На этом уроке мы рассмотрим задачи на построение геометрических объектов с помощью циркуля и линейки.

Для решения разных практических задач люди придумали множество инструментов.

Чтобы измерить длину отрезка или нарисовать отрезок заданной длины, мы используем линейку. Для решения аналогичной задачи для углов есть транспортир.

Доказывая теоремы и решая задачи, мы до сих пор не обращали внимания на такие вещи, как: «проведем (построим) медиану треугольника…».

Медиана - отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Где вершина, понятно. А где середина противоположной стороны? Если у нас есть под рукой линейка, то решить эту задачу точно не составит труда: измерили длину стороны, разделили на 2, нашли середину. С транспортиром таким же способом несложно построить биссектрису угла.
Но что, если инструментов под рукой нет? Скажем, есть только веревка. Что мы можем сделать с ее помощью? Провести линию (если натянуть, то прямую) и отмерить с ее помощью отрезок, равный данному, можем даже нарисовать окружность (см. рис. 1). Эти операции вместо веревки мы могли бы делать с помощью линейки (без делений) и циркуля.

Рис. 1. С помощью веревки можно нарисовать окружность

В геометрии говорят о задачах на построение с помощью циркуля и линейки. Есть задачи, которые можно решить с этими двумя инструментами, а есть те, которые нельзя. Об этом мы и поговорим на сегодняшнем уроке.

Но прежде попробуем ответить на вопрос: почему именно циркуль и линейка без делений? Почему нельзя было выбрать линейку с делениями, транспортир или какие-то другие инструменты? И зачем вообще нужно уметь решать такие задачи (можем открыть страшную тайну: даже студенты математических факультетов и профессиональные математики не изучают и не решают такие задачи по окончании школы).

Одно соображение мы уже озвучили: все, что можно сделать с циркулем и линейкой (по умолчанию в этом уроке мы будем подразумевать, что имеется в виду линейка без делений), можно сделать и с помощью обычной веревки. И в каких-то ситуациях (например, разметить участок) эти умения могут пригодиться.

Но более важный аргумент - это пример задач, которые решаются с использованием минимального возможного ресурса. В жизни мы часто сталкиваемся с такими задачами: построить двигатель, чтобы за 100 литров бензина проехать максимальное расстояние, или потратить наименьшее возможное время на выполнение домашнего задания, но получить при этом за него не меньше 4, и т. д. Т. е. мы часто решаем задачи на оптимизацию в условиях ограниченного ресурса. В задачах на построение ограничены инструменты, которыми мы можем пользоваться.

Зачем учиться решать задачи на построение?

Некоторым могут показаться неубедительными приведенные аргументы. В необходимости изучения этой темы действительно есть большие сомнения. Но все же приведем еще некоторые соображения, которые могут помочь ответить на сформулированные вопросы.

Математика работает с абсолютно точными моделями (идеальной окружности в жизни не существует, но математика занимается изучением свойств именно такой окружности, чтобы можно было применить их для описания реально существующих окружностей, близких к идеальной).

Любое измерение (с помощью линейки, транспортира и другого прибора) будет содержать неточность (мы округляем с точностью, которая определяется целью измерения). Поэтому с точки зрения математики решение задачи - разделить отрезок на две части, измерив его линейкой, не является корректным.

В математике отрезок длиной 1 должен делиться на два отрезка длиной по 0,5. Но если мы начнем измерять длину этого отрезка с помощью линейки, она не может в точности равняться 1. А длины половин будут отличаться от 0,5. Поэтому для того, чтобы работать с идеальными абстрактными объектами, нужно использовать абстрактные идеальные инструменты, которыми являются линейка без делений и циркуль.

Но это объяснение того, почему задачи на построение изучаются в математике. А вот зачем они нужны школьникам? Кажется, что самый честный ответ - для тренировки. По большому счету, все такие задачи имеют эквивалентную формулировку: есть две операции; как с их помощью из заданного объекта получить требуемый объект ?

Для некоторых людей решение таких задач представляется увлекательным (Гаусс так гордился тем, что смог построить правильный 17-угольник с помощью циркуля и линейки, что завещал выгравировать его на своем памятнике, хотя, пожалуй, это наименее полезное его математическое открытие с практической точки зрения). Но это уже не совсем математика, а, скорее, интеллектуальная игра. Такая же, как составление слов из наборов букв, решение кроссвордов и т. д.

