dos postulados euclidianos (1825) foi um acontecimento significativo na história do pensamento, pois serviu de primeiro passo para teoria da relatividade.

O segundo postulado de Euclides afirma que qualquer segmento de linha reta pode ser continuado indefinidamente... Euclides, aparentemente, acreditava que esse postulado também continha a afirmação de que a linha tem comprimento infinito. Contudo na geometria "elíptica", qualquer linha reta é finita e, como um círculo, é fechada.

O quinto postulado afirma que se uma linha reta cruza duas linhas retas dadas de modo que os dois ângulos internos de um lado dela sejam no total menores que dois ângulos retos, então essas duas linhas retas, se continuarem indefinidamente, se cruzarão no lado em que a soma desses ângulos é menor que a soma duas linhas retas. Mas na geometria "hiperbólica" pode haver uma linha reta CB (ver Fig.), Perpendicular no ponto C a uma determinada linha reta re interceptando outra linha s em um ângulo agudo no ponto B, mas, no entanto, as linhas retas infinitas r e s nunca se cruzarão ...

Destes postulados revisados \u200b\u200bseguiu-se que a soma dos ângulos de um triângulo, igual a 180 ° na geometria euclidiana, é maior do que 180 ° na geometria elíptica e menor do que 180 ° na geometria hiperbólica.

Quadrilátero

Quadriláteroé um polígono com quatro vértices e quatro lados.

Quadrilátero, uma figura geométrica - um polígono com quatro cantos, bem como qualquer objeto, dispositivo desta forma.

Dois lados não adjacentes de um quadrilátero são chamados oposto. Dois vértices que não são adjacentes também são chamados oposto.

Quadrângulos são convexos (como ABCD) e
não convexo (A 1 B 1 C 1 D 1).

Tipos de quadriláteros

• Paralelogramo- um quadrilátero no qual todos os lados opostos são paralelos;
• Retângulo- um quadrângulo com todos os ângulos retos;
• Losango- um quadrilátero em que todos os lados são iguais;
• Quadrado - um quadrilátero em que todos os ângulos são retos e todos os lados são iguais;
• Trapézio - um quadrângulo, no qual dois lados opostos são paralelos;
• Deltóide - um quadrilátero no qual dois pares de lados adjacentes são iguais.

Paralelogramo

Um paralelogramo é um quadrilátero em que os lados opostos são paralelos aos pares.

Paralelogramo (do grego paralelos - paralelo e linha grama), ou seja, encontra-se em linhas paralelas. Os casos especiais de paralelogramo são retângulo, quadrado e losango.

• lados opostos são iguais;
• ângulos opostos são iguais;
• as diagonais são reduzidas à metade pelo ponto de interseção;
• a soma dos ângulos adjacentes a um lado é 180 °;
• a soma dos quadrados das diagonais é igual à soma dos quadrados de todos os lados.

Um quadrilátero é um paralelogramo se:

1. Seus dois lados opostos são iguais e paralelos.
2. Os lados opostos são iguais aos pares.
3. Os ângulos opostos são iguais aos pares.
4. As diagonais são reduzidas à metade pelo ponto de interseção.

Retângulo

Um retângulo é um paralelogramo no qual todos os cantos são retos.

• lados opostos são iguais;
• ângulos opostos são iguais;
• as diagonais são reduzidas à metade pelo ponto de interseção;
• a soma dos ângulos adjacentes a um lado é 180 °;
• as diagonais são iguais.

Um paralelogramo é um retângulo se:

1. Um de seus cantos é reto.
2. Suas diagonais são iguais.

Um losango é chamado de paralelogramo em que todos os lados são iguais.

• lados opostos são iguais;
• ângulos opostos são iguais;
• as diagonais são reduzidas à metade pelo ponto de interseção;
• a soma dos ângulos adjacentes a um lado é 180 °;
• a soma dos quadrados das diagonais é igual à soma dos quadrados de todos os lados;
• diagonais são perpendiculares;
• as diagonais são as bissetoras de seus cantos.

