نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی: روش حل. روش های حل سیستم معادلات جبری خطی نمونه ای از حل یک سیستم مشترک

حل سیستم های خطی معادلات جبرییکی از مشکلات اصلی جبر خطی است. این مسئله اهمیت کاربردی مهمی در حل مسائل علمی و فنی دارد و علاوه بر آن در اجرای بسیاری از الگوریتم‌ها در ریاضیات محاسباتی، فیزیک ریاضی و پردازش نتایج تحقیقات تجربی کمکی است.

سیستم معادلات جبری خطیسیستمی از معادلات به شکل: (1) نامیده می شود.

جایی که – ناشناخته؛ - اعضای رایگان

حل یک سیستم معادلات(1) هر مجموعه ای از اعداد را که در سیستم (1) به جای مجهولات قرار می گیرند، فراخوانی کنید تمام معادلات سیستم را به برابری های عددی صحیح تبدیل می کند.

سیستم معادلات نامیده می شود مفصل، اگر حداقل یک راه حل داشته باشد و غیر مشترک، اگر راه حلی نداشته باشد.

سیستم معادلات همزمان نامیده می شود مسلم - قطعی، اگر یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد، و نا معلوم، اگر حداقل دو راه حل متفاوت داشته باشد.

دو سیستم معادلات نامیده می شوند معادلیا معادل، اگر مجموعه راه حل های یکسانی داشته باشند.

سیستم (1) نامیده می شود همگن، اگر عبارات رایگان صفر باشد:

یک سیستم همگن همیشه سازگار است - راه حلی دارد (شاید نه تنها).

اگر در سیستم (1)، سیستم را داریم nمعادلات خطی با nناشناخته: جایی که – ناشناخته؛ - ضرایب برای مجهولات، - اعضای رایگان

یک سیستم خطی ممکن است یک راه حل واحد، بی نهایت راه حل یا اصلاً راه حل نداشته باشد.

سیستمی متشکل از دو معادله خطی با دو مجهول را در نظر بگیرید

اگر سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

اگر سپس سیستم هیچ راه حلی ندارد.

اگر سپس سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است.

مثال.این سیستم یک راه حل منحصر به فرد برای یک جفت اعداد دارد

این سیستم بی نهایت راه حل دارد. به عنوان مثال، راه حل های یک سیستم داده شده جفت اعداد و غیره هستند.

این سیستم هیچ راه حلی ندارد، زیرا اختلاف دو عدد نمی تواند دو مقدار متفاوت بگیرد.

تعریف. تعیین کننده مرتبه دومیک عبارت از فرم نامیده می شود:

.

تعیین کننده با نماد D مشخص می شود.

شماره آ 11, …, آ 22 را عناصر تعیین کننده می نامند.

مورب تشکیل شده توسط عناصر آ 11 ; آ 22 نامیده می شود اصلیمورب تشکیل شده توسط عناصر آ 12 ; آ 21 − سمت

بنابراین، دترمینان مرتبه دوم برابر است با تفاوت بین محصولات عناصر مورب اصلی و فرعی.

توجه داشته باشید که پاسخ یک عدد است.

مثال.بیایید عوامل تعیین کننده را محاسبه کنیم:

سیستمی متشکل از دو معادله خطی با دو مجهول را در نظر بگیرید: جایی که ایکس 1, ایکس 2 – ناشناخته؛ آ 11 , …, آ 22 - ضرایب برای مجهولات، ب 1 ، ب 2- اعضای رایگان

اگر سیستمی متشکل از دو معادله با دو مجهول یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد، آنگاه می توان آن را با استفاده از دترمینال های مرتبه دوم پیدا کرد.

تعریف.تعیین کننده ای که از ضرایب مجهول تشکیل شده است نامیده می شود تعیین کننده سیستم: D=.

ستون های تعیین کننده D به ترتیب حاوی ضرایب برای هستند ایکس 1 و در ، ایکس 2. بیایید دو مورد را معرفی کنیم واجد شرایط اضافی،که از تعیین کننده سیستم با جایگزینی یکی از ستون ها با ستونی از عبارات آزاد به دست می آیند: D 1 = D 2 = .

قضیه 14(کرامر، برای مورد n=2).اگر تعیین کننده D سیستم با صفر (D¹0) متفاوت است، سپس سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد که با استفاده از فرمول ها پیدا می شود:

این فرمول ها نامیده می شوند فرمول های کرامر

مثال.بیایید سیستم را با استفاده از قانون کرامر حل کنیم:

راه حل.بیایید اعداد را پیدا کنیم

پاسخ.

تعریف. تعیین کننده مرتبه سومیک عبارت از فرم نامیده می شود:

عناصر آ 11; آ 22 ; آ 33 - قطر اصلی را تشکیل دهید.

شماره آ 13; آ 22 ; آ 31 - یک مورب جانبی تشکیل دهید.

ورودی با یک مثبت شامل: حاصلضرب عناصر روی مورب اصلی، دو جمله باقیمانده حاصلضرب عناصری هستند که در راس مثلث‌هایی با پایه‌های موازی با قطر اصلی قرار دارند. شرایط منهای با توجه به مورب ثانویه طبق همان طرح تشکیل می شوند.

مثال.بیایید عوامل تعیین کننده را محاسبه کنیم:

جایی که – ناشناخته؛ - ضرایب برای مجهولات، - اعضای رایگان

در مورد یک راه حل منحصر به فرد، یک سیستم 3 معادله خطی با سه مجهول را می توان با استفاده از تعیین کننده های مرتبه 3 حل کرد.

تعیین کننده سیستم D به شکل زیر است:

اجازه دهید سه عامل دیگر را معرفی کنیم:

قضیه 15(کرامر، برای مورد n=3).اگر تعیین کننده D سیستم با صفر متفاوت است، سپس سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد که با استفاده از فرمول های کرامر پیدا می شود:

مثال.بیایید سیستم را حل کنیم طبق قانون کرامر

راه حل.بیایید اعداد را پیدا کنیم

بیایید از فرمول های کرامر استفاده کنیم و راه حل سیستم اصلی را پیدا کنیم:

پاسخ.

توجه داشته باشید که قضیه کرامر زمانی قابل اجرا است که تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات باشد و زمانی که تعیین کننده سیستم D غیر صفر باشد.

اگر تعیین کننده سیستم برابر با صفر باشد، در این صورت سیستم یا می تواند هیچ جوابی نداشته باشد یا بی نهایت جواب داشته باشد. این موارد به طور جداگانه بررسی می شوند.

فقط به یک مورد توجه کنیم. اگر تعیین کننده سیستم برابر با صفر باشد (D=0)، و حداقل یکی از تعیین کننده های اضافی با صفر متفاوت باشد، سیستم هیچ راه حلی ندارد، یعنی ناسازگار است.

قضیه کرامر را می توان به سیستم تعمیم داد nمعادلات خطی با nناشناخته: جایی که – ناشناخته؛ - ضرایب برای مجهولات، - اعضای رایگان

اگر تعیین کننده سیستم معادلات خطی با مجهولات سپس تنها راه حل سیستم با استفاده از فرمول های کرامر پیدا می شود:

صلاحیت اضافی اگر دارای ستونی از ضرایب مجهول باشد، از تعیین کننده D به دست می آید x iبا ستونی از اعضای رایگان جایگزین کنید.

توجه داشته باشید که تعیین کننده های D, D 1 , … , D nنظم داشته باشد n.

روش گاوس برای حل سیستم معادلات خطی

یکی از متداول ترین روش ها برای حل سیستم های معادلات جبری خطی، روش حذف متوالی مجهولات است. -روش گاوس. این روش تعمیم روش جایگزینی است و شامل حذف متوالی مجهولات است تا زمانی که یک معادله با یک مجهول باقی بماند.

این روش بر اساس برخی تبدیل‌های یک سیستم معادلات خطی است که منجر به سیستمی معادل سیستم اصلی می‌شود. الگوریتم روش شامل دو مرحله است.

مرحله اول نام دارد مستقیم به جلوروش گاوس این شامل حذف متوالی مجهولات از معادلات است. برای این کار در مرحله اول معادله اول سیستم را بر (در غیر این صورت معادلات سیستم را مجددا مرتب کنید) تقسیم کنید. آنها ضرایب معادله کاهش یافته حاصل را نشان می دهند، آن را در ضریب ضرب می کنند و از معادله دوم سیستم کم می کنند و در نتیجه آن را از معادله دوم حذف می کنند (ضریب را صفر می کنند).

همین کار را با معادلات باقیمانده انجام دهید و یک سیستم جدید به دست آورید که در تمام معادلات آن، با شروع از دومی، ضرایب برای فقط شامل صفر هستند. بدیهی است که سیستم جدید حاصله معادل سیستم اصلی خواهد بود.

اگر ضرایب جدید، برای، همگی برابر با صفر نباشند، می توان آنها را به همین ترتیب از معادلات سوم و بعدی حذف کرد. با ادامه این عملیات برای مجهولات بعدی، سیستم به اصطلاح آورده می شود نمای مثلثی:

در اینجا نمادها نشان دهنده ضرایب عددی و عبارت های آزاد هستند که در نتیجه تبدیل ها تغییر کرده اند.

از آخرین معادله سیستم، مجهولات باقی مانده به روشی منحصر به فرد و سپس با جایگزینی متوالی تعیین می شوند.

اظهار نظر.گاهی در اثر تبدیل، در هر یک از معادلات تمام ضرایب و سمت راست به صفر می رسد، یعنی معادله به هویت 0=0 تبدیل می شود. با حذف چنین معادله ای از سیستم، تعداد معادلات در مقایسه با تعداد مجهولات کاهش می یابد. چنین سیستمی نمی تواند یک راه حل واحد داشته باشد.

اگر در فرآیند اعمال روش گاوس، هر معادله ای به تساوی 0 = 1 تبدیل شود (ضرایب مجهولات به 0 تبدیل می شود و سمت راست مقدار غیر صفر به خود می گیرد) سیستم اصلی هیچ راه حلی ندارد، زیرا چنین برابری برای هر مقدار ناشناخته نادرست است.