Поэтому данный урок будет полезен для тех, кто получает удовольствие от решения математических задач, а остальным стоит просто ознакомиться с идеей и принципом решения задач на построение, чтобы иметь общее представление о таком математическом инструменте.

Итак, в геометрии классическими инструментами для построения считаются циркуль и линейка. Линейка имеет бесконечную длину. Это значит, что если для решения некоторой задачи нам не хватает длины линейки, у нас есть линейка длиннее, которой будет достаточно. Т. е. длина линейки никогда не окажется для нас проблемой.

Точно так же проблемой не будет расстояние между ножками циркуля - их мы можем раздвинуть на любое расстояние (не хватило - берем циркуль побольше). То же самое - бумага. Сами можете объяснить, что значит бесконечный лист бумаги, бесконечная плоскость.

Функции циркуля

1. Мы можем измерить им любой данный отрезок и отложить такой же от точки на прямой в любую сторону, полученный отрезок будет равным первому (см. рис. 2).
2. Мы можем провести окружность с центром в любой данной точке и радиусом, равным любому данному отрезку (см. рис. 3).

Рис. 2. При помощи циркуля можно измерить любой данный отрезок и отложить такой же от точки на прямой в любую сторону

Рис. 3. При помощи циркуля можно провести окружность с центром в любой данной точке и радиусом, равным любому данному отрезку

Функция линейки : мы прикладываем линейку к двум данным точкам и проводим прямую, которая через них проходит. Также мы можем провести отрезок или луч. Напомним, что в данном случае речь идет о линейке без отметок (см. рис. 4).

Рис. 4. При помощи линейки можно провести прямую, проходящую через две данные точки

Базовые построения , которые не вызывают затруднений, но нужны постоянно:

1. Провести прямую через две данные точки.
2. Провести окружность данного радиуса с центром в данной точке.
3. Отложить на прямой от данной точки отрезок, равный данному.

Переходим к более интересным построениям. Уже упомянутая сегодня задача - нахождение середины отрезка. Или, что то же самое, деление отрезка пополам .

Итак, пусть дан отрезок . Нам нужно получить точку, которая является его серединой (см. рис. 5). Точку в задачах на построение мы обычно будем получать как пересечение прямых, окружностей или прямой с окружностью.

Рис. 5. Точка, которая является серединой отрезка

Задача 1. Построить медиану (найти середину отрезка).

Решение

Предположим, что мы хотим найти точку (середину ) как пересечение двух прямых и (см. рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 1

Мы знаем, что при пересечении двух прямых образуются две пары углов. Но у нас нет никаких дополнительных условий - только отрезок, у которого мы ищем середину. Поэтому будет странно ожидать, что прямая будет наклонена влево или вправо (см. рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 1

Рассмотрим предельный случай, когда прямая перпендикулярна отрезку (см. рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 1

Тогда мы знаем, что - это серединный перпендикуляр к отрезку . И он обладает важным свойством: все его точки равноудалены от концов отрезка (см. рис. 9). Этот факт мы и будет использовать при построении.

Рис. 9. Иллюстрация к задаче 1

Чтобы построить прямую, нужно найти две ее точки (можно больше, меньше - нельзя). А любая точка серединного перпендикуляра , как мы только что выяснили, равноудалена от и . Построим две такие равноудаленные точки (см. рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к задаче 1

Проведем две окружности одного радиуса с центрами в точках и . Радиусы надо взять достаточно большие, чтобы окружности пересеклись (см. рис. 11) (несложно получить, что радиус должен быть больше половины длины отрезка; чтобы это условие было точно выполнено, можно рисовать окружности с радиусом, который равен длине отрезка).

Рис. 11. Иллюстрация к задаче 1

Точки пересечения принадлежит обеим окружностям, т. е. удалены от и на расстояния, равные радиусам окружностей. Но их радиусы равны.

Значит, точки и равноудалены от и (см. рис. 12). Значит, они принадлежат серединному перпендикуляру. Осталось их соединить и найти точку пересечения и . Это точка - искомая (см. рис. 13).

Рис. 12. Иллюстрация к задаче 1

Рис. 13. Иллюстрация к задаче 1

Задача решена.

Задача 2. Провести перпендикуляр к прямой в данной точке

Решение

Пусть на прямой отмечена точка (см. рис. 14). Нужно провести перпендикуляр в этой точке к данной прямой. Или, как говорят, «восстановить» перпендикуляр к прямой в данной точке.

Рис. 14. Иллюстрация к задаче 2

Сведем задачу к предыдущей - мы уже умеем строить перпендикуляр к середине отрезка. Значит, нужно построить на этой прямой отрезок, для которого точка будет серединой.