Um paralelogramo é um diamante se:

1. Seus dois lados adjacentes são iguais.
2. Suas diagonais são perpendiculares.
3. Uma das diagonais é a bissetriz de seu ângulo.

Um quadrado é um retângulo no qual todos os lados são iguais.

• todos os cantos do quadrado são retos;
• as diagonais do quadrado são iguais, perpendiculares entre si, o ponto de interseção é reduzido à metade e os cantos do quadrado são reduzidos à metade.

1. Um retângulo é um quadrado se tiver qualquer característica de um losango.

Um trapézio é um quadrilátero em que dois lados opostos são paralelos e os outros dois não são paralelos.

Os lados paralelos de um trapézio são chamados de bases e os lados não paralelos são chamados de lados. O segmento que conecta os pontos médios dos lados é chamado de linha média.

Um trapézio é chamado de isósceles (ou isósceles) se seus lados forem iguais.

Um trapézio, um dos cantos do qual é reto, é denominado retangular.

• sua linha média é paralela às bases e igual à sua meia soma;
• se o trapézio é isósceles, então suas diagonais são iguais e os ângulos na base são iguais;
• se o trapézio for isósceles, então um círculo pode ser descrito em torno dele;
• se a soma das bases for igual à soma dos lados, então um círculo pode ser inscrito nela.

1. Um quadrilátero é um trapézio se seus lados paralelos não forem iguais

Deltóide - um quadrângulo com dois pares de lados do mesmo comprimento. Ao contrário de um paralelogramo, não oposto, mas dois pares de lados adjacentes são iguais. O deltóide tem a forma de uma pipa.

• Os ângulos entre os lados de comprimento desigual são iguais.
• As diagonais deltóides (ou suas extensões) se cruzam em ângulos retos.
• Um círculo pode ser inscrito em qualquer deltóide convexo; além disso, se o deltóide não for um losango, então há outro círculo tocando as extensões de todos os quatro lados. Para um deltóide não convexo, você pode construir um círculo tangente a dois lados maiores e extensões de dois lados menores, e um círculo tangente a dois lados menores e extensões de dois lados grandes.

• Se o ângulo entre os lados desiguais do deltóide for reto, um círculo (o deltóide descrito) pode ser inscrito nele.
• Se um par de lados opostos de um deltóide são iguais, então esse deltóide é um losango.
• Se um par de lados opostos e ambas as diagonais do deltóide forem iguais, o deltóide é um quadrado. Um deltóide inscrito com diagonais iguais também é um quadrado.

O surgimento da geometria remonta aos tempos antigos e deveu-se às necessidades práticas da atividade humana (a necessidade de medir a terra, medir o volume de vários corpos, etc.).

As informações e conceitos geométricos mais simples já eram conhecidos no Egito Antigo. Durante esse período, as afirmações geométricas foram formuladas na forma de regras fornecidas sem comprovação.

Do século 7 aC e. ao século I d.C. e. a geometria como ciência desenvolveu-se rapidamente na Grécia antiga. Durante este período, não apenas o acúmulo de várias informações geométricas ocorreu, mas também a técnica de provar afirmações geométricas foi desenvolvida, e as primeiras tentativas foram feitas para formular as principais disposições primárias (axiomas) da geometria, a partir das quais muitas afirmações geométricas diferentes são derivadas por raciocínio puramente lógico. O nível de desenvolvimento da geometria na Grécia antiga é refletido no ensaio de Euclides "Beginnings".

Neste livro, foi feita uma tentativa pela primeira vez de fornecer uma construção sistemática da planimetria com base em conceitos básicos geométricos indefinidos e axiomas (postulados).

Um lugar especial na história da matemática é ocupado pelo quinto postulado de Euclides (o axioma das linhas paralelas). Por muito tempo, os matemáticos tentaram sem sucesso deduzir o quinto postulado do resto dos postulados de Euclides, e somente em meados do século 19, graças à pesquisa de N.I. Lobachevsky, B. Riemann e J. sugerido por Euclides, não o único possível.

