Две прямые линии BA и BC (черт. 13), пересекающиеся в одной и той же точке B, образуют при точке B угол.
Определение угла . Углом называется неопределенная часть плоскости, ограниченная двумя пересекающимися прямыми линиями. Угол есть величина, определяющая наклонение одной прямой линии к другой.
Стороны угла. Пересекающиеся линии называются сторонами угла.
Вершина угла . Точка пересечения двух прямых называется вершиной угла . Величина угла не зависит от длины сторон, поэтому стороны угла можно неопределенно продолжать.
Название угла . a) Углы называют буквой, стоящей при вершине ; так угол на черт. 13 называют углом B. b) Если при вершине несколько углов, то углы называют тремя буквами, стоящими при вершине и двух его сторонах. При этом буква при вершине произносится и пишется в середине.
На черт. 13 угол B называют угол ABC. Линии BA и BC - две стороны, а точка B - вершина угла.
Таким образом угол ABC есть угол B или
угол ABC = углу B.
Знак угла. Слово угол заменяют иногда знаком ∠ .
Таким образом предыдущее равенство изображают письменно:
В том случае, когда из точки выходит несколько линий, при точке B имеется несколько углов.
На черт. 14 из точки B выходят прямые линии BA, BC, BD и при вершине B имеются углы ABC, CBD, ABD.
Прилежащие углы . Два угла называются прилежащими, когда они имеют общею вершину, по одной общей стороне, а две другие лежат по обе стороны общей стороны.
Углы ABC и CBD (черт. 14) суть прилежащие углы. Они имеют общую вершину B, общую сторону BC, а две другие стороны BA и BD лежат одна сверху, а другая снизу общей стороны BC.
Углы изменяют свою величину, если изменяется наклонение одной стороны к другой. Из двух углов, имеющих общую вершину, тот угол, внутри которого помещается другой угол, называется большим углом. На чертеже 14
уг. ABD > уг. ABC и уг. CBD < уг. ABD.
Чтобы иметь понятие о взаимной величине двух углов, имеющих разные вершины, накладывают один угол на другой. При наложении совмещают их вершины и по одной стороне, тогда направление другой стороны даст возможность сравнивать их величину. Чтобы сравнить два угла ABC и DEF (черт. 15), накладывают угол DEF на угол ABC так, чтобы сторона EF пошла по стороне BC, точка E совмещалась с точкой B; тогда сторона ED может занять три положения: она может совпасть со стороной BA, упасть внутри и вне угла ABC.
a) Если линия ED совпадет с линией BA, углы называются равными
уг. ABC = уг. DEF.
b) Если линия ED упадет внутри угла ABC и займет положение BG, угол ABC будет больше угла DEF
уг. ABC > уг. DEF.
c) Если же линия ED упадет вне угла ABC по направлению BH, угол ABC меньше угла DEF
уг. ABC < уг. DEF.
Сложение, вычитание, умножение и деление углов. Два прилежащих угла ABC и CBD (чер. 14) образуют один угол ABC. Угол ABD называется суммой углов ABC и CBD. Это выражают письменно равенством:
∠ABD = ∠ABC + ∠CBD (a)
Из равенства (а) вытекает равенство:
∠ABC = ∠ABD - ∠CBD
∠CBD = ∠ABD - ∠ABC,
т. е. угол ABC есть разность углов ABD и CBD, и угол CBD есть разность углов ABD и ABC.
Если при точке O (черт. 16) находится несколько равных прилежащих углов, т. е. если
∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOE,
то угол AOC, равный сумме углов AOB и BOC равен двум углам AOB,
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC, след. ∠AOC = 2AOB.
Угол AOD равен трем углам AOB
Обратно, угол AOB составляет половину угла AOC, треть угла AOD, четверть угла AOE.
AOB = ½ AOC = 1/3 AOD = ¼ AOE.
Отсюда выводим, что углы как величины можно не только складывать и вычитать, но также умножать и делить на отвлеченное число .
Если из двух прилежащих углов ACD и DCB (чер. 17) две стороны CA и CB лежат на одной прямой, их называют смежными.
. Смежными называются такие углы, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой.