Проводим окружность произвольного радиуса с центром в . Получим две точки пересечения окружности и прямой - и (см. рис. 15).

Рис. 15. Иллюстрация к задаче 2

Теперь задача свелась к эквивалентной - построить серединный перпендикуляр к отрезку . Эту задачу мы уже умеем решать, значит, исходная задача решена.

Задача решена.

Итак, мы умеем строить медиану (находить середину отрезка) и восстанавливать перпендикуляр к прямой в данной точке. А как построить высоту или, что то же самое, опустить перпендикуляр на прямую из точки, которая ей не принадлежит?

Задача 3. Построить высоту(опустить перпендикуляр на прямую из точки, которая ей не принадлежит).

Решение

Снова воспользуемся известным нам инструментом - построением серединного перпендикуляра. Итак, пусть есть прямая и точка , не лежащая на ней (см. рис. 16). Надо из точки провести перпендикуляр к прямой .

Рис. 16. Иллюстрация к задаче 3

Проведем окружность с центром в точке и радиусом, достаточным, чтобы эта окружность пересекла прямую . Целиком окружность обычно в таких случаях не чертят, а только ее часть, дугу, чтобы получить точки пересечения. Получили точки и на прямой (см. рис. 17).

Рис. 17. Иллюстрация к задаче 3

Зачем они нам? Очевидно, равноудалена от обеих этих точек (расстояние равно радиусу окружности) (см. рис. 18).

Рис. 18. Иллюстрация к задаче 3

Но значит, лежит на серединном перпендикуляре отрезка . И снова получили эквивалентную формулировку задачи: построить серединный перпендикуляр к отрезку (он пройдет через точку , а т. к. из точки можно провести только один перпендикуляр к прямой, то он и будет искомым). А строить его мы умеем.

Можно использовать то, что точка лежит на серединном перпендикуляре, и строить окружности с тем же самым радиусом (см. рис. 19). А можно строить две окружности другого радиуса, не принципиально. Главное, что мы можем построить этот серединный перпендикуляр, он и будет искомым (см. рис. 20).

Рис. 19. Иллюстрация к задаче 3

Рис. 20. Иллюстрация к задаче 3

Задача решена.

Эти три задачи были очень похожи. В первой мы строили серединный перпендикуляр к уже имеющемуся отрезку. В двух других мы строили отрезок так, чтобы данная точка лежала на серединном перпендикуляре, а потом снова строили сам перпендикуляр. Обратите внимание, что мы научились строить серединный перпендикуляр, высоту и медиану. О построении четвертой замечательной линии в треугольнике, биссектрисе, поговорим позже.

Мы научились строить прямую, перпендикулярную данной. А можно ли с помощью циркуля и линейки построить прямую, параллельную данной?

Задача 4. Построить прямую, параллельную данной.

Решение

Пусть есть прямая и не лежащая на ней точка (см. рис. 21). Необходимо через точку провести прямую, параллельную прямой . Опять сведем задачу к предыдущим, воспользовавшись признаком параллельности прямых : если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны .

Рис. 21. Иллюстрация к задаче 4

Опустим перпендикуляр из точки на прямую (мы умеем это делать) (см. рис. 22), а затем через точку проведем еще один перпендикуляр к только что построенной прямой (тоже умеем) (см. рис. 23). В результате получим искомую прямую (проходит через и параллельна ).

Рис. 22. Иллюстрация к задаче 4

Рис. 23. Иллюстрация к задаче 4

То, что такая прямая может быть только одна, гарантирует нам пятый постулат Евклида : через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной .

Задача решена.

Теперь мы можем вернуться к задаче с делением отрезка. Мы уже умеем делить отрезок на две равные части. А на большее количество частей? Понятно, что на четыре части - это пополам, а потом каждую часть еще пополам. А если на 3 или 7?

Мы уже рассматривали эту задачу, когда изучали теорему Фалеса . Напомним ее формулировку : если параллельные прямые отсекают равные отрезки на одной стороне угла, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне . Эту теорему можно использовать для деления отрезка на любое количество равных частей.

Задача 5. Разделить отрезок на 7 равных частей.

Решение

Пусть нужно разделить отрезок на 7 равных частей. Для этого проведем из точки луч, не совпадающий с (см. рис. 24).

Рис. 24. Иллюстрация к задаче 5

Отметим на нем на равных расстояниях точки (см. рис. 25).