Os "primórdios" de Euclides tiveram um impacto tremendo no desenvolvimento da matemática. Por mais de dois mil anos, este livro não foi apenas um livro-texto sobre geometria, mas também serviu como um ponto de partida para muitos estudos matemáticos, como resultado dos quais novos ramos independentes da matemática surgiram.

A construção sistemática da geometria é geralmente realizada de acordo com o seguinte plano:

EU. Os conceitos geométricos básicos são listados, os quais são introduzidos sem definições.

II. A formulação dos axiomas da geometria é dada.

III. O resto dos conceitos e teoremas geométricos são formulados com base em axiomas e conceitos geométricos básicos.

1. A origem do nome geometria não euclidiana?
2. Quais formas são chamadas de quadrantes?
3. Propriedades de um paralelogramo?
4. Tipos de quadriláteros?

Lista de fontes usadas

1. A.G. Tsypkin. Referência matemática
2. “Exame de Estado Unificado 2006. Matemática. Materiais educacionais e de treinamento para preparação de alunos / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006 "
3. K. Mazur "Solução dos principais problemas de competição em matemática da coleção editada por M. I. Skanavi"

Trabalhou na lição

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1 ... A soma das diagonais de um quadrilátero convexo é maior do que a soma de seus dois lados opostos.

2 ... Se os segmentos de linha conectam os pontos médios de lados opostos quadrilátero

a) são iguais, então as diagonais do quadrilátero são perpendiculares;

b) são perpendiculares, então as diagonais do quadrilátero são iguais.

3 ... As bissetoras dos ângulos no lado lateral do trapézio se cruzam em sua linha média.

4 ... Os lados do paralelogramo são iguais e. Então, o quadrilátero formado pelas intersecções das bissetoras dos ângulos do paralelogramo é um retângulo cujas diagonais são iguais.

5 ... Se a soma dos ângulos em uma das bases do trapézio for 90 °, então o segmento que conecta os pontos médios das bases do trapézio é igual à sua meia diferença.

6 ... Dos lados ABe DE ANÚNCIOSparalelogramo ABCDpontos tomados M e Nentão isso direto MCe NCdivida o paralelogramo em três partes iguais. Encontrar MN,se um BD \u003d d.

7 ... Um segmento de linha reta paralela às bases do trapézio, encerrado dentro do trapézio, é dividido por suas diagonais em três partes. Então, os segmentos adjacentes aos lados são iguais uns aos outros.

8 ... Através do ponto de intersecção das diagonais do trapézio com as bases e traçada uma linha reta paralela às bases. O segmento desta linha reta, encerrado entre os lados laterais do trapézio, é igual a.

9 ... O trapézio é dividido por uma linha reta paralela às suas bases, igual e , em dois trapézios iguais. Então, o segmento desta linha reta entre os lados laterais é igual a.

10 ... Se uma das seguintes condições for atendida, quatro pontos A, B, Ce Dmentir no mesmo círculo.

e) CAD \u003d CBD \u003d90 °.

b) pontos Ee NOdeitar em um lado de uma linha reta CDe ângulo cafajesteigual ao ângulo CBD.

c) direto COMOe BDinterceptar no ponto SOBREe О А ОВ \u003d ОВ OD.

11 ... Linha conectando um ponto Rintersecção das diagonais do quadrilátero ABCD componto Qintersecções de linhas retas ABe CD,divide o lado DE ANÚNCIOSna metade. Então ela divide pela metade e o lado Sol.

12 ... Cada lado do quadrilátero convexo é dividido em três partes iguais. Os pontos de divisão correspondentes em lados opostos são conectados por segmentos de linha. Então, esses segmentos se dividem em três partes iguais.

13 ... Duas linhas retas dividem cada um dos dois lados opostos do quadrilátero convexo em três partes iguais. Então, entre essas linhas, está um terço da área do quadrilátero.

14 ... Se um círculo pode ser inscrito em um quadrilátero, então o segmento que conecta os pontos nos quais o círculo inscrito toca os lados opostos do quadrilátero passa pela intersecção das diagonais.

15 ... Se as somas dos lados opostos do quadrilátero forem iguais, um círculo pode ser inscrito nesse quadrilátero.

16. Propriedades de um quadrilátero inscrito com diagonais perpendiculares entre si.Quadrilátero ABCDinscrito em um círculo de raio R.Suas diagonais COMOe BDmutuamente perpendiculares e se cruzam no ponto R.Então

a) a mediana do triângulo ARVperpendicular ao lado CD;

b) linha tracejada AOCdivide um quadrilátero ABCDem duas partes iguais;

no) AB 2 + CD 2=4R 2 ;

d) AP 2 + BP 2 + CP 2 + DP 2 \u003d4R 2 e AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2 \u003d 8R 2;

e) a distância do centro do círculo ao lado do quadrilátero é a metade do lado oposto.

f) se as perpendiculares para o lado DE ANÚNCIOSdos picos NOe DE,cruzam diagonais COMOe BDem pontos Ee F,então BCFE- losango;

g) um quadrilátero, cujos vértices são projeções de um ponto Rpara os lados do quadrilátero ABCD,- tanto inscritos quanto descritos;

h) um quadrilátero formado por tangentes ao círculo circunscrito de um quadrilátero ABCD,desenhado em seus vértices pode ser inscrito em um círculo.

17 ... Se um uma, b, c, d- lados consecutivos de um quadrilátero, S- sua área, então, e a igualdade ocorre apenas para um quadrilátero inscrito, cujas diagonais são perpendiculares entre si.

18 . Fórmula de Brahmagupta.Se os lados do quadrilátero inscrito forem iguais a, b, c e d,então sua área S pode ser calculado pela fórmula,

onde - semi-perímetro de um quadrilátero.

19 ... Se um quadrilátero com lados e, b, c, dpode ser inscrito e um círculo pode ser descrito em torno dele, então sua área é .

20 ... O ponto P está localizado dentro do quadrado ABCD,e o ângulo PABigual ao ângulo PBAe é igual 15 °. Então o triângulo DPC- equilátero.

21 ... Se for um quadrilátero inscrito ABCDa igualdade se mantém CD \u003d AD + BC,então a bissetriz de seus cantos Ee NOcruze do lado CD.

22 ... Continuações de lados opostos ABe CDquadrilátero inscrito ABCDinterceptar no ponto M,e as festas DE ANÚNCIOSe Sol- no ponto N.Então

a) bissetoras de ângulos AMDe DNCmutuamente perpendiculares;

b) direto МQe NQcruze os lados do quadrilátero nos vértices do losango;

c) ponto de intersecção Qdessas bissetoras encontra-se no segmento que conecta os pontos médios das diagonais do quadrilátero ABCD.

23 . Teorema de Ptolomeu.A soma dos produtos de dois pares de lados opostos de um quadrilátero inscrito é igual ao produto de suas diagonais.

24 . Teorema de Newton.Em qualquer quadrilátero descrito, o meio das diagonais e o centro do círculo inscrito estão localizados em uma linha reta.

25 . Teorema de Monge.As linhas traçadas nos pontos médios dos lados do quadrilátero inscrito perpendicular aos lados opostos se cruzam em um ponto.

27 ... Quatro círculos, construídos nas laterais de um quadrilátero convexo como diâmetros, cobrem todo o quadrilátero.

29 ... Dois cantos opostos de um quadrilátero convexo são obtusos. Então, a diagonal conectando os vértices desses cantos é menor que a outra diagonal.

30. Os centros dos quadrados construídos nas laterais do paralelogramo, fora dele, formam um quadrado.