Если линия CD, поворачиваясь около точки C, займет положение CE, то угол ACD уменьшаясь обратится в угол ACE, а угол BCD увеличиваясь обратится в угол BCE. Линия CD, продолжая поворачиваться, может принять такое положение, что два смежных угла сделаются равными. Когда два смежных угла ACD и DCB равны (чер. 18), их называют прямыми углами .
В этом случае линия CD называется перпендикулярной к линии AB или просто перпендикуляром к линии AB.
На чертеже 19 начерчен один прямой угол без другого смежного с ним.
Прямой угол есть один из равных смежных углов.
Перпендикуляр есть прямая линия, образующая с другой линией прямой угол.
На чертеже 18 углы ACD и DCB, оставаясь смежными и равными, получают название прямых углов. Линия DC будет перпендикулярной к линии AB. Такое взаимное отношение двух линий выражают иногда письменно: CD ⊥ AB.
Так как линия AB будет также перпендикулярна к линии CD, то линия AB и CD будут взаимно-перпендикулярны, т. е. если CD ⊥ AB, то и AB ⊥ CD.
Подошва перпендикуляра . Точка взаимной встречи двух перпендикулярных линий называется подошвою перпендикуляра.
Точка C (чер. 18) есть подошва перпендикуляра CD.
В каждой точке линии AB можно провести перпендикуляр к линии AB.
Провести перпендикуляр к линии (AB) из точки, лежащей на линии, значит восставить перпендикуляр. Провести же перпендикуляр (DC) к линии (AB) из точки (D), лежащей вне прямой, значит опустить перпендикуляр (черт. 18).
Наклонная линия . Всякая линия неперпендикулярная к другой называется линией наклонною к ней.
На чертеже 20 линия CE будет наклона к линии AB, а линия CD перпендикулярна к линии AB.
Угол ECB меньше прямого, а угол ACE больше прямого. Угол ECB называется острым, а угол ACE тупым.
Острый угол есть всякий угол меньше прямого , а тупой угол есть угол больший прямого .
Одноименные и разноименные углы . Два острых или два тупых угла называются одноименными, а два угла, из которых один острый, а другой тупой, называются разноименными.
Наклонная линия CE образует (черт. 20) с прямою AB два смежных угла, из которых один меньше, а другой больше прямого, т. е. один острый, а другой тупой.
Теорема 3 . Из точки, взятой на прямой линии, можно восставить к ней только один перпендикуляр.
Дана прямая AB и на ней точка C (черт. 20).
Требуется доказать , что можно к ней восставить только один перпендикуляр.
Доказательство . Положим, что можно из точки C к линии AB восставить два перпендикуляра (черт. 20) CD и CE. По свойству перпендикуляра
уг. DCB = уг. ACD (a)
уг. BCE = уг. ACE.
Если приложить к первой части последнего неравенства угол ECD, получим неравенство
уг. BCE + уг. ECD > уг. ACE, или уг. BCD > уг. ACE.
Заменяя в этом неравенстве уг. BCD равным ему углом ACD (a), получим
уг. DCA > уг. ACE,
неравенство очевидно нелепое, ибо часть не может быть более своего целого, следовательно предположение, что можно восставить два перпендикуляра, ведет к нелепости, поэтому оно ложно. Ложность предположения основана на том соображении, что из верного положения нельзя вывести неверного заключения, следовательно, наша теорема верна.
Способ доказывать справедливость данной теоремы указанием на невозможность и нелепость всякого другого предположения называется способом доказательства от противного или способом приведения к нелепости.
Теорема 4 . Все прямые углы равны.
Предположим, мы имеем две пары прямых углов: одну пару составляют углы ACD и DCB, а другую углы EGH и HGF, следовательно, CD ⊥ AB и HG ⊥ EF (черт. 21).
Требуется доказать, что прямые углы равны.
Доказательство . Наложим линию EF на линию AB точкой G на точку C, тогда линия GH пойдет по линии CD, ибо из точки C можно восставить только один перпендикуляр, следовательно, прямой угол DCB = прямому углу HGF.
Заключение . Прямой угол есть величина постоянная.
Мера углов . При измерении углов прямой угол, как величину постоянную, принимают за единицу сравнения. Величину его обозначают буквою d.
В таком случае
всякий острый угол < d,
всякий тупой угол > d.