Рис. 25. Иллюстрация к задаче 5

Соединим и (см. рис. 26).

Рис. 26. Иллюстрация к задаче 5

Через оставшиеся 6 точек проведем прямые, которые параллельны (мы это только что научились делать). Т. к. на одной стороне угла отрезки равны, то, по теореме Фалеса, они равны и на другой стороне (см. рис. 27).

Рис. 27. Иллюстрация к задаче 5

Задача решена.

Итак, мы уже умеем:

1. строить серединный перпендикуляр к отрезку;
2. делить отрезок пополам с помощью серединного перпендикуляра;
3. делить отрезок на произвольное количество равных частей, используя теорему Фалеса;
4. строить перпендикуляр к прямой, проходящий через данную точку (причем точка может лежать как на прямой, так и вне ее);
5. строить параллельную прямую через точку, не лежащую на данной прямой.

Основные элементы многоугольников - отрезки и углы. С отрезками мы уже многому научились. Поговорим об углах.

Первая задача, которая у нас возникает, - построение угла, равного данному. Для отрезков аналогичная задача решалась непосредственно с помощью циркуля. С углами немного сложнее.

Задача 6. Отложить от луча угол, равный данному.

Решение

Обычно равный угол нам нужен не в произвольном месте, а в конкретном, т. е. уже известна одна из его сторон. В этом случае задачу формулируют так: отложить от луча угол, равный данному.

Итак, вот угол с вершиной (см. рис. 28). Лучи и являются его сторонами.

Рис. 28. Иллюстрация к задаче 6

Есть луч с вершиной (см. рис. 29). Нужно от этого луча отложить угол, равный первому углу.

Рис. 29. Иллюстрация к задаче 6

Равные углы мы обычно встречали при доказательстве равенства треугольников. Воспользуемся этой идеей «наоборот» - построим равные треугольники с углами в вершинах и и из их равенства докажем равенство углов.

Из точки проведем окружность произвольного радиуса. Получим точки на сторонах угла и треугольник (см. рис. 30).

Рис. 30. Иллюстрация к задаче 6

Построим треугольник, равный . Тем же самым радиусом проведем окружность из . Получим точку (см. рис. 31).

Рис. 31. Иллюстрация к задаче 6

В первом треугольнике «измерим» циркулем отрезок и этим радиусом проведем окружность из точки . Получим точку пересечения двух окружностей - (см. рис. 32).

Рис. 32. Иллюстрация к задаче 6

Сравним два полученных треугольника (см. рис. 33).

Рис. 33. Иллюстрация к задаче 6

(это все равные радиусы двух окружностей)

(точка лежит на окружности с радиусом равным )

Получается, треугольники равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников). Значит, равны и нужные нам углы.

Задача решена.

Почему получилось две точки ?

Если две окружности пересекаются, то в двух точках (см. рис. 34). Мы же выбрали для построения угла только одну. Чем нам не понравилась вторая?

Рис. 34. Две окружности пересекаются в точках и

Дело в том, что в условии не было сказано, в какую сторону от данного луча нужно откладывать равный угол (это можно сделать по часовой стрелке и против часовой стрелки). Соответственно, можно построить два угла, которые удовлетворяют данному условию (см. рис. 35). Мы произвольно выбрали один из них. Но второй ничем не хуже, можно было выбрать его (это зависит от дополнительных условий).

Рис. 35. Два равных угла, отложенных по часовой стрелке и против часовой стрелки от данного луча

Для того чтобы определить, сколько решений имеет задача на построение, обычно проводят этап исследования. Подробнее о нем мы поговорим в конце урока.

Задача построения медианы свелась к делению отрезка пополам. Чтобы построить биссектрису, нужно научиться делить угол пополам.

Задача 7. Построить биссектрису (разделить угол пополам).

Решение

Рассмотрим угол с вершиной в точке (см. рис. 36). Построим снова два равных треугольника, чтобы получить и равные углы.

Рис. 36. Иллюстрация к задаче 7

Произвольным радиусом проведем окружность с центром в точке . Получим на сторонах угла точки и , где (см. рис. 37).

Рис. 37. Иллюстрация к задаче 7

Из точек и проведем еще по окружности равного радиуса (можно того же самого, можно другого). Пересечение окружностей даст точку (см. рис. 38). Точек получится две, но можно выбрать любую; если вы проводили окружности того же радиуса, что и на первом шаге, то вторая точка совпадет с - выбора не будет.

Рис. 38. Иллюстрация к задаче 7

Получим, что . Соединим точки и (см. рис. 39).