سیستمی متشکل از سه معادله خطی با سه مجهول را در نظر بگیرید:

(2)

جایی که – ناشناخته؛ - ضرایب برای مجهولات، - اعضای رایگان

حل سیستم معادلات جبری خطی (SLAEs) بدون شک است مهمترین موضوعدرس جبر خطی تعداد زیادی از مسائل از همه شاخه های ریاضیات به حل سیستم های معادلات خطی منتهی می شود. این عوامل دلیل این مقاله را توضیح می دهند. مطالب مقاله به گونه ای انتخاب و ساختار بندی شده است که با کمک آن بتوانید

• روش بهینه را برای حل سیستم معادلات جبری خطی خود انتخاب کنید،
• مطالعه تئوری روش انتخاب شده،
• سیستم معادلات خطی خود را با در نظر گرفتن راه حل های دقیق برای مثال ها و مسائل معمولی حل کنید.

شرح مختصری از مطالب مقاله

اول بیایید همه چیز را بدهیم تعاریف لازم، مفاهیم و نمادها را معرفی کنید.

در ادامه روش‌هایی را برای حل سیستم‌های معادلات جبری خطی در نظر می‌گیریم که در آنها تعداد معادلات برابر با تعداد متغیرهای مجهول است و دارای راه‌حل منحصربه‌فرد هستند. اولاً روی روش کرامر تمرکز می‌کنیم، ثانیاً روش ماتریسی را برای حل چنین سیستم‌هایی از معادلات نشان می‌دهیم و ثالثاً روش گاوس (روش حذف متوالی متغیرهای مجهول) را تجزیه و تحلیل می‌کنیم. برای تثبیت نظریه، قطعاً چندین SLAE را به روش های مختلف حل خواهیم کرد.

پس از این به حل سیستم معادلات جبری خطی خواهیم پرداخت نمای کلی، که در آن تعداد معادلات با تعداد متغیرهای مجهول منطبق نیست یا ماتریس اصلی سیستم منفرد است. اجازه دهید قضیه کرونکر-کاپلی را فرموله کنیم، که به ما امکان می دهد سازگاری SLAE ها را تعیین کنیم. اجازه دهید راه حل سیستم ها را (در صورت سازگاری) با استفاده از مفهوم پایه ماتریس تحلیل کنیم. ما همچنین روش گاوس را در نظر خواهیم گرفت و راه حل های مثال ها را با جزئیات شرح خواهیم داد.

ما قطعاً به ساختار حل کلی سیستم های همگن و ناهمگن معادلات جبری خطی خواهیم پرداخت. اجازه دهید مفهوم یک سیستم اساسی از راه حل ها را ارائه دهیم و نشان دهیم که چگونه جواب کلی یک SLAE با استفاده از بردارهای سیستم اساسی راه حل ها نوشته می شود. برای درک بهتر، اجازه دهید به چند مثال نگاه کنیم.

در پایان، ما سیستم‌هایی از معادلات را در نظر خواهیم گرفت که می‌توان آنها را به خطی تقلیل داد، و همچنین مشکلات مختلفی را که در حل آنها SLAE ایجاد می‌شود، در نظر خواهیم گرفت.

پیمایش صفحه.

تعاریف، مفاهیم، ​​تعاریف.

ما سیستم هایی از معادلات جبری خطی p را با n متغیر مجهول (p می تواند برابر با n باشد) در نظر خواهیم گرفت.

متغیرهای ناشناخته، - ضرایب (برخی اعداد حقیقی یا مختلط)، - اصطلاحات آزاد (همچنین اعداد حقیقی یا مختلط).

این شکل از ثبت SLAE نامیده می شود هماهنگ كردن.

که در فرم ماتریسینوشتن این سیستم معادلات به شکل زیر است:
جایی که - ماتریس اصلی سیستم، - ماتریس ستونی از متغیرهای مجهول، - ماتریس ستونی از عبارت‌های آزاد.

اگر ماتریس-ستون از عبارت های آزاد را به عنوان ستون (n+1) به ماتریس A اضافه کنیم، به اصطلاح به ماتریس A اضافه می کنیم. ماتریس توسعه یافتهسیستم های معادلات خطی به طور معمول، یک ماتریس توسعه یافته با حرف T نشان داده می شود و ستون عبارت های آزاد با یک خط عمودی از ستون های باقی مانده جدا می شود، یعنی:

حل سیستم معادلات جبری خطیمجموعه ای از مقادیر متغیرهای مجهول نامیده می شود که تمام معادلات سیستم را به هویت تبدیل می کند. معادله ماتریسی برای مقادیر داده شده متغیرهای مجهول نیز به یک هویت تبدیل می شود.

اگر یک سیستم معادلات حداقل یک جواب داشته باشد، آن را نامیده می شود مفصل.

اگر سیستم معادلات هیچ جوابی نداشته باشد، آن را می نامند غیر مشترک.

اگر یک SLAE راه حل منحصر به فردی داشته باشد، آنگاه نامیده می شود مسلم - قطعی; اگر بیش از یک راه حل وجود دارد، پس - نا معلوم.

اگر عبارات آزاد تمام معادلات سیستم برابر با صفر باشد ، سپس سیستم فراخوانی می شود همگن، در غیر این صورت - ناهمگون.

حل سیستم های ابتدایی معادلات جبری خطی.

اگر تعداد معادلات یک سیستم برابر با تعداد متغیرهای مجهول باشد و تعیین کننده ماتریس اصلی آن برابر با صفر نباشد، این گونه SLAE ها نامیده می شوند. ابتدایی. چنین سیستم‌هایی از معادلات راه‌حل منحصربه‌فردی دارند، و در مورد سیستم همگنهمه متغیرهای مجهول صفر هستند.

ما مطالعه این گونه SLAE ها را در دبیرستان شروع کردیم. هنگام حل آنها، یک معادله را برداشتیم، یک متغیر مجهول را بر حسب بقیه بیان کردیم و آن را با معادلات باقیمانده جایگزین کردیم، سپس معادله بعدی را گرفتیم، متغیر مجهول بعدی را بیان کردیم و آن را با معادلات دیگر جایگزین کردیم و به همین ترتیب. یا از روش جمع استفاده کردند، یعنی دو یا چند معادله اضافه کردند تا برخی از متغیرهای مجهول را حذف کنند. ما در مورد این روش ها به طور مفصل صحبت نخواهیم کرد، زیرا آنها اساساً اصلاحات روش گاوس هستند.

روش های اصلی برای حل سیستم های ابتدایی معادلات خطی روش کرامر، روش ماتریسی و روش گاوس است. بیایید آنها را مرتب کنیم.

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش کرامر.

فرض کنید باید یک سیستم معادلات جبری خطی را حل کنیم

که در آن تعداد معادلات برابر با تعداد متغیرهای مجهول است و تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم با صفر، یعنی .

بگذارید تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم باشد، و - تعیین کننده های ماتریس هایی که با جایگزینی از A به دست می آیند 1، 2، ...، نهمستون به ترتیب به ستون اعضای آزاد:

با این نماد، متغیرهای ناشناخته با استفاده از فرمول های روش کرامر به عنوان محاسبه می شوند . به این صورت است که راه حل یک سیستم معادلات جبری خطی با استفاده از روش کرامر پیدا می شود.

مثال.

روش کرامر .

راه حل.

ماتریس اصلی سیستم دارای فرم است . بیایید تعیین کننده آن را محاسبه کنیم (در صورت لزوم، مقاله را ببینید):

از آنجایی که تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم غیر صفر است، سیستم راه حل منحصر به فردی دارد که می توان آن را با روش کرامر پیدا کرد.

بیایید تعیین کننده های لازم را بسازیم و محاسبه کنیم (با جایگزینی ستون اول در ماتریس A با ستونی از عبارت های آزاد، تعیین کننده را با جایگزینی ستون دوم با ستونی از عبارت های آزاد و با جایگزینی ستون سوم ماتریس A با ستونی از عبارت های آزاد، تعیین کننده را به دست می آوریم) :

یافتن متغیرهای ناشناخته با استفاده از فرمول :

پاسخ:

عیب اصلی روش کرامر (اگر بتوان آن را نقطه ضعف نامید) پیچیدگی محاسبه دترمیناتورها در زمانی است که تعداد معادلات در سیستم بیش از سه باشد.

حل سیستم معادلات جبری خطی با استفاده از روش ماتریس (با استفاده از ماتریس معکوس).

اجازه دهید یک سیستم معادلات جبری خطی به صورت ماتریسی داده شود، که در آن ماتریس A دارای بعد n در n و تعیین کننده آن غیر صفر است.

از آنجایی که ماتریس A معکوس است، یعنی یک ماتریس معکوس وجود دارد. اگر هر دو طرف تساوی را در سمت چپ ضرب کنیم، فرمولی برای یافتن یک ماتریس-ستون از متغیرهای مجهول به دست می آید. به این صورت است که با استفاده از روش ماتریسی، جوابی برای یک سیستم معادلات جبری خطی به دست آوردیم.

مثال.

حل سیستم معادلات خطی روش ماتریسی

راه حل.

بیایید سیستم معادلات را به صورت ماتریسی بازنویسی کنیم:

زیرا

سپس SLAE را می توان با استفاده از روش ماتریس حل کرد. با استفاده از ماتریس معکوس، راه حل این سیستم را می توان به صورت پیدا کرد .

بیایید با استفاده از یک ماتریس از جمع جبری عناصر ماتریس A یک ماتریس معکوس بسازیم (در صورت لزوم، مقاله را ببینید):

باقی مانده است که ماتریس متغیرهای مجهول را با ضرب ماتریس معکوس محاسبه کنیم به یک ماتریس-ستون از اعضای آزاد (در صورت لزوم، به مقاله مراجعه کنید):

پاسخ:

یا در نماد دیگری x 1 = 4، x 2 = 0، x 3 = -1.

مشکل اصلی هنگام یافتن راه‌حل برای سیستم‌های معادلات جبری خطی با استفاده از روش ماتریس، پیچیدگی یافتن ماتریس معکوس است، به‌ویژه برای ماتریس‌های مربعی با مرتبه بالاتر از سوم.

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس.

فرض کنید باید برای سیستمی متشکل از n معادله خطی با n متغیر مجهول راه حلی پیدا کنیم
تعیین کننده ماتریس اصلی آن با صفر متفاوت است.