Все углы выражаются при помощи прямого. Так, например, говорят: данный угол равен ½ d, 2/3 d и т. д.
Теорема 5 . Сумма двух смежных углов равна двум прямым.
Даны смежные углы ACD и DCB (черт. 22).
Требуется доказать, что ACD + DCB = 2d.
Доказательство . Из точки C восставим перпендикуляр CE, тогда
ACD = ACE + ECD = d + ECD
DCB = ECB - ECD = d - ECD
Сложив эти равенства, имеем:
ACD + DCB = ACE + ECB = 2d (что и требовалось доказать).
Два смежных угла пополняют один другой до двух прямых и потому называются углами дополнительными.
Из теоремы 5 вытекает следствие . Одна пара смежных углов равна другой паре смежных углов.
Теорема 6 (обратная теореме 5). Если сумма двух прилежащих углов равна двум прямым, то две другие стороны лежат на одной прямой.
Пусть сумма двух прилежащих углов ACD и DCB равна двум прямым (черт. 23).
Требуется доказать, что ACB прямая линия.
Доказательство . Допустим, что ACB есть ломаная линия и что продолжение линии AC будет линия CE, тогда
Две величины равные одной и той же третьей равны (аксиома 3), следовательно
ACD + DCB = ACD + DCE
откуда выходит при сокращении
заключение нелепое (часть равна целому, см. акс. 1), следовательно линия ACB есть прямая линия (что и требовалось доказать).
Теорема 7 . Сумма углов, имеющих вершину в одной точке и расположенных по одну сторону прямой линии, равна двум прямым.
Даны углы ACD, DCE, ECF, FCG, GCB, имеющие общую вершину в точке C и расположенные по одну сторону прямой AB (черт. 24).
Требуется доказать, что
ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d.
Доказательство . МЫ знаем, что сумма двух смежных углов ACF и FCB равна двум прямым (т. 5).
Так как ACF = ACD + DCE + ECF и FCB = FCG + GCB, то заменяя углы ACF и FCB их величинами, находим:
ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d (что и требовалось доказать).
Теорема 8 . Сумма всех углов, расположенных вокруг одной точки, равна четырем прямым.
Даны углы AOB, BOC, COD, DOE, EOA, имеющие общую вершину O и расположенные вокруг точки O (черт. 25).
Требуется доказать, что
AOB + BOC + COD + DOE + EOA = 4d.
Доказательство . Продолжим сторону EO по направлению OG (чер. 25), тогда
Точно также
GOB + BOC + COD + DOE = 2d.
Сложив эти равенства, имеем:
EOA + AOG + GOB + BOC + COD + DOE = 4d.
Так как AOG + GOB = AOB, то
EOA + AOB + BOC + COD + DOE = 4d (ЧТД).
Угол ACB с углом DCE и угол BCD с углом ACE называются вертикальными (чер. 26).
Вертикальные углы . Вертикальными называются такие углы, у которых стороны одного составлены из продолжения сторон другого угла.
Теорема 9 . Вертикальные углы равны между собой.
Даны вертикальные углы (чер. 26) ACB и DCE, точно также BCD и ACE.
Требуется доказать, что ACB = DCE и BCD = ACE.
Доказательство . На основании теоремы 5 имеют место равенства:
ACB + BCD = 2d (как сумма двух смежных углов)
BCD + DCE = 2d
следовательно,
ACB + BCD = BCD + DCE
откуда, отняв по равному углу BCD, находим
Подобным же образом доказывают, что
∠BCD = ∠ACE.
Равносекущая (биссектриса ) есть линия, делящая угол пополам.
На чертеже 27 BD есть биссектриса, если ∠ABD = ∠DBC.
Теорема 10 .
Даны смежные углы ACB и BCD (чер. 28). Их биссектрисы линии CF и CE делят смежные углы BCD и BCA пополам, следовательно BCF = FCD, ACE = ECB.
Требуется доказать, что EC ⊥ CF.
Доказательство . По условию
ECB = ½ ACB, BCF = ½ BCD
Сложив эти равенства, имеем:
ECB + BCF = ½ ACB + ½ BCD = ½ (ACB + BCD).
Так как ACB + BCD = 2d, то
ECB + BCF = ½ · 2d = d.