Рис. 39. Иллюстрация к задаче 7

Два получившихся треугольника равны. Почему, ответьте сами. Ну а раз они равны, то равны и углы , - биссектриса.

Задача решена.

По аналогии с делением отрезка хочется сразу перейти к делению угла на произвольное равное количество частей. Опять же ясно, как разделить угол на , и т. д. частей. А можно ли разделить угол на три равные части с помощью циркуля и линейки? Подробнее об этом - ниже.

Деление угла на три части

Оказывается, уже деление угла в общем случае на три равные части нельзя выполнить с помощью только циркуля и линейки. Что значит «в общем случае»? Для некоторых частных случаев, например для прямого угла, задача решается: можно просто построить угол, равный (используя свойство прямоугольного треугольника - катет, который лежит против угла в в 2 раза меньше гипотенузы).

Но речь идет о произвольном угле (градусная мера которого нам заранее не известна). В этом случае задача не решается. Эта задача называется задачей трисекции угла . И она не единственная из задач на построение, которые нельзя решить с помощью циркуля и линейки (обратите внимание: разделить угол на три части вообще и в принципе несложно - достаточно взять транспортир).

Примером еще одной такой известной нерешаемой задачи является задача о квадратуре круга . В ней требуется построить квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга. Если мы возьмем круг радиуса 1, то задача сводится к построению квадрата со стороной, равной . Оказывается, что ее тоже нельзя решить с помощью циркуля и линейки.

Обратите внимание, что речь идет не о том, что на данный момент не придумали, как это сделать, а доказали, что этого сделать нельзя. Т. е. доказали, что, как бы ни пытались использовать циркуль и линейку, решить указанные задачи не получится.

Сейчас потренируйтесь самостоятельно. Постройте треугольник по трем сторонам. Вам даны три отрезка (см. рис. 40).

Рис. 40. Данные отрезки

Постройте треугольник, стороны которого равны этим трем отрезкам. С решением можно ознакомиться ниже.

Построение треугольника по трем сторонам

Задача. Построить треугольник по трем сторонам (см. рис. 41).

Рис. 41. Иллюстрация к задаче

Решение

Чтобы с чего-то начать, проведем произвольную прямую и на ней отложим первую сторону треугольника (см. рис. 42). Какую сторону брать первую, не имеет значения, пусть это будет сторона .

Рис. 42. Иллюстрация к задаче

Из концов отложенного отрезка проведем две окружности с радиусами и . Пересечение окружностей даст нам третью точку (см. рис. 43).

Рис. 43. Иллюстрация к задаче

Точек пересечения две - можно выбрать любую; постройте оба варианта треугольников и убедитесь, что это одинаковые треугольники, симметричные друг другу относительно прямой (см. рис. 44).

Рис. 44. Иллюстрация к задаче

Вершину напротив стороны а стандартно обозначают . Соединим с концами отрезка на прямой. Очевидно, что стороны полученного треугольника равны заданным трем отрезкам. Осталось обозначить две оставшиеся вершины. Напротив стороны вершина , напротив стороны вершина (см. рис. 45).

Как построить равнобедренный треугольник? Это легко сделать с помощью линейки, карандаша и клеточек тетради.

Построение равнобедренного треугольника начинаем с основания. Чтобы рисунок получился ровным, количество клеточек в основании должно быть четным числом.

Делим отрезок — основание треугольника — пополам.

Вершину треугольника можно выбрать на любой высоте от основания, но обязательно ровно над срединой.

Как построить остроугольный равнобедренный треугольник?

Углы при основании равнобедренного треугольника могут быть только острыми. Чтобы равнобедренный треугольник получился остроугольным, угол при вершине тоже должен быть острым.

Для этого вершину треугольника выбираем повыше, подальше от основания.

Чем выше вершина, тем меньше угол при вершине. Углы при основании при этом, соответственно, увеличиваются.

Как построить тупоугольный равнобедренный треугольник?

С приближением вершины равнобедренного треугольника к основанию градусная мера угла при вершине увеличивается.

Значит, чтобы построить равнобедренный тупоугольный треугольник, вершину выбираем пониже.

Как построить равнобедренный прямоугольный треугольник?

Чтобы построить равнобедренный прямоугольный треугольник, надо вершину выбрать на расстоянии, равном половине основания (это обусловлено свойствами равнобедренного прямоугольного треугольника).