ماهیت روش گاوسشامل حذف متوالی متغیرهای مجهول است: اول، x 1 از تمام معادلات سیستم حذف می شود، از معادلات دوم شروع می شود، سپس x 2 از تمام معادلات حذف می شود، از سومین شروع می شود، و به همین ترتیب، تا زمانی که فقط متغیر مجهول x n باقی بماند. در آخرین معادله این فرآیند تبدیل معادلات سیستم برای حذف متوالی متغیرهای مجهول نامیده می شود روش گاوسی مستقیم. پس از تکمیل حرکت رو به جلو روش گاوسی، x n از آخرین معادله، با استفاده از این مقدار از معادله ماقبل آخر، x n-1 و به همین ترتیب، x 1 از معادله اول به دست می آید. فرآیند محاسبه متغیرهای مجهول در هنگام حرکت از آخرین معادله سیستم به اولین معادله نامیده می شود معکوس روش گاوسی.

اجازه دهید به طور خلاصه الگوریتم حذف متغیرهای ناشناخته را شرح دهیم.

ما این را فرض می کنیم، زیرا همیشه می توانیم با تنظیم مجدد معادلات سیستم به این امر دست یابیم. بیایید متغیر مجهول x 1 را از تمام معادلات سیستم حذف کنیم و از دومی شروع کنیم. برای انجام این کار، به معادله دوم سیستم، اولین را با ضرب در، به معادله سوم اضافه می کنیم، ضرب در . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا و .

اگر x 1 را بر حسب سایر متغیرهای مجهول در اولین معادله سیستم بیان می کردیم و عبارت حاصل را جایگزین تمام معادلات دیگر می کردیم، به همان نتیجه می رسیدیم. بنابراین، متغیر x 1 از معادلات دوم حذف می شود.

در مرحله بعد، به روشی مشابه ادامه می دهیم، اما فقط با بخشی از سیستم حاصل که در شکل مشخص شده است

برای انجام این کار، به معادله سوم سیستم، دومی را با ضرب در، به معادله چهارم اضافه می کنیم، ضرب در . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا و . بنابراین، متغیر x 2 از معادلات سوم حذف می شود.

در مرحله بعد، به حذف مجهول x 3 ادامه می دهیم، در حالی که با بخشی از سیستم که در شکل مشخص شده است، به طور مشابه عمل می کنیم.

بنابراین پیشروی مستقیم روش گاوسی را تا زمانی که سیستم شکل بگیرد ادامه می دهیم

از این لحظه معکوس روش گاوسی را شروع می کنیم: x n را از آخرین معادله به صورت محاسبه می کنیم، با استفاده از مقدار x n بدست آمده، x n-1 را از معادله ماقبل آخر می یابیم و به همین ترتیب، x 1 را از معادله اول می یابیم. .

مثال.

حل سیستم معادلات خطی روش گاوس

راه حل.

اجازه دهید متغیر مجهول x 1 را از معادلات دوم و سوم سیستم حذف کنیم. برای انجام این کار، به هر دو طرف معادله دوم و سوم، قسمت های مربوط به معادله اول را به ترتیب در و در ضرب اضافه می کنیم:

اکنون x 2 را از معادله سوم حذف می کنیم، با اضافه کردن سمت چپ و راست معادله دوم به سمت چپ و راست آن، ضرب در:

این کار حرکت رو به جلو روش گاوس را کامل می کند؛ ما حرکت معکوس را شروع می کنیم.

از آخرین معادله سیستم معادلات حاصل، x 3 را پیدا می کنیم:

از معادله دوم بدست می آوریم.

از معادله اول، متغیر مجهول باقیمانده را پیدا می کنیم و در نتیجه معکوس روش گاوس را تکمیل می کنیم.

پاسخ:

X 1 = 4، x 2 = 0، x 3 = -1.

حل سیستم معادلات جبری خطی به شکل کلی.

به طور کلی، تعداد معادلات سیستم p با تعداد متغیرهای مجهول n منطبق نیست:

چنین SLAE هایی ممکن است هیچ راه حلی نداشته باشند، یک راه حل واحد داشته باشند یا راه حل های بی نهایت زیادی داشته باشند. این عبارت برای سیستم های معادلاتی که ماتریس اصلی آنها مربع و مفرد است نیز صدق می کند.

قضیه کرونکر-کاپلی.

قبل از یافتن راه حل برای یک سیستم معادلات خطی، لازم است سازگاری آن مشخص شود. پاسخ به این سوال که چه زمانی SLAE سازگار است و چه زمانی ناسازگار است توسط داده می شود قضیه کرونکر-کاپلی:
برای اینکه یک سیستم از معادلات p با n مجهول (p می تواند برابر با n باشد) سازگار باشد، لازم و کافی است که رتبه ماتریس اصلی سیستم برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته باشد. , Rank(A)=Rank(T).

اجازه دهید، به عنوان مثال، کاربرد قضیه کرونکر-کاپلی را برای تعیین سازگاری یک سیستم معادلات خطی در نظر بگیریم.

مثال.

دریابید که آیا سیستم معادلات خطی دارد یا خیر راه حل ها

راه حل.

. بیایید از روش مرزبندی خردسالان استفاده کنیم. جزئی از مرتبه دوم متفاوت از صفر بیایید به مینورهای مرتبه سوم همسایه آن نگاه کنیم:

از آنجایی که تمام مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر هستند، رتبه ماتریس اصلی برابر با دو است.

به نوبه خود، رتبه ماتریس توسعه یافته برابر با سه است، زیرا جزئی درجه سوم است

متفاوت از صفر

بدین ترتیب، Rang(A)، بنابراین، با استفاده از قضیه کرونکر-کاپلی، می‌توان نتیجه گرفت که سیستم اصلی معادلات خطی ناسازگار است.

پاسخ:

سیستم هیچ راه حلی ندارد.

بنابراین، ما یاد گرفتیم که ناسازگاری یک سیستم را با استفاده از قضیه کرونکر-کاپلی مشخص کنیم.

اما چگونه می توان راه حلی برای SLAE در صورت وجود سازگاری آن پیدا کرد؟

برای انجام این کار، به مفهوم پایه ماتریس و یک قضیه در مورد رتبه یک ماتریس نیاز داریم.

مینور بالاترین مرتبه ماتریس A، متفاوت از صفر، نامیده می شود پایه ای.

از تعریف پایه مینور به دست می آید که ترتیب آن برابر با رتبه ماتریس است. برای یک ماتریس غیرصفر A می تواند چندین مینور پایه وجود داشته باشد؛ همیشه یک پایه مینور وجود دارد.

به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید .

همه مینورهای مرتبه سوم این ماتریس برابر با صفر هستند، زیرا عناصر ردیف سوم این ماتریس مجموع عناصر مربوط به ردیف اول و دوم هستند.

مینورهای مرتبه دوم زیر پایه هستند، زیرا غیر صفر هستند

خردسالان پایه نیستند، زیرا برابر با صفر هستند.

قضیه رتبه ماتریس.

اگر رتبه یک ماتریس از مرتبه p در n برابر با r باشد، آنگاه تمام عناصر سطر (و ستون) ماتریس که مینور پایه انتخابی را تشکیل نمی دهند، به صورت خطی بر حسب عناصر تشکیل دهنده ردیف (و ستون) مربوطه بیان می شوند. پایه جزئی

قضیه رتبه ماتریس به ما چه می گوید؟

اگر طبق قضیه کرونکر-کاپلی، سازگاری سیستم را مشخص کرده باشیم، آنگاه هر پایه مینور از ماتریس اصلی سیستم را انتخاب می کنیم (ترتیب آن برابر با r است) و تمام معادلات را از سیستم حذف می کنیم. پایه انتخابی جزئی را تشکیل نمی دهند. SLAE به‌دست‌آمده از این طریق معادل معادل اصلی خواهد بود، زیرا معادلات دور ریخته شده هنوز اضافی هستند (طبق قضیه رتبه ماتریس، آنها ترکیبی خطی از معادلات باقی‌مانده هستند).

در نتیجه پس از کنار گذاشتن معادلات غیر ضروری سیستم، دو حالت امکان پذیر است.

اگر تعداد معادلات r در سیستم حاصل با تعداد متغیرهای مجهول برابر باشد، قطعی خواهد بود و تنها راه حل را می توان با روش کرامر، روش ماتریسی یا روش گاوس یافت.

مثال.

.

راه حل.

رتبه ماتریس اصلی سیستم برابر دو است، زیرا مینور مرتبه دوم است متفاوت از صفر رتبه ماتریس توسعه یافته همچنین برابر با دو است، زیرا تنها مرتبه سوم جزئی صفر است

و مینور مرتبه دوم در نظر گرفته شده در بالا با صفر متفاوت است. بر اساس قضیه کرونکر-کاپلی، می‌توانیم سازگاری سیستم اصلی معادلات خطی را اثبات کنیم، زیرا Rank(A)=Rank(T)=2.

ما به عنوان پایه جزئی در نظر می گیریم . از ضرایب معادله اول و دوم تشکیل می شود:


معادله سوم سیستم در تشکیل پایه مینور شرکت نمی کند، بنابراین آن را بر اساس قضیه رتبه ماتریس از سیستم حذف می کنیم:


به این ترتیب ما یک سیستم ابتدایی معادلات جبری خطی به دست آوردیم. بیایید آن را با استفاده از روش کرامر حل کنیم:


پاسخ:

x 1 = 1، x 2 = 2.

اگر تعداد معادلات r در SLAE حاصل شود تعداد کمترمتغیرهای مجهول n، سپس در سمت چپ معادلات، عبارت هایی که پایه را تشکیل می دهند را مینور می گذاریم و عبارت های باقی مانده را با علامت مخالف به سمت راست معادلات سیستم منتقل می کنیم.

متغیرهای مجهول (r از آنها) باقی مانده در سمت چپ معادلات نامیده می شوند اصلی.

متغیرهای ناشناخته (n - r قطعه وجود دارد) که در سمت راست قرار دارند فراخوانی می شوند رایگان.

اکنون ما معتقدیم که متغیرهای مجهول آزاد می توانند مقادیر دلخواه بگیرند، در حالی که متغیرهای مجهول اصلی r از طریق متغیرهای مجهول آزاد به روشی منحصر به فرد بیان می شوند. بیان آنها را می توان با حل SLAE حاصل با استفاده از روش کرامر، روش ماتریسی یا روش گاوس یافت.

بیایید با یک مثال به آن نگاه کنیم.