Так как ECB + BCF = ECF, то
Угол ECF прямой, т. е. линии CE и CF взаимно перпендикулярны (ЧТД).
- (лат. solutio triangulorum) исторический термин, означающий решение главной тригонометрической задачи: по известным данным о треугольнике (стороны, углы и т. д.) найти остальные его характеристики. Треугольник может располагаться на… … Википедия
- (мат.). Если из точки О на данной плоскости проведем прямые ОА и 0В, то получим угол АОВ (черт. 1). Черт. 1. Точка 0 наз. вершиною угла, а прямые ОА и 0В сторонами угла. Предположим, что даны два угла ΒΟΑ и Β 1 Ο 1 Α 1. Наложим их так, чтобы… …
- (мат.). Если из точки О на данной плоскости проведем прямые ОА и 0В, то получим угол АОВ (черт. 1). Черт. 1. Точка 0 наз. вершиною угла, а прямые ОА и 0В сторонами угла. Предположим, что даны два угла ΒΟΑ и Β1Ο1Α1. Наложим их так, чтобы вершины О … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
- (тригонометрическая съемка), в навигации и топографической съемке метод определения расстояния. Площадь съемки делится на треугольники. Затем ТЕОДОЛИТОМ измеряют основание треугольника и прилежащие углы. Расстояния от концов основания до… … Научно-технический энциклопедический словарь
Угол - Углы: 1 общего вида; 2 смежные; 3 прилежащие; 4 вертикальные; 5 развернутый; 6 прямой, острый и тупой; 7 между кривыми; 8 между прямой и плоскостью; 9 между скрещивающимися прямыми (не лежащими в одной плоскостью) прямыми. УГОЛ, геометрическая… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
Прибор, служащий для определения расстояния без непосредственного его измерения. Д. употребляются как в геодезии на съемках для ускорения работы в тех случаях, когда расстояние не требуется знать весьма точно, так и в военном деле при стрельбе,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… … Энциклопедия Кольера
- (др. греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος параллельный и γραμμή линия) это четырёхуго … Википедия
I Матка Матка (uterus, metra) непарный мышечный полый орган, в котором происходят имплантация и развитие зародыша; расположен в полости малого таза женщины. Органогенез Развитие М. во внутриутробном периоде начинается при длине плода около 65 мм … Медицинская энциклопедия
КРОВЕНОСНЫЕ СОСУДЫ - КРОВЕНОСНЫЕ СОСУДЫ. Содержание: I. Эмбриология................. 389 П. Общий анатомический очерк......... 397 Артериальная система........... 397 Венозная система...... ....... 406 Таблица артерий............. 411 Таблица вен................… …
ЛЕГКИЕ - ЛЕГКИЕ. Легкие (лат. pulmones, греч. pleumon, pneumon), орган воздушного наземного дыхания (см.) позвоночных. I. Сравнительная анатомия. Легкие позвоночных имеются в качестве добавочных органов воздушного дыхания уже у нек рых рыб (у двудышащих,… … Большая медицинская энциклопедия
В математических выражениях углы часто обозначают строчными греческими буквами: α, β, γ, θ, φ и др. Как правило, данные обозначения также наносятся на чертёж для устранения неоднозначности в выборе внутренней области угла. Чтобы избежать путаницы с числом пи , символ π , как правило, для этой цели не используется. Для обозначения телесных углов (см. ниже) часто применяют буквы ω и Ω .
Также часто угол обозначают тремя символами точек, например ∠ A B C . {\displaystyle \angle ABC.} В такой записи B {\displaystyle B} - вершина, а A {\displaystyle A} и C {\displaystyle C} - точки, лежащие на разных сторонах угла. В связи с выбором в математике направления отсчёта углов против часовой стрелки, точки, лежащие на сторонах в обозначении угла принято перечислять также против часовой стрелки. Это соглашение позволяет обеспечить однозначность при различении двух плоских углов с общими сторонами, но различными внутренними областями. В тех случаях, когда выбор внутренней области плоского угла ясен из контекста, либо указывается другим способом, данное соглашение может нарушаться. См. .