Например, если длина основания — 6 клеточек, то вершину треугольника располагаем на высоте 3 клеточек над серединой основания. Обратите внимание: при этом каждая клеточка у углов при основании делится по диагонали.

Построение равнобедренного прямоугольного треугольника можно начать с вершины.

Выбираем вершину, от нее под прямым углом откладываем равные отрезки вверх и вправо. Это — боковые стороны треугольника.

Соединим их и получим равнобедренный прямоугольный треугольник.

Построение равнобедренного треугольника с помощью циркуля и линейки без делений рассмотрим в другой теме.

Как построить треугольник с помощью циркуля Циркуль – инструмент не только для построения окружности. Он позволяет также отложить равные отрезки заданной длины. Это и поможет нам с его помощью построить треугольник.

Вам понадобится: лист бумаги, циркуль, линейка. Инструкция. 1. возьмите любой листок бумаги. В центре листа поставьте точку. Это будет первая вершина A создаваемого треугольника. A

Инструкция 2. Раскройте циркуль на расстояние, соответствующее требуемой стороне создаваемого треугольника. Жестко зафиксируйте ножки циркуля в данном положении.

Инструкция 3. Поставьте иглу циркуля в отмеченную точку. Нарисуйте ножкой с грифелем дугу окружности отмеренного радиуса.

Инструкция 4. В любом месте по окружности нарисованной дуги поставьте точку. Это будет вторая вершина B создаваемого треугольника.

Инструкция 5. Аналогичным способом поставьте ножку на вторую вершину. Проведите еще одну окружность так, чтобы она пресекалась с первой.

Инструкция 6. В точке пересечения обоих проведенных дуг и находится третья вершина C создаваемого треугольника. Отметьте ее на рисунке.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №34 с углубленным изучением отдельных предметов

МАН, физико-математическая секция

«Геометрические построения с помощью циркуля и линейки»

Выполнила: ученица 7 «А» класса

Батищева Виктория

Руководитель: Колтовская В.В.

Воронеж, 2013

3. Построение угла равного данному.

Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла (рис.3). Пусть В и С - точки пересечения окружности со сторонами угла. Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О-начальной точке данной полупрямой. Точку пересечения этой окружности с данной полупрямой обозначим С 1 . Опишем окружность с центром С 1 и Рис.3

радиусом ВС. Точка В 1 пересечения построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла.

6. Построение перпендикулярных прямых.

Проводим окружность с произвольным радиусом r с центром в точке O рис.6. Окружность пересекает прямую в точках A и B. Из точек A и B проводим окружности с радиусом AB. Пусть тоска С – точка пересечения этих окружностей. Точки А и В мы получили на первом шаге, при построении окружности с произвольным радиусом.

Искомая прямая проходит через точки С и О.

Рис.6

Известные задачи

1. Задача Брахмагупты

Построить вписанный четырехугольник по четырем его сторонам. Одно из решений использует окружность Аполлония. Решим задачу Аполлония, используя аналогию между трехокружником и треугольником. Как мы находим окружность, вписанную в треугольник: строим точку пересечения биссектрис, опускаем из нее перпендикуляры на стороны треугольника, основания перпендикуляров (точки пересечения перпендикуляра со стороной, на которую он опущен) и дают нам три точки, лежащие на искомой окружности. Проводим окружность через эти три точки – решение готово. Точно также мы поступим с задачей Аполлония.

2. Задача Аполлония

Построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания», которая была потеряна, но была восстановлена в 1600 г. Франсуа Виетом, «галльским Аполлонием», как его называли современники.

Если ни одна из заданных окружностей не лежит внутри другой, то эта задача имеет 8 существенно различных решений.

Построение правильных многоугольников.

П

равильный (или равносторонний ) треугольник - это правильный многоугольник с тремя сторонами, первый из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, а все углы равны 60°. Чтобы построить равносторонний треугольник нужно разделить окружность на 3 равные части. Для этого необходимо провести дугу радиусом R этой окружности лишь из одного конца диаметра, получим первое и второе деление. Третье деление находится на противоположном конце диаметра. Соединив эти точки, получим равносторонний треугольник.

Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Ниже приведён метод построения через деление окружности на 6 частей. Используем равенство сторон правильного шестиугольника радиусу описанной окружности. Из противоположных концов одного из диаметров окружности описываем дуги радиусом R. Точки пересечения этих дуг с заданной окружностью разделят её на 6 равных частей. Последовательно соединив найденные точки, получают правильный шестиугольник.

Построение правильного пятиугольника.