مثال.

حل یک سیستم معادلات جبری خطی .

راه حل.

بیایید رتبه ماتریس اصلی سیستم را پیدا کنیم به روش مرزبندی خردسالان. بیایید 1 1 = 1 را به عنوان مینور غیر صفر مرتبه اول در نظر بگیریم. بیایید شروع به جستجوی یک مینور غیر صفر درجه دوم در حاشیه این مینور کنیم:


به این ترتیب ما یک مینور غیر صفر درجه دوم را پیدا کردیم. بیایید شروع به جستجوی یک مینور مرزی غیر صفر از مرتبه سوم کنیم:


بنابراین، رتبه ماتریس اصلی سه است. رتبه ماتریس توسعه یافته نیز برابر با سه است، یعنی سیستم سازگار است.

ما مینور غیر صفر یافت شده مرتبه سوم را به عنوان پایه یک در نظر می گیریم.

برای وضوح، ما عناصری را نشان می‌دهیم که پایه جزئی را تشکیل می‌دهند:


عبارات مربوط به مبنا مینور را در سمت چپ معادلات سیستم رها می کنیم و بقیه را با علائم مخالف به سمت راست منتقل می کنیم:


بیایید به متغیرهای مجهول مجهول x 2 و x 5 مقادیر دلخواه بدهیم، یعنی قبول می کنیم ، جایی که اعداد دلخواه هستند. در این صورت، SLAE شکل خواهد گرفت


اجازه دهید سیستم ابتدایی معادلات جبری خطی را با استفاده از روش کرامر حل کنیم:


از این رو، .

در پاسخ خود فراموش نکنید که متغیرهای مجهول رایگان را مشخص کنید.

پاسخ:

اعداد دلخواه کجا هستند

خلاصه کنید.

برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی عمومی، ابتدا سازگاری آن را با استفاده از قضیه کرونکر-کاپلی تعیین می کنیم. اگر رتبه ماتریس اصلی با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر نباشد، نتیجه می گیریم که سیستم ناسازگار است.

اگر رتبه ماتریس اصلی با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر باشد، یک پایه مینور را انتخاب می کنیم و معادلات سیستم را که در تشکیل ماتریس اصلی انتخابی شرکت نمی کنند، کنار می گذاریم.

اگر ترتیب پایه مینور برابر با تعداد متغیرهای مجهول باشد، SLAE یک راه حل منحصر به فرد دارد که می توان آن را با هر روشی که برای ما شناخته شده است پیدا کرد.

اگر ترتیب پایه مینور کمتر از تعداد متغیرهای مجهول باشد، در سمت چپ معادلات سیستم، عبارت ها را با متغیرهای مجهول اصلی رها می کنیم، عبارت های باقی مانده را به سمت راست منتقل می کنیم و مقادیر دلخواه را به آن می دهیم. متغیرهای مجهول رایگان از سیستم معادلات خطی حاصل، متغیرهای مجهول اصلی را با استفاده از روش کرامر، روش ماتریسی یا روش گاوس پیدا می کنیم.

روش گاوس برای حل سیستم معادلات جبری خطی با فرم عمومی.

روش گاوس را می توان برای حل سیستم های معادلات جبری خطی از هر نوع بدون آزمایش اولیه آنها برای سازگاری استفاده کرد. فرآیند حذف متوالی متغیرهای ناشناخته امکان نتیجه گیری در مورد سازگاری و ناسازگاری SLAE را فراهم می کند و در صورت وجود راه حل، یافتن آن را ممکن می سازد.

از دیدگاه محاسباتی، روش گاوسی ارجحیت دارد.

تماشاش کن توصیف همراه با جزئیاتو نمونه هایی را در مقاله روش گاوس برای حل سیستم های معادلات جبری خطی با فرم کلی تحلیل کرد.

نوشتن یک جواب کلی برای سیستم های جبری خطی همگن و ناهمگن با استفاده از بردارهای سیستم اساسی راه حل ها.

در این بخش در مورد سیستم های همگن و ناهمگن معادلات جبری خطی که تعداد بی نهایت جواب دارند صحبت خواهیم کرد.

اجازه دهید ابتدا به سیستم های همگن بپردازیم.

سیستم بنیادی راه حل هاسیستم همگن p معادلات جبری خطی با n متغیر مجهول مجموعه ای از (n – r) راه حل های مستقل خطی این سیستم است که r ترتیب مینور پایه ماتریس اصلی سیستم است.

اگر راه حل های مستقل خطی یک SLAE همگن را به صورت X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) نشان دهیم ماتریس های ستونی با بعد n هستند. با 1) ، سپس جواب کلی این سیستم همگن به صورت ترکیبی خطی از بردارهای سیستم اساسی راه حل ها با ضرایب ثابت دلخواه C 1 ، C 2 ، ... ، C (n-r) نشان داده می شود ، یعنی .

اصطلاح حل کلی یک سیستم همگن معادلات جبری خطی (اوروسلاو) به چه معناست؟

معنی ساده است: فرمول همه چیز را تنظیم می کند راه حل های امکان پذیر SLAE اصلی، به عبارت دیگر، با گرفتن هر مجموعه ای از مقادیر ثابت های دلخواه C 1، C 2، ...، C (n-r)، با استفاده از فرمول یکی از راه حل های SLAE همگن اصلی را به دست خواهیم آورد.

بنابراین، اگر ما یک سیستم اساسی از راه حل ها را پیدا کنیم، می توانیم تمام راه حل های این SLAE همگن را به عنوان تعریف کنیم.

اجازه دهید روند ساخت یک سیستم اساسی از راه حل ها را برای یک SLAE همگن نشان دهیم.

ما مینور پایه سیستم اصلی معادلات خطی را انتخاب می کنیم، تمام معادلات دیگر را از سیستم حذف می کنیم و تمام عبارت های حاوی متغیرهای مجهول آزاد را به سمت راست معادلات سیستم با علائم مخالف منتقل می کنیم. بیایید به متغیرهای مجهول آزاد مقادیر 1,0,0,...,0 بدهیم و مجهولات اصلی را با حل سیستم ابتدایی معادلات خطی به هر شکلی مثلاً با استفاده از روش کرامر محاسبه کنیم. این منجر به X (1) می شود - اولین راه حل سیستم بنیادی. اگر به مجهولات رایگان مقادیر 0,1,0,0,…,0 بدهیم و مجهولات اصلی را محاسبه کنیم، X (2) به دست می آید. و غیره. اگر مقادیر 0.0،…،0.1 را به متغیرهای مجهول آزاد نسبت دهیم و مجهولات اصلی را محاسبه کنیم، X (n-r) را به دست می آوریم. به این ترتیب، یک سیستم اساسی از راه حل های یک SLAE همگن ساخته می شود و جواب کلی آن را می توان به شکل نوشتار کرد.

برای سیستم‌های ناهمگن معادلات جبری خطی، جواب کلی به شکل نشان داده می‌شود، جایی که جواب کلی سیستم همگن مربوطه است، و حل خاص SLAE ناهمگن اصلی است که با دادن مقادیر مجهولات آزاد به دست می‌آییم. 0,0,...,0 و محاسبه مقادیر مجهولات اصلی.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال.

سیستم اساسی راه حل ها و حل کلی یک سیستم همگن معادلات جبری خطی را بیابید .

راه حل.

رتبه ماتریس اصلی سیستم های همگن معادلات خطی همیشه با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر است. بیایید رتبه ماتریس اصلی را با استفاده از روش مرزبندی مینورها پیدا کنیم. به عنوان مینور غیر صفر درجه اول، عنصر a 1 1 = 9 از ماتریس اصلی سیستم را می گیریم. بیایید مینور غیر صفر مرزی مرتبه دوم را پیدا کنیم:

یک مینور از مرتبه دوم، متفاوت از صفر، پیدا شده است. بیایید در جست‌وجوی یک غیرصفر، از مینورهای مرتبه سوم که در حاشیه آن قرار دارند عبور کنیم:

همه مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر هستند، بنابراین، رتبه ماتریس اصلی و توسعه یافته برابر با دو است. بگیریم. برای وضوح، اجازه دهید به عناصر سیستمی که آن را تشکیل می دهند توجه کنیم:

معادله سوم SLAE اصلی در تشکیل پایه مینور شرکت نمی کند، بنابراین، می توان آن را حذف کرد:

عبارت‌های حاوی مجهولات اصلی را در سمت راست معادلات رها می‌کنیم و عبارت‌های مجهول آزاد را به سمت راست منتقل می‌کنیم:

اجازه دهید یک سیستم اساسی از راه حل های سیستم همگن اصلی معادلات خطی بسازیم. سیستم اساسی راه حل های این SLAE از دو راه حل تشکیل شده است، زیرا SLAE اصلی شامل چهار متغیر ناشناخته است و ترتیب پایه مینور آن برابر با دو است. برای یافتن X (1)، به متغیرهای مجهول آزاد مقادیر x 2 = 1، x 4 = 0 می دهیم، سپس مجهولات اصلی را از سیستم معادلات می یابیم.
.

بیایید آن را با استفاده از روش کرامر حل کنیم:

بدین ترتیب، .

حالا بیایید X (2) را بسازیم. برای انجام این کار، به متغیرهای مجهول آزاد مقادیر x 2 = 0، x 4 = 1 می دهیم، سپس مجهولات اصلی را از سیستم معادلات خطی پیدا می کنیم.
.

بیایید دوباره از روش کرامر استفاده کنیم:

ما گرفتیم.

بنابراین ما دو بردار از سیستم اصلی راه حل ها را به دست آوردیم و اکنون می توانیم جواب کلی یک سیستم همگن معادلات جبری خطی را بنویسیم:

، که در آن C 1 و C 2 اعداد دلخواه هستند.، برابر با صفر هستند. ما همچنین مینور را به عنوان یک پایه در نظر می گیریم، معادله سوم را از سیستم حذف می کنیم و عبارت های مجهول آزاد را به سمت راست معادلات سیستم منتقل می کنیم:

برای پیدا کردن، اجازه دهید به متغیرهای مجهول مجهول مقادیر x 2 = 0 و x 4 = 0 را بدهیم، سپس سیستم معادلات شکل خواهد گرفت. ، از جایی که متغیرهای مجهول اصلی را با استفاده از روش کرامر پیدا می کنیم:

ما داریم از این رو،

که در آن C 1 و C 2 اعداد دلخواه هستند.