Реже используются обозначения прямых, образующих стороны угла. Например, ∠ (b c) {\displaystyle \angle (bc)} - здесь предполагается, что имеется в виду внутренний угол треугольника ∠ B A C {\displaystyle \angle BAC} , α , который надо было бы обозначить ∠ (c b) {\displaystyle \angle (cb)} .
Так, для рисунка справа записи γ , ∠ A C B {\displaystyle \angle ACB} и ∠ (b a) {\displaystyle \angle (ba)} означают один и тот же угол.
Иногда для обозначения углов используются строчные латинские буквы (a, b, c, …) и цифры.
На чертежах углы отмечаются небольшими одинарными, двойными или тройными дужками, проходящими по внутренней области угла с центрами в вершине угла. Равенство углов может отмечаться одинаковой кратностью дужек или одинаковым количеством поперечных штрихов на дужке. Если необходимо указать направление отсчёта угла, оно отмечается стрелкой на дужке. Прямые углы отмечаются не дужками, а двумя соединёнными равными отрезками, расположенными таким образом, что вместе со сторонами они образуют небольшой квадрат, одна из вершин которого совпадает с вершиной угла.
Угловая мера
Измерение углов в градусной мере восходит к Древнему Вавилону , где использовалась шестидесятеричная система счисления , следы которой сохранились у нас в делении времени и углов.
1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам .
В морской терминологии углы измеряются в румбах . 1 румб равен 1 ⁄ 32 от полной окружности (360 градусов) компаса, то есть 11,25 градуса, или 11°15′.
В некоторых контекстах, таких как идентификация точки в полярных координатах или описание ориентации объекта в двух измерениях относительно его базовой ориентации, углы, отличающиеся на целое число полных оборотов, фактически являются эквивалентными. Например, в таких случаях можно считать эквивалентными углы 15° и 360015° (= 15° + 360°×1000) . В других контекстах, таких как идентификация точки на спиральной кривой или описание совокупного вращения объекта в двух измерениях относительно его начальной ориентации, углы, отличающиеся на ненулевое целое число полных оборотов, не эквивалентны.
Некоторые плоские углы имеют специальные названия. Кроме вышеназванных единиц измерения (радиан, румб, градус и тому подобное), к ним относятся:
- квадрант (прямой угол, 1 ⁄ 4 окружности);
- секстант ( 1 ⁄ 6 окружности);
- октант ( 1 ⁄ 8 окружности; кроме того, в стереометрии октантом называется трёхгранный угол, образованный тремя взаимно перпендикулярными плоскостями),
Направление отсчёта углов
Стрелкой показано направление отсчёта углов
Телесный угол
Обобщением плоского угла на стереометрию является телесный угол - часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол).
Телесные углы измеряются в стерадианах (одна из основных единиц СИ), а также во внесистемных единицах - в частях полной сферы (то есть полного телесного угла, составляющего 4π стерадиан), в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах.
Телесными углами являются, в частности, следующие геометрические тела:
- двугранный угол - часть пространства, ограниченная двумя пересекающимися плоскостями;
- трёхгранный угол - часть пространства, ограниченная тремя пересекающимися плоскостями;
- многогранный угол - часть пространства, ограниченная несколькими плоскостями, пересекающимися в одной точке.
Двугранный угол может характеризоваться как линейным углом (углом между образующими его плоскостями), так и телесным углом (в качестве вершины может быть выбрана любая точка на его ребре - прямой пересечения его граней). Если линейный угол двугранного угла (в радианах) равен φ , то его телесный угол (в стерадианах) равен 2φ .
Угол между кривыми
Как в планиметрии, так и в стереометрии, а также в ряде других геометрий можно определить угол между гладкими кривыми в точке пересечения: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым в точке пересечения.
Угол и скалярное произведение
Понятие угла можно определить для линейных пространств произвольной природы (и произвольной, в том числе бесконечной размерности), на которых аксиоматически введено положительно определённое скалярное произведение (x , y) {\displaystyle (x,y)} между двумя элементами пространства x {\displaystyle x} и y . {\displaystyle y.} Скалярное произведение позволяет определить также и так называемую норму (длину) элемента как квадратный корень произведения элемента на себя | | x | | = (x , x) . {\displaystyle ||x||={\sqrt {(x,x)}}.} Из аксиом скалярного произведения следует неравенство Коши - Буняковского (Коши - Шварца) для скалярного произведения: | (x , y) | ⩽ | | x | | ⋅ | | y | | , {\displaystyle |(x,y)|\leqslant ||x||\cdot ||y||,} откуда следует, что величина принимает значения от −1 до 1, причём крайние значения достигаются тогда и только тогда , когда элементы пропорциональны (коллинеарны) друг другу (говоря геометрически - их направления совпадают или противоположны). Это позволяет интерпретировать отношение (x , y) | | x | | ⋅ | | y | | {\displaystyle {\frac {(x,y)}{||x||\cdot ||y||}}} как косинус угла между элементами x {\displaystyle x} и y . {\displaystyle y.} В частности, элементы называют ортогональными , если скалярное произведение (или косинус угла) равно нулю.
В частности, можно ввести понятие угла между непрерывными на некотором интервале [ a , b ] {\displaystyle } функциями, если ввести стандартное скалярное произведение (f , g) = ∫ a b f (x) g (x) d x , {\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx,} тогда нормы функций определяются как | | f | | 2 = ∫ a b f 2 (x) d x . {\displaystyle ||f||^{2}=\int _{a}^{b}f^{2}(x)dx.} Тогда косинус угла определяется стандартным образом как отношение скалярного произведения функций к их нормам. Функции также можно назвать ортогональными , если их скалярное произведение (интеграл их произведения) равно нулю.
В римановой геометрии можно аналогично определить угол между касательными векторами с помощью метрического тензора g i j . {\displaystyle g_{ij}.} Скалярное произведение касательных векторов u {\displaystyle u} и v {\displaystyle v} в тензорной записи будет иметь вид: (u , v) = g i j u i v j , {\displaystyle (u,v)=g_{ij}u^{i}v^{j},} соответственно нормы векторов - | | u | | = | g i j u i u j | {\displaystyle ||u||={\sqrt {|g_{ij}u^{i}u^{j}|}}} и | | v | | = | g i j v i v j | . {\displaystyle ||v||={\sqrt {|g_{ij}v^{i}v^{j}|}}.} Поэтому косинус угла будет определяться по стандартной формуле отношения указанного скалярного произведения к нормам векторов: cos θ = (u , v) | | u | | ⋅ | | v | | = g i j u i v j | g i j u i u j | ⋅ | g i j v i v j | . {\displaystyle \cos \theta ={\frac {(u,v)}{||u||\cdot ||v||}}={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {|g_{ij}u^{i}u^{j}|\cdot |g_{ij}v^{i}v^{j}|}}}.}
Угол в метрическом пространстве
Также существует ряд работ, в которых вводится понятие угла между элементами метрического пространства.
Пусть (X , ρ) {\displaystyle (X,\rho)} - метрическое пространство . Пусть далее, x , y , z {\displaystyle x,y,z} - элементы этого пространства.
К. Менгер ввёл понятие угла между вершинами y {\displaystyle y} и z {\displaystyle z} с вершиной в точке x {\displaystyle x} как неотрицательное число y x z ^ {\displaystyle {\widehat {yxz}}} , которое удовлетворяет трём аксиомам:
В 1932 году Вильсон рассмотрел в качестве угла следующее выражение:
Y x z ^ w = arccos ρ 2 (x , y) + ρ 2 (x , z) − ρ 2 (y , z) 2 ρ (x , y) ρ (x , z) {\displaystyle {\widehat {yxz}}_{w}=\arccos {\frac {\rho ^{2}(x,y)+\rho ^{2}(x,z)-\rho ^{2}(y,z)}{2\rho (x,y)\rho (x,z)}}}
Нетрудно видеть, что введённое выражение всегда имеет смысл и удовлетворяет трём аксиомам Менгера.
Кроме того, угол Вильсона обладает тем свойством, что в евклидовом пространстве он эквивалентен углу между элементами y − x {\displaystyle y-x} и z − x {\displaystyle z-x} в смысле евклидова пространства.
Измерение углов
Одним из самых распространённых инструментов для построения и измерения углов является транспортир (а также линейка - см. ниже); как правило, он используется для построения угла определённой величины. Для более или менее точного измерения углов разработано много инструментов:
- гониометр - прибор для лабораторного измерения углов;
«Определение параллельных прямых» - Самостоятельная работа. Задачи. Точка. Урок геометрии. Признаки параллельности прямых. Сумма односторонних углов. Совершенствование навыков доказательства теорем. Параллельные отрезки. Выберите рисунки с пересекающимися прямыми. Решение задач. Рисунки, на которых приведены параллельные лучи. Теорема. Углы. Секущая. Номера рисунков. Определение параллельных прямых.
«Проект «Треугольник»» - Планируемые результаты обучения. Материалы для дифференцированного обучения. Материалы на печатной основе. Программное обеспечение. Методические задачи. Зачем нужно изучать свойства треугольников. Выявление интересов и опыта самих учащихся. Сведения о проекте. Сбор и систематизация информации по теме. Краткое содержание проекта. График оценивания. Какой треугольник можно считать основным. Учебные мероприятия.
««Задачи по геометрии» 7 класс» - Углы. OE – биссектриса. Отрезок АС. AOB = 45. BOC = 23. Начальные геометрические сведения. EDK = 36. Отрезок FD. ABD = 100. Измерение углов. Отрезок AB. OC – биссектриса. Измерение отрезков. ABC = 72. Отрезок MP. Отрезок KE. OD – биссектриса. AOB = 55. Вертикальные углы. Отрезок АD. Отрезок DF. Смежные углы. Отрезок KN.
«Задачи на неравенство треугольника» - Неравенство треугольника. Диагональ. Длина любой стороны треугольника. Противоречие. Отрезок. Четырехугольник. Треугольник. Следствия из неравенства треугольника. Точки внутри четырехугольника. В четырехугольнике любая сторона меньше суммы остальных. Стороны треугольника. Целое число.
«Задачи на готовых чертежах» - Биссектриса. Условия. Угол ВАС. Доказать: FВ ll АС. Задачи на готовых чертежах. Найти: FM. Признаки параллельных прямых. Доказать: a ll b. Найти. Доказать: АB ll DF. Доказать: АК-биссектриса. Найти параллельные прямые. Доказать: АС ll ВD. Cf-биссектриса. Укажите параллельные прямые. Найти условия, при которых AB ll DC. Прямые. Секущая. Доказать:AB ll CD. Доказать: AВ ll CD. Задача. Параллельные прямые.
«Геометрия «Задачи на построение»» - Построение угла. Деление отрезка пополам. Построение угла, равного данному. Задачи на построение. Линейка и циркуль. Построение. Построение перпендикулярной прямой. Искомая прямая. Построение треугольника. Построение биссектрисы угла.
Каждый угол, в зависимости от его величины, имеет своё название:
| Вид угла | Размер в градусах | Пример |
|---|---|---|
| Острый | Меньше 90° | |
| Прямой | Равен 90°. На чертеже прямой угол, обычно обозначают символом , проведённым от одной стороны угла до другой. |
 |
| Тупой | Больше 90°, но меньше 180° |  |
| Развёрнутый | Равен 180° Развёрнутый угол равен сумме двух прямых углов, а прямой угол составляет половину развёрнутого угла. |
 |
| Выпуклый | Больше 180°, но меньше 360° |  |
| Полный | Равен 360° |  |
Два угла называются смежными , если у них одна сторона общая, а две другие стороны составляют прямую линию:
Углы MOP и PON смежные, так как луч OP - общая сторона, а две другие стороны - OM и ON составляют прямую.
Общая сторона смежных углов называется наклонной к прямой , на которой лежат две другие стороны, только в том случае, когда смежные углы не равны между собой. Если смежные углы равны, то их общая сторона будет перпендикуляром .
Сумма смежных углов равна 180°.
Два угла называются вертикальными , если стороны одного угла дополняют до прямых линий стороны другого угла:
Углы 1 и 3, а также углы 2 и 4 - вертикальные.
Вертикальные углы равны.
Докажем, что вертикальные углы равны:
Сумма ∠1 и ∠2 составляет развёрнутый угол. И сумма ∠3 и ∠2 составляет развёрнутый угол. Значит, эти две суммы равны:
∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.
В этом равенстве слева и справа есть по одинаковому слагаемому - ∠2. Равенство не нарушится, если это слагаемое в левой и в правой части опустить. Тогда мы получаем.