П
равильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки, или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник и обозначьте её центр как O . (Это зелёная окружность на схеме справа).

Выберите на окружности точку A , которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A .

Постройте прямую перпендикулярно прямой OA , проходящую через точку O . Обозначьте одно её пересечение с окружностью, как точку B .

Постройте точку C посередине между O и B .

C через точку A . Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D .

Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F .

Проведите окружность с центром в E через точку A G .

Проведите окружность с центром в F через точку A . Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H .

Постройте правильный пятиугольник AEGHF .

Неразрешимые задачи

Следующие три задачи на построение были поставлены ещё в античности:

Трисекция угла - разбить произвольный угол на три равные части.

Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла - лучи, делящие угол на три равные части. П. Л. Ванцель доказал в 1837 году, что задача разрешима только тогда, когда например, трисекция осуществима для углов α = 360°/n при условии, что целое число n не делится на 3. Тем не менее, в прессе время от времени публикуются (неверные) способы осуществления трисекции угла циркулем и линейкой.

Удвоение куба - классическая античная задача на построение циркулем и линейкой ребра куба, объём которого вдвое больше объёма заданного куба.

В современных обозначениях, задача сводится к решению уравнения . Всё сводится к проблеме построения отрезка длиной . П. Ванцель доказал в 1837 году, что эта задача не может быть решена с помощью циркуля и линейки.

Квадратура круга - задача, заключающаяся в нахождении построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу .

Как известно, с помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня; отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины π. Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа π, которая была доказана в 1882 году Линдеманом.

Другая известная неразрешимая с помощью циркуля и линейки задача - построение треугольника по трём заданным длинам биссектрис .

Причём эта задача остаётся неразрешимой даже при наличии трисектора.

Только в XIX веке было доказано, что все три задачи неразрешимы при использовании только циркуля и линейки. Вопрос возможности построения полностью решён алгебраическими методами, основанными на теории Галуа.

А ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ, ЧТО...

(из истории геометрических построений)

Когда-то в построение правильных многоугольников вкладывали мистический смысл.

Так, пифагорейцы, последователи религиозно-философского учения, основанного Пифагором, и жившие в древней Греции (V I-I V вв. до н. э.), приняли в качестве знака своего союза звездчатый многоугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника.

Правила строгого геометрического построения некоторых правильных многоугольников изложены в книге «Начала» древнегреческого математика Евклида, жившего в III в. до н.э. Для выполнения этих построений Евклид предлагал пользоваться только линейкой и циркулем, который в то время был без шарнирного устройства соединения ножек (такое ограничение в инструментах было непреложным требованием античной математики).

Правильные многоугольники нашли широкое применение и в античной астрономии. Если Евклида построение этих фигур интересовало с точки зрения математики, то для древнегреческого астронома Клавдия Птолемея (около 90 - 160 г. н. э.) оно оказалось необходимым как вспомогательное средство при решении астрономических задач. Так, в 1-й книге «Альмагесты» вся десятая глава посвящена построению правильных пяти- и десятиугольников.

Однако помимо чисто научных трудов, построение правильных многоугольников было неотъемлемой частью книг для строителей, ремесленников, художников. Умение изображать эти фигуры издавна требовалось и в архитектуре, и в ювелирном деле, и в изобразительном искусстве.

В «Десяти книгах о зодчестве» римского архитектора Витрувия (жившего примерно в 63 -14 гг. до н. э.) говорится, что городские стены должны иметь в плане вид правильного многоугольника, а башни крепости «следует делать круглыми или многоугольными, ибо четырехугольник скорее разрушается осадными орудиями».

Планировка городов очень интересовала Витрувия, который считал, что нужно спланировать улицы так, чтобы вдоль них не дули основные ветры. Предполагалось, что таких ветров восемь и что они дуют в определенных направлениях.

В эпоху Возрождения построение правильных многоугольников, и в частности пятиугольника, представляло не простую математическую игру, а являлось необходимой предпосылкой для построения крепостей.

Правильный шестиугольник явился предметом специального исследования великого немецкого астронома и математика Иоганна Кеплера (1571-1630), о котором он рассказывает в своей книге «Новогодний подарок, или о шестиугольных снежинках». Рассуждал о причинах того, почему снежинки имеют шестиугольную форму, он отмечает, в частности, следующее: «...плоскость можно покрыть без зазоров лишь следующими фигурами: равносторонними треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками. Среди этих фигур правильный шестиугольник покрывает наибольшую площадь»

0дним из наиболее известных ученых, занимавшихся геометрическими построениями, был великий немецкий художник и математик Альбрехт Дюрер (1471 -1528), который посвятил им значительную часть своей книги «Руководства...». Он предложил правила построения правильных многоугольников с 3. 4, 5... 16-ю сторонами. Методы деления окружности, предложенные Дюрером, не универсальны, в каждом конкретном случае используется индивидуальный прием.