لازم به ذکر است که راه حل های یک سیستم همگن نامعین از معادلات جبری خطی تولید می کنند. فضای خطی

راه حل.

معادله متعارف یک بیضی در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی شکل دارد . وظیفه ما تعیین پارامترهای a، b و c است. از آنجایی که بیضی از نقاط A، B و C عبور می کند، پس هنگام جایگزینی مختصات آنها به معادله متعارفبیضوی باید به هویت تبدیل شود. بنابراین ما یک سیستم از سه معادله بدست می آوریم:

بیایید نشان دهیم ، سپس سیستم به سیستم معادلات جبری خطی تبدیل می شود .

اجازه دهید تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم را محاسبه کنیم:

از آنجایی که غیر صفر است، می توانیم با استفاده از روش کرامر راه حل را پیدا کنیم:
). بدیهی است که x = 0 و x = 1 ریشه های این چند جمله ای هستند. ضریب از تقسیم بر است . بنابراین، ما یک بسط داریم و عبارت اصلی شکل می گیرد .

از روش ضرایب نامشخص استفاده می کنیم.

با معادل سازی ضرایب متناظر اعداد، به سیستمی از معادلات جبری خطی می رسیم. . حل آن ضرایب نامعین مورد نظر A، B، C و D را به ما می دهد.

بیایید سیستم را با استفاده از روش گاوسی حل کنیم:

با استفاده از معکوس روش گاوسی، D = 0، C = -2، B = 1، A = 1 را پیدا می کنیم.

ما گرفتیم

پاسخ:

.

یافتن راه حل ها سیستم خطی
برنامه های کاربردی ویندوز قابل حمل در Bodrenko.com

§2. یافتن راه حل برای یک سیستم خطی

قضیه کرونکر-کاپلی شرط لازم و کافی را برای سازگاری یک سیستم خطی ایجاد می کند، اما راهی برای یافتن راه حل برای این سیستم ارائه نمی دهد.
در این بخش راه حل های سیستم خطی (3.1) را خواهیم یافت. ابتدا ساده ترین حالت یک سیستم درجه دوم از معادلات خطی با تعیین کننده غیر صفر ماتریس اصلی را در نظر می گیریم و سپس به سراغ یافتن مجموعه همه راه حل های سیستم خطی کلی شکل (3.1) می رویم.
1. سیستم درجه دوم معادلات خطی با تعیین کننده غیر صفر ماتریس اصلی.اجازه دهید یک سیستم درجه دوم از معادلات خطی داده شود

با یک دترمینان غیر صفر ماتریس اصلی

اجازه دهید ثابت کنیم که چنین سیستمی راه حل منحصر به فردی دارد و ما این راه حل را پیدا خواهیم کرد. ابتدا ثابت می کنیم که سیستم (3.10) تنها می تواند یک راه حل داشته باشد (یعنی منحصر به فرد بودن راه حل برای سیستم (3.10) را با فرض وجود آن اثبات می کنیم).
فرض کنید هر n عدد x 1، x 2،...، x n وجود دارد، به طوری که هنگام جایگزینی این اعداد در سیستم (3.10)، تمام معادلات این سیستم تبدیل به هویت می شوند (یعنی راه حلی برای سیستم وجود دارد ( 3.10) x 1، x 2،...، x n). سپس هویت های (3.10) را به ترتیب در متمم های جبری A 1j , A 2j ,..., A nj عناصر ستون j-ro از تعیین کننده Δ ماتریس (3.11) ضرب کرده و هویت های حاصل را جمع می کنیم. به دست آورید (برای هر عدد j، برابر با 1، 2،...، n)

با توجه به اینکه مجموع حاصلضرب عناصر ستون i به وسیله مکمل های جبری متناظر عناصر ستون j-ro برابر با صفر برای i ≠ j و برابر با دترمینال Δ ماتریس (3.11) برای i = j (به ویژگی 4° از بند 4 از §2 از فصل 1 مراجعه کنید)، از آخرین برابری به دست می آوریم

x j Δ = b 1 A 1j + b 2 A 2j + ... + b n A nj . (3.12)

اجازه دهید با نماد نشان دهیمΔ j (ب من ) (یا به طور خلاصه نمادΔ j ) تعیین کننده به دست آمده از تعیین کنندهΔ ماتریس اصلی (3.11) با جایگزینی ستون j ام آن با ستونی از عبارت های آزاد b 1 ، ب 2 ،...، ب n (همه ستون های دیگر را بدون تغییر نگه دارید Δ ).
توجه داشته باشید که در سمت راست (3.12) دقیقاً تعیین کننده Δj (b i) وجود دارد (برای تأیید این موضوع، کافی است بسط د j (b i) را روی عناصر ستون i-ام بنویسید). ، و این برابری شکل می گیرد

Δ x j = Δ j (3.13)

از آنجایی که تعیین کننده Δ ماتریس (3.11) غیر صفر است، برابری های (3.13) معادل روابط هستند.

پس ما این را ثابت کرده ایم اگر راه حل x 1 ، ایکس 2 ،...،ایکس n سیستم (3.10) با تعیین کنندهΔ ماتریس اصلی (3.11) متفاوت از صفر وجود دارد، سپس این راه حل به طور منحصر به فرد با فرمول (3.14) تعیین می شود..
فرمول های (3.14) نامیده می شوند فرمول های کرامر.
اجازه دهید یک بار دیگر تاکید کنیم که فرمول های کرامر تاکنون با فرض وجود یک راه حل به دست آمده اند و منحصر به فرد بودن آن را ثابت می کنند.
باقی مانده است که وجود یک راه حل برای سیستم را اثبات کنیم (3.10). برای انجام این کار، با استفاده از قضیه کرونکر-کاپلی، کافی است ثابت کنیم که رتبه ماتریس اصلی (3.11) برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته است (راه دیگری برای اثبات وجود راه حل برای آن وجود دارد. سیستم (3.10)، که شامل بررسی این است که آیا اعداد x 1، x 2،...، x n که با فرمول‌های کرامر (3.14) تعریف شده‌اند، همه معادلات سیستم (3.10) را به هویت تبدیل می‌کنند.

اما این واضح است، زیرا به دلیل رابطه Δ ≠ 0، رتبه ماتریس اصلی برابر با n است و رتبه ماتریس توسعه یافته (3.15) حاوی n ردیف نمی تواند از عدد n بزرگتر باشد و بنابراین برابر با رتبه ماتریس اصلی است.
این کاملا این را ثابت می کند سیستم درجه دوم معادلات خطی (3.10) با تعیین کننده ماتریس اصلی متفاوت از صفر است، و علاوه بر این، یک راه حل منحصر به فرد تعیین شده توسط فرمول های کرامر (3.14).

عبارتی که ما ثابت کرده‌ایم را می‌توان حتی ساده‌تر با استفاده از روش ماتریس ایجاد کرد. برای انجام این کار، معادله ماتریسی معادل آن را جایگزین (مانند بند 1 § 1) سیستم (3.10) می کنیم.

AX = B، (3.16)

که در آن A ماتریس اصلی سیستم است (3.11)، و X و B ستون هستند،

که اولی باید مشخص شود و دومی داده می شود.
از آنجایی که تعیین کننده Δ ماتریس A با صفر متفاوت است، یک ماتریس معکوس A -1 وجود دارد (به پاراگراف 7، §2، فصل 1 مراجعه کنید).
اجازه دهید فرض کنیم که یک راه حل برای سیستم (3.10) وجود دارد، به عنوان مثال. یک ستون X وجود دارد که معادله ماتریس (3.16) را به یک هویت تبدیل می کند. با ضرب هویت مشخص شده در سمت چپ در ماتریس معکوس A -1 خواهیم داشت

A -1 (AX) = A -1 V. (3.17)

اجازه دهید اکنون در نظر بگیریم که به دلیل ویژگی ترکیبی حاصلضرب سه ماتریس (به بند 2، § 1، فصل 1 مراجعه کنید) و به دلیل رابطه A -1 A = E، که در آن E ماتریس هویت است (به پاراگراف مراجعه کنید. 7، §2، فصل 1)، A -1 (AX) = (A -1 A)X = EX = X، بنابراین از (3.17) می‌گیریم.

X = A -1 V. (3.18)

گسترش برابری (3.18) و در نظر گرفتن شکل ماتریس معکوس (نگاه کنید به فرمول A.41) از بند 7 از §2 از Ch. 1)، فرمول های کرامر را برای عناصر ستون X بدست می آوریم.
بنابراین، ما ثابت کرده‌ایم که اگر جوابی برای معادله ماتریس (3.16) وجود داشته باشد، آنگاه به طور منحصربه‌فرد با رابطه (3.18)، معادل فرمول‌های کرامر تعیین می‌شود.
به راحتی می توان بررسی کرد که ستون X تعریف شده توسط رابطه (3.18) در واقع راه حلی برای معادله ماتریس (3.16) است.
یعنی وقتی در این معادله جایگزین شود، آن را به یک هویت تبدیل می کند. در واقع، اگر ستون X با برابری (3.18) تعیین شود، AX = A(A -1 B) = (AA -1)B = EB = B.
بنابراین، اگر تعیین‌کننده Δ ماتریس A با صفر متفاوت باشد (یعنی اگر این ماتریس غیر مفرد باشد)، در این صورت، و علاوه بر این، یک راه حل منحصر به فرد برای معادله ماتریس (3.16) وجود دارد که با رابطه ( 3.18)، معادل فرمول های کرامر.
مثال. بیایید راه حل یک سیستم درجه دوم معادلات خطی را پیدا کنیم

با تعیین کننده غیر صفر ماتریس اصلی

از آنجا که

سپس، بر اساس فرمول های کرامر، تنها راه حل برای سیستم مورد بررسی به شکل x 1 = 1، x 2 = 2، x 3 = 3، x 4 = 4 است.
اهمیت اصلی فرمول های کرامر این است که آنها بیان صریحی را برای حل یک سیستم درجه دوم معادلات خطی (با تعیین کننده غیر صفر) بر حسب ضرایب معادلات و عبارات آزاد ارائه می دهند. استفاده عملی از فرمول های کرامر شامل محاسبات نسبتاً دست و پا گیر است (برای حل یک سیستم از n معادله با n مجهول، باید تعیین کننده مرتبه n (n + 1) را محاسبه کرد). به این نکته باید اضافه کرد که اگر ضرایب معادلات و عبارات آزاد فقط مقادیر تقریبی هر کمیت فیزیکی اندازه گیری شده باشد یا در طی فرآیند محاسبات گرد شوند، استفاده از فرمول های کرامر می تواند منجر به خطاهای بزرگ و در برخی موارد شود. نامناسب است
در بند 4 از فصل 4، روش منظم سازی ناشی از A.N ارائه خواهد شد. تیخونوف و به فرد اجازه می دهد برای یک سیستم خطی راه حلی با دقتی مطابق با دقت تعیین ماتریس ضرایب معادله و ستون عبارت های آزاد پیدا کند و در فصل. 6 ایده ای از روش های به اصطلاح تکرار شونده برای حل سیستم های خطی را ارائه می دهد که حل این سیستم ها را با استفاده از تقریب های متوالی مجهولات ممکن می کند.
در نتیجه، ما متذکر می شویم که در این بخش مواردی را که تعیین کننده Δ ماتریس اصلی سیستم (3.10) ناپدید می شود، از بررسی حذف کردیم. این مورد در تئوری کلی سیستم های معادلات خطی m با n مجهول ارائه شده در پاراگراف بعدی آمده است.
2. یافتن تمام راه حل های سیستم خطی کلی.حال بیایید در نظر بگیریم سیستم مشترک m معادلات خطی با n مجهول (3.1). فرض کنید این سیستم سازگار است و رتبه ماتریس های اصلی و توسعه یافته آن برابر با عدد r است. بدون از دست دادن کلیت، می‌توان فرض کرد که مبنای مینور ماتریس اصلی (3.2) در گوشه سمت چپ بالای این ماتریس است (مورد کلی با تنظیم مجدد معادلات و مجهولات در سیستم (3.1) به این حالت کاهش می‌یابد.
سپس اولین ردیف‌های r ماتریس اصلی (3.2) و ماتریس توسعه‌یافته (3.8) ردیف‌های پایه این ماتریس‌ها هستند (از آنجایی که رتبه‌های ماتریس اصلی و توسعه‌یافته هر دو برابر با r هستند، مینور پایه ماتریس اصلی به طور همزمان مینور پایه ماتریس توسعه یافته خواهد بود، و طبق قضیه 1.6 بر اساس مینور، هر یک از ردیف های ماتریس توسعه یافته (1.8)، که از ردیف (r + 1) شروع می شود، ترکیبی خطی از اولین ردیف های r این ماتریس.
از نظر سیستم (3.1)، به این معنی است که هر یک از معادلات این سیستم، که با معادله (r + 1) شروع می شود، یک ترکیب خطی (یعنی پیامد) از اولین معادلات r این سیستم است. یعنی هر حل معادلات r اول سیستم (3.1) همه معادلات بعدی این سیستم را به هویت تبدیل می کند.).
بنابراین، یافتن تمام جوابهای تنها r معادلات اول سیستم (3.1) کافی است. اجازه دهید اولین معادلات r سیستم (3.1) را در نظر بگیریم و آنها را به شکل بنویسیم

اگر مجهولات x r+1 ,...,x n مقدار کاملا دلخواه را به c r+1 ,...,c n بدهیم، سیستم (1.19) به یک سیستم درجه دوم از r معادلات خطی برای r مجهول x تبدیل می شود. 1 , x 2 , ..., x r , و تعیین کننده ماتریس اصلی این سیستم مینور پایه غیر صفر ماتریس (3.2) است. با توجه به نتایج پاراگراف قبلی، این سیستم (3.19) دارای یک راه حل منحصر به فرد است که با فرمول های کرامر تعیین می شود، یعنی برای cr+1،...،c n که به طور دلخواه انتخاب شده است، مجموعه منحصر به فردی از r اعداد c 1، وجود دارد. .,c r، تمام معادلات سیستم (3.19) را به هویت تبدیل می کند و با فرمول های کرامر تعریف می شود.
برای نوشتن این راه حل منحصر به فرد، ما موافقت می کنیم که با جایگزین کردن ستون j-ro آن با ستونی از اعداد d 1، d 2، تعیین کننده به دست آمده از پایه مینور M ماتریس (3.2) را با نماد Mj (d i) نشان دهیم. ...,d i,..., d r (با سایر ستون های M که بدون تغییر حفظ می شوند). سپس با نوشتن جواب سیستم (3.19) با استفاده از فرمول های کرامر و با استفاده از ویژگی خطی دترمینان، به دست می آوریم.

فرمول های (3.20) مقادیر مجهولات x j = c j (j = 1، 2، ......، r) را از طریق ضرایب مجهولات، اصطلاحات آزاد و پارامترهای دلخواه مشخص شده با r+1، بیان می کنند. ...، با n.
این را ثابت کنیم فرمول (3.20) حاوی هر راه حلی برای سیستم (3.1) است.. در واقع، اجازه دهید c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r , c (0) r+1 , ...,c (0) n یک راه حل دلخواه از سیستم مشخص شده باشد. . سپس راه حلی برای سیستم (3.19) است. اما از سیستم (3.19) کمیت های c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r به طور یکتا از طریق کمیت های c (0) r+1 , ...,c (0) تعیین می شوند. ) n و دقیقاً طبق فرمول های کرامر (3.20). بنابراین، با r+1 = ج (0) r+1، ...، با n = ج (0) n فرمول (3.20) دقیقاً راه حل مورد نظر را به ما می دهد (0) 1 ، ج (0) 2 ،...، ج (0) r ، ج (0) r+1، ...، ج (0) n .
اظهار نظر.اگر رتبه r ماتریس های اصلی و توسعه یافته سیستم (3.1) برابر با تعداد مجهولات n باشد، در این حالت روابط (3.20) به فرمول تبدیل می شود.

تعریف راه حل منحصر به فرد سیستم (3.1). بنابراین، سیستم (3.1) یک راه حل منحصر به فرد دارد (یعنی قطعی است) مشروط بر اینکه رتبه r ماتریس های اصلی و توسعه یافته آن برابر با تعداد مجهولات n (و کمتر یا مساوی تعداد معادلات m) باشد.
مثال. بیایید همه راه حل های سیستم خطی را پیدا کنیم

به راحتی می توان تأیید کرد که رتبه هر دو ماتریس اصلی و توسعه یافته این سیستم برابر با دو است (یعنی این سیستم سازگار است) و می توانیم فرض کنیم که مینور M اصلی در گوشه سمت چپ بالای ماتریس اصلی است. ، یعنی . اما پس از کنار گذاشتن دو معادله آخر و تنظیم دلخواه با 3 و 4، سیستم را بدست می آوریم.

x 1 - x 2 = 4 - c 3 + c 4،

x 1 + x 2 = 8 - 2c 3 - 3c 4،

که به موجب فرمول های کرامر، مقادیر را از آن به دست می آوریم

x 1 = c 1 = 6 - 3/2 c 3 - c 4، x 2 = c 2 = 2 - 1/2 c 3 - 2c 4. (3.22)

پس چهار عدد

(6 - 3/2 c 3 - c 4,2 - 1/2 c 3 - 2c 4, c 3, c 4) (3.23)

برای مقادیر دلخواه داده شده c 3 و c 4 آنها یک راه حل برای سیستم (3.21) تشکیل می دهند و خط (3.23) شامل تمام راه حل های این سیستم است.

3. ویژگی های مجموعه ای از محلول ها برای یک سیستم همگن.اجازه دهید اکنون یک سیستم همگن از m معادلات خطی با n مجهول (3.7) را در نظر بگیریم، با این فرض، همانطور که در بالا، ماتریس (3.2) دارای رتبه ای برابر با r است، و اینکه پایه مینور M در گوشه سمت چپ بالای این قرار دارد. ماتریس از آنجایی که در این زمان همه b i برابر با صفر است، به جای فرمول (3.20) فرمول های زیر را بدست می آوریم:

بیان مقادیر مجهولات x j = c j (j = 1, 2,..., r) از طریق ضرایب مجهولات و مقادیر دلخواه c r+1,...,c n. با توجه به آنچه در پاراگراف قبل ثابت شد فرمول (3.24) حاوی هر محلولی از سیستم همگن (3.7) است..
اجازه دهید اکنون مطمئن شویم که مجموعه از تمام محلول های سیستم همگن (3.7) یک فضای خطی تشکیل می دهد.
فرض کنید X 1 = (x (1) 1، x (1) 2،...، x (1) n) و X 2 = (x (2) 1، x (2) 2،...،x ( 2) n) دو راه حل دلخواه سیستم همگن هستند (3.7) و λ هر عدد واقعی است. با توجه به اینکه هر جواب سیستم همگن (3.7) عنصری از فضای خطی A n از تمام مجموعه های مرتب شده از n عدد است، کافی است ثابت کنیم که هر یک از دو مجموعه

X 1 + X 2 = (x (1) 1 + x (2) 1 ,...، x (1) n + x (2) n)

λ X 1 = (λ x (1) 1 ,...، λ x (1) n)

همچنین راه حلی برای سیستم همگن است (3.7).
اجازه دهید هر معادله سیستم (3.7)، برای مثال معادله i را در نظر بگیریم و عناصر مجموعه های نشان داده شده را به جای مجهولات در این معادله جایگزین کنیم. با توجه به اینکه X 1 و X 2 راه حل های یک سیستم همگن هستند، خواهیم داشت

و این بدان معنی است که مجموعه های X 1 + X 2 و λ X 1 راه حل هایی برای سیستم همگن هستند (3.7).
بنابراین، مجموعه تمام راه حل های سیستم همگن (3.7) یک فضای خطی را تشکیل می دهد که آن را با نماد R نشان می دهیم.
بیایید بعد این فضای R را پیدا کنیم و در آن مبنایی بسازیم.
اجازه دهید ثابت کنیم که با این فرض که رتبه ماتریس سیستم همگن (3.7) برابر با r است، فضای خطی R همه محلول های سیستم همگن (3.7) با فضای خطی A هم شکل است. n-r همه مجموعه های مرتب شده از اعداد (n - r).(فضای A m در مثال 3، بخش 1، بخش 1، فصل 2 معرفی شد).

اجازه دهید هر راه حل (c 1 ,...,c r , c r+1 ,...,c n) سیستم همگن (3.7) را با یک عنصر (cr+1,...,c n) مرتبط کنیم. فضا آ n-rاز آنجایی که اعداد c r+1 ,...,c n را می توان به صورت دلخواه انتخاب کرد و با هر انتخاب با استفاده از فرمول (3.24) حل سیستم (3.7) را به طور منحصر به فرد تعیین می کنند، پس مطابقتی که ایجاد کرده ایم این است. یک به یک. سپس توجه می کنیم که اگر عناصر c (1) r+1 ,...,c (1) n و c (2) r+1 ,...,c (2) n فضا آ n-rمطابق با عناصر (c (1) 1 ,...,c (1) r , c (1) r+1 ,...,c (1) n) و (c (2) 1 ,... ,c (2) r , c (2) r+1 ,...,c (2) n) فضای R، سپس از فرمول (3.24) بلافاصله نتیجه می شود که عنصر (c (1) r+1 + c (2) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n) مربوط به عنصر (c (1) 1 + c (2) 1 ,...,c (1) است. r + c (2) r , c (1) r+1 + c (2) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n) و عنصر (λc (1) r+1 ,... ,λ c (1) n) برای هر λ واقعی با عنصر (λ c (1) 1 ,..., λ c (1) r , λ c (1) r+1 , ...,λ c (1 ) n). این ثابت می کند که مطابقت ما یک هم شکلی است.
بنابراین، فضای خطی R تمام راه حل های سیستم همگن (3.7) با n مجهول و رتبه ماتریس اصلی برابر با r نسبت به فضا هم شکل است. آ n-rو بنابراین دارای بعد n - r است.
هر مجموعه ای از (n - r) راه حل های مستقل خطی سیستم همگن (3.7) (به موجب قضیه 2.5) پایه ای در فضای R همه راه حل ها تشکیل می دهد و مجموعه اساسی راه حل های سیستم همگن نامیده می شود (3.7). .
برای ایجاد مجموعه ای اساسی از راه حل ها، می توانید از هر مبنایی در فضا شروع کنید آ n-r. مجموعه راه حل های سیستم (3.7) مربوط به این مبنا، به دلیل هم ریختی، مستقل خطی خواهد بود و بنابراین مجموعه ای اساسی از راه حل ها خواهد بود.
توجه ویژه ای به مجموعه اساسی راه حل های سیستم (3.7) می شود که با ساده ترین مبنای e 1 = (1، 0، 0،...، 0)، e 2 = (1، 1، 0،) مطابقت دارد. ..، 0)، ...، e n-r = (0، 0، 0،...، 1) فاصله آ n-rو مجموعه بنیادی نرمال از محلول های سیستم همگن نامیده می شود (3.7).
بر اساس فرضیات بالا در مورد رتبه و مکان پایه مینور، بر اساس فرمول (3.24)، مجموعه بنیادی عادی از راه حل های سیستم همگن (3.7) به شکل زیر است:

با تعریف مبنا، هر راه حل X از سیستم همگن (3.7) را می توان به شکل نشان داد.

X= C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n-r X n-r ، (3.26)

که در آن C 1، C 2، ...، C n-r برخی از ثابت ها هستند. از آنجایی که فرمول (3.26) حاوی هر محلولی برای سیستم همگن (3.7) است، این فرمول راه حل کلی را برای سیستم همگن در نظر گرفته می دهد.
مثال. یک سیستم معادلات همگن را در نظر بگیرید:

مربوط به سیستم ناهمگن (3.21)، که در مثال در پایان پاراگراف قبل تجزیه و تحلیل شده است. در آنجا متوجه شدیم که رتبه r ماتریس این سیستم برابر با دو است و مینور را در گوشه سمت چپ بالای ماتریس مشخص شده مبنا قرار دادیم.
با تکرار استدلال انجام شده در پایان پاراگراف قبل، به جای فرمول (3.22) روابط را بدست می آوریم.

c 1 = - 3/2 c 3 - c 4، c 2 = - 1/2 c 3 - 2c 4،

برای c 3 و c 4 خودسرانه انتخاب شده معتبر است. با استفاده از این روابط (با فرض اول c 3 = 1, c 4 = 0 و سپس c 3 = 0, c 4 = 1) یک مجموعه اساسی عادی از دو راه حل برای سیستم (3.27) بدست می آوریم:

X 1 = (-3/2، -1/2،1،0)، X 2 = (-1،-2، 0.1). (3.28)

که در آن C 1 و C 2 ثابت دلخواه هستند.
برای نتیجه گیری این بخش، ما بین راه حل های سیستم خطی ناهمگن (3.1) و سیستم همگن مربوطه (3.7) (با ضرایب یکسان برای مجهولات) ارتباط برقرار می کنیم. اجازه دهید دو عبارت زیر را ثابت کنیم.
1 درجه مجموع هر راه حل برای سیستم ناهمگن (3.1) با هر راه حل برای سیستم همگن مربوطه (3.7) یک راه حل برای سیستم (3.1) است.
در واقع، اگر c 1،...،c n راه حلی برای سیستم (3.1) باشد، a d 1،...،d n راه حلی برای سیستم همگن مربوطه (3.7) است، آنگاه با هر یک (مثلاً، در i-th ) معادله سیستم (3.1) به جای اعداد مجهول c 1 + d 1 ,...,c n + d n , بدست می آوریم

Q.E.D.
2 درجه تفاوت دو محلول دلخواه سیستم ناهمگن (3.1) حل سیستم همگن مربوطه (3.7) است.
در واقع، اگر c" 1،...،c" n و c" 1،...،c" n دو راه حل دلخواه سیستم (3.1) باشند، آنگاه، جایگزین هر یک (مثلاً در i- ث) معادله سیستم (3.7) به جای اعداد مجهول c" 1 - c" 1 ,...,c" n - c" n بدست می آید

Q.E.D.
از گزاره های اثبات شده چنین برمی آید که پس از یافتن یک راه حل از سیستم ناهمگن (3.1) و اضافه کردن آن با هر محلول از سیستم همگن مربوطه (3.7)، همه راه حل های سیستم ناهمگن (3.1) را به دست می آوریم.
به عبارت دیگر، مجموع محلول خاص سیستم ناهمگن (3.1) و حل کلی سیستم همگن مربوطه (3.7) جواب کلی سیستم ناهمگن (3.1) را به دست می دهد.
به عنوان یک راه حل خاص برای سیستم ناهمگن (3.1)، طبیعی است که آن راه حل را در نظر بگیریم (مطابق با بالا، فرض می شود که رتبه های ماتریس های اصلی و توسعه یافته سیستم (3.1) برابر با r و پایه است. مینور در گوشه سمت چپ بالای این ماتریس ها قرار دارد)

که در صورتی به دست می آید که در فرمول (3.20) همه اعداد c r+1 ,...,c n را برابر با صفر قرار دهیم. با افزودن این محلول خاص به محلول کلی (3.26) سیستم همگن مربوطه، عبارت زیر را برای محلول کلی سیستم ناهمگن (3.1) بدست می آوریم:

X= X 0 + C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n-r X n-r . (3.30)

در این عبارت، X 0 یک راه حل خاص را نشان می دهد (3.29)، C 1، C 2، ...، C n-r ثابت دلخواه هستند، و X 1، X 2،...، X n-r عناصر مجموعه بنیادی عادی هستند. از محلول های (3.25) سیستم همگن مربوطه.
بنابراین، برای سیستم ناهمگن (3.21) در نظر گرفته شده در پایان پاراگراف قبل، یک راه حل خاص از شکل (3.29) برابر است با X 0 = (6،2،0، 0).
با افزودن این محلول خاص به محلول کلی (3.28) سیستم همگن مربوطه (3.27)، راه حل کلی زیر را برای سیستم ناهمگن (3.21) بدست می آوریم:

X = (6،2،0، 0) + C 1 (-3/2،-1/2،1،0) + C 2 (-1،-2، 0.1). (3.31)

در اینجا C 1 و C 2 ثابت دلخواه هستند.
4. نکات پایانی در حل سیستم های خطی.روش‌هایی برای حل سیستم‌های خطی که در پاراگراف‌های قبلی توسعه یافته‌اند
بر نیاز به محاسبه رتبه ماتریس و یافتن پایه آن جزئی استوار است. هنگامی که پایه جزئی پیدا شد، راه حل به تکنیک محاسبه عوامل تعیین کننده و استفاده از فرمول های کرامر می رسد.
برای محاسبه رتبه یک ماتریس می توانید از قانون زیر استفاده کنید: هنگام محاسبه رتبه یک ماتریس، باید از مینورهای مرتبه پایین تر به موارد فرعی با مرتبه بالاتر حرکت کرد. علاوه بر این، اگر یک M جزئی غیر صفر از مرتبه k قبلاً پیدا شده باشد، آنگاه فقط مینورهای مرتبه (k + 1) هم مرز هستند.(یعنی M جزئی را در درون خود دارند) این مینور M است. اگر همه مینورهای مرزی مرتبه (k + 1) برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با k است.(در واقع، در حالت نشان داده شده، تمام ردیف ها (ستون ها) ماتریس متعلق به بدنه خطی k ردیف (ستون) آن هستند که در محل تقاطع آن یک M جزئی وجود دارد و بعد بدنه خطی نشان داده شده است. برابر با k).
اجازه دهید قانون دیگری را برای محاسبه رتبه یک ماتریس نیز مشخص کنیم. توجه داشته باشید که با ردیف‌ها (ستون‌های) یک ماتریس می‌توانید اجرا کنید سه عملیات ابتدایی، که رتبه این ماتریس را تغییر نمی دهند: 1) جایگشت دو سطر (یا دو ستون)، 2) ضرب یک سطر (یا ستون) در هر عامل غیر صفر، 3) اضافه کردن به یک سطر (ستون) یک ترکیب خطی دلخواه از سایر ردیف ها (ستون ها) (این سه عملیات رتبه ماتریس را تغییر نمی دهند، زیرا عملیات 1 و 2) حداکثر تعداد ردیف ها (ستون های) خطی مستقل ماتریس را تغییر نمی دهند. و عمل 3) این خاصیت را دارد که دهانه خطی تمام سطرها (ستون ها) موجود قبل از انجام این عمل با پوشش خطی تمام سطرها (ستون ها) که پس از انجام این عمل به دست می آید منطبق باشد.
ما خواهیم گفت که ماتریس ||a ij ||، حاوی m ردیف و n ستون، دارای موربشکل، اگر تمام عناصر آن به غیر از 11، a 22،...، a rr برابر با صفر باشند، جایی که r = min(m, n). رتبه چنین ماتریسی به وضوح برابر با r است.
بیایید مطمئن شویم که با استفاده از سه عملیات ابتدایی هر ماتریس

را می توان به شکل مورب کاهش داد(که به ما امکان می دهد رتبه آن را محاسبه کنیم).

در واقع، اگر همه عناصر ماتریس (3.31) برابر با صفر باشند، این ماتریس قبلاً به شکل مورب تقلیل یافته است. اگر مادر
دنده ها (3.31) دارای عناصر غیر صفر هستند، سپس با ترتیب مجدد دو ردیف و دو ستون می توان از غیر صفر بودن عنصر a 11 اطمینان حاصل کرد. پس از ضرب ردیف اول ماتریس در 1-11، عنصر a 11 را به یک تبدیل می کنیم. کم کردن بیشتر از ستون j-ro ماتریس (برای j = 2، 3،...، n) ستون اول ضرب در i1، و سپس کم کردن از خط i-ام(برای i = 2, 3,..., n) اولین ردیف ضرب در i1، به جای (3.31) ماتریسی به شکل زیر دریافت می کنیم:

با انجام عملیاتی که قبلاً توضیح دادیم با یک ماتریس گرفته شده در یک قاب، و ادامه عمل به روش مشابه، پس از تعداد محدودی از مراحل، یک ماتریس مورب به دست خواهیم آورد.
روش‌های حل سیستم‌های خطی که در پاراگراف‌های قبل مشخص شد، که در نهایت از دستگاه فرمول‌های کرامر استفاده می‌کنند، در مواردی که مقادیر ضرایب معادلات و عبارت‌های آزاد تقریباً داده می‌شوند یا این مقادیر می‌توانند منجر به خطاهای بزرگ شوند. در طول فرآیند محاسبه گرد می شوند.
اول از همه، این در موردی صدق می کند که ماتریس مربوط به تعیین کننده اصلی (یا ماینور پایه) باشد. شرایط بد(یعنی زمانی که تغییرات "کوچک" در عناصر این ماتریس با تغییرات "بزرگ" در عناصر ماتریس معکوس مطابقت دارد). طبیعتاً در این حالت راه حل سیستم خطی خواهد بود ناپایدار(یعنی تغییرات "کوچک" در مقادیر ضرایب معادلات و عبارات آزاد با تغییرات "بزرگ" در راه حل مطابقت دارد).
شرایط ذکر شده منجر به نیاز به توسعه الگوریتم‌های نظری دیگر (متفاوت از فرمول‌های کرامر) برای یافتن راه‌حل و روش‌های عددی برای حل سیستم‌های خطی می‌شود.
در §4 فصل 4 با آن آشنا می شویم روش منظم سازی توسط A.N. تیخونواپیدا کردن به اصطلاح طبیعی(یعنی نزدیکترین به مبدأ) راه حل سیستم خطی.
فصل 6 اطلاعات اولیه در مورد به اصطلاح ارائه خواهد شد روش های تکراریراه حل های سیستم های خطی که امکان حل این سیستم ها را با استفاده از تقریب های متوالی مجهولات فراهم می کند.

مطالعه یک سیستم معادلات خطی سنی (SLAEs) برای سازگاری به این معنی است که آیا این سیستم راه حل هایی دارد یا ندارد. خوب، اگر راه حل وجود دارد، پس تعداد آنها را مشخص کنید.

از مبحث "سیستم معادلات جبری خطی. اصطلاحات اساسی. شکل ماتریسی علامت گذاری" به اطلاعاتی نیاز خواهیم داشت. به طور خاص، مفاهیمی مانند ماتریس سیستم و ماتریس سیستم توسعه یافته مورد نیاز است، زیرا فرمول بندی قضیه کرونکر-کاپلی بر اساس آنها است. طبق معمول ماتریس سیستم را با حرف $A$ و ماتریس توسعه یافته سیستم را با حرف $\widetilde(A)$ نشان خواهیم داد.

قضیه کرونکر-کاپلی

سیستم معادلات جبری خطی اگر و تنها در صورتی سازگار است که رتبه ماتریس سیستم با رتبه ماتریس توسعه یافته سیستم برابر باشد، یعنی. $\rang A=\rang\widetilde(A)$.

به شما یادآوری می کنم که اگر سیستمی حداقل یک راه حل داشته باشد، مفصل نامیده می شود. قضیه کرونکر-کاپلی این را می گوید: اگر $\rang A=\rang\widetilde(A)$، پس راه حلی وجود دارد. اگر $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$، این SLAE هیچ راه حلی ندارد (ناسازگار). پاسخ به سؤال در مورد تعداد این راه حل ها با نتیجه قضیه کرونکر-کاپلی ارائه می شود. در فرمول بندی نتیجه از حرف $n$ استفاده شده است که برابر با تعداد متغیرهای SLAE داده شده است.

نتیجه قضیه کرونکر-کاپلی

1. اگر $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$، SLAE ناسازگار است (راه حلی ندارد).
2. اگر $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. اگر $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$، SLAE قطعی است (دقیقا یک راه حل دارد).

لطفاً توجه داشته باشید که قضیه فرموله شده و نتیجه آن نحوه یافتن راه حل برای SLAE را نشان نمی دهد. با کمک آنها فقط می توانید بفهمید که آیا این راه حل ها وجود دارند یا خیر و اگر آنها وجود دارند، پس از آن چند تا هستند.

مثال شماره 1

SLAE $ \left \(\begin(تراز شده) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(تراز شده )\right.$ برای سازگاری اگر SLAE سازگار است، تعداد راه حل ها را مشخص کنید.

برای پی بردن به وجود جواب برای SLAE داده شده، از قضیه کرونکر-کاپلی استفاده می کنیم. ما به ماتریس سیستم $A$ و ماتریس توسعه یافته سیستم $\widetilde(A)$ نیاز داریم، آنها را می نویسیم:

$$ A=\left(\begin(array) (cccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 & -7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(آرایه) \راست). $$

ما باید $\rang A$ و $\rang\widetilde(A)$ را پیدا کنیم. راه های زیادی برای انجام این کار وجود دارد که برخی از آنها در قسمت Matrix Rank آمده است. معمولاً از دو روش برای مطالعه چنین سیستم‌هایی استفاده می‌شود: «محاسبه رتبه یک ماتریس بر اساس تعریف» یا «محاسبه رتبه یک ماتریس با روش تبدیل‌های ابتدایی».

روش شماره 1. رتبه بندی محاسبه بر اساس تعریف

طبق تعریف، رتبه بالاترین مرتبه مینورهای یک ماتریس است که در بین آنها حداقل یکی متفاوت از صفر وجود دارد. معمولاً مطالعه با مینورهای مرتبه اول شروع می شود، اما در اینجا راحت تر است که بلافاصله محاسبه فرعی مرتبه سوم ماتریس $A$ را شروع کنیم. عناصر فرعی مرتبه سوم در محل تلاقی سه سطر و سه ستون ماتریس مورد نظر قرار دارند. از آنجایی که ماتریس $A$ فقط شامل 3 ردیف و 3 ستون است، درجه سوم ماتریس $A$ تعیین کننده ماتریس $A$ است، یعنی. $\Delta A$. برای محاسبه دترمینانت فرمول شماره 2 را از مبحث فرمول های محاسبه دترمینان های مرتبه دوم و سوم اعمال می کنیم:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \ right|=-21. $$

بنابراین، مرتبه سوم مینور ماتریس $A$ وجود دارد که برابر با صفر نیست. ساختن یک مینور مرتبه چهارم غیرممکن است، زیرا به 4 سطر و 4 ستون نیاز دارد و ماتریس $A$ تنها 3 سطر و 3 ستون دارد. بنابراین، بالاترین ترتیب مینورهای ماتریس $A$، که حداقل یکی از آنها برابر با صفر نیست، برابر با 3 است. بنابراین، $\rang A=3$ است.

همچنین باید $\rang\widetilde(A)$ را پیدا کنیم. بیایید به ساختار ماتریس $\widetilde(A)$ نگاه کنیم. تا خط در ماتریس $\widetilde(A)$ عناصری از ماتریس $A$ وجود دارد و ما متوجه شدیم که $\Delta A\neq 0$ است. در نتیجه، ماتریس $\widetilde(A)$ دارای یک مینور مرتبه سوم است که برابر با صفر نیست. ما نمی توانیم مینورهای مرتبه چهارم ماتریس $\widetilde(A)$ را بسازیم، بنابراین نتیجه می گیریم: $\rang\widetilde(A)=3$.

از آنجایی که $\rang A=\rang\widetilde(A)$، پس طبق قضیه کرونکر-کاپلی سیستم سازگار است، یعنی. یک راه حل (حداقل یک) دارد. برای نشان دادن تعداد راه حل ها، در نظر می گیریم که SLAE ما شامل 3 مجهول است: $x_1$، $x_2$ و $x_3$. از آنجایی که تعداد مجهولات $n=3$ است، نتیجه می‌گیریم: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$، بنابراین، طبق نتیجه قضیه کرونکر-کاپلی، سیستم قطعی است، یعنی. راه حل منحصر به فردی دارد

مشکل حل شده است. این روش چه معایب و مزایایی دارد؟ ابتدا اجازه دهید در مورد مزایا صحبت کنیم. اولاً، ما فقط باید یک عامل تعیین کننده پیدا کنیم. پس از این، ما بلافاصله در مورد تعداد راه حل ها نتیجه گیری کردیم. به طور معمول، محاسبات استاندارد استاندارد، سیستم‌هایی از معادلات را ارائه می‌دهند که شامل سه مجهول هستند و یک راه‌حل منحصر به فرد دارند. برای چنین سیستم هایی، این روش بسیار راحت است، زیرا ما از قبل می دانیم که یک راه حل وجود دارد (در غیر این صورت مثال در محاسبه استاندارد نبود). آن ها تنها کاری که ما باید انجام دهیم این است که وجود یک راه حل را حداکثر نشان دهیم