Дюрер применял методы построения правильных многоугольников в художественной практике, например, при создании разного рода орнаментов и узоров для паркета. Наброски таких узоров были сделаны им во время поездки в Нидерланды, где паркетные полы встречались во многих домах.

Дюрер составлял орнаменты из правильных многоугольников, которые соединены в кольца (кольца из шести равносторонних треугольников, четырех четырехугольников, трех или шести шестиугольников, четырнадцати семиугольников, четырех восьмиугольников).

Заключение

Итак, геометрические построения - это способ решения задачи, при котором ответ получают графическим путем. Построения выполняют чертежными инструментами при максимальной точности и аккуратности работы, так как от этого зависит правильность решения.

Благодаря этой работе я познакомилась с историей возникновения циркуля, подробнее познакомилась с правилами выполнения геометрических построений, получила новые знания и применила их на практике.
Решение задач на построение циркулем и линейкой – полезное времяпровождение, позволяющее по-новому посмотреть на известные свойства геометрических фигур и их элементов. В данной работе рассмотрены наиболее актуальные задачи, связанные с геометрическими построениями с помощью циркуля и линейки. Рассмотрены основные задачи и даны их решения. Приведенные задачи имеют значительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии и могут использоваться для практических работ.
Таким образом, цель работы достигнута, поставленные задачи выполнены.

1. Какая фигура называется треугольником?
2. Какие виды треугольников вы знаете?
3. В чем заключается неравенство треугольника?
4. Известны стороны равнобедренного треугольника
6 см и 8 см. Чему равна третья сторона треугольника?
5. Существуют ли треугольники со сторонами
10 см; 15 см; 30 см?
6. Существуют ли треугольники со сторонами
11 см; 5 см; 6 см?

Построение треугольника по трем
элементам сводится к решению трех
основных задач
1 задача - построение треугольника по двум
сторонам и углу между ними.
2 задача - построение треугольника по двум
углам и стороне между ними.
3 задача -построение треугольника по трем
сторонам.

Задача 1
Построение треугольника по двум сторонам и углу
между ними

Дано: отрезки
a
а
b
угол hp
b
h
p
Построить:
ABC по
двум сторонам и углу
между ними

Алгоритм построения
b
1. Проведем прямую d.
a
2. Отложим на ней с помощью
циркуля отрезок АВ, равный
M
отрезку a.
h
3. Построим угол ВАМ, равный
данному углу hp.
C
4. На луче АМ отложим отрезок
p
АС, равный отрезку b.
5. Проведём отрезок BC.
6. Построенный треугольник
АВС – искомый.
А
В
d

Задача 2
Построение треугольника по стороне и двум
прилежащим к ней углам

Дано: отрезок
a
h
p
m
n
а
угол hp
угол mn,
Построить:
ABC по
двум углам и стороне

Алгоритм построения
1. Проведем прямую d.
2. Отложим на ней с помощью
циркуля отрезок АВ, равный
отрезку a.
3. Построим угол ВАМ, равный
данному углу hp.
4. Построим угол АВК, равный
данному углу mn.
5. Точку пересечения
лучей АМ и ВК обозначим С
6. Построенный треугольник
d
АВС – искомый.
m
n
p
М
K
С
А
a
В

10.

Задача 3
Построение треугольника по трем сторонам

11.

Дано: отрезок а
отрезок b
отрезок c
a
b
с
Построить:
ABC по
трем сторонам

12.

Алгоритм построения
1. Проведем прямую а.
a
2. Отложим на ней с помощью
циркуля отрезок АВ, равный
отрезку а.
3. Построим окружность с
центром А и радиусом равным b.
4. Построим окружность с
центром В и радиусом равным c.
5. Одну из точек пересечения
этих окружностей обозначим
А
точкой С.
6. Проведём отрезки АС и ВС.
7. Построенный треугольник
АВС – искомый.
b
с
С
а
В

13.

Всегда ли, данная задача
будет иметь решение?
Задача 3 не всегда имеет
решение.
Если какой-нибудь из
отрезков больше или равен
сумме двух других отрезков,
то треугольник построить
будет не возможно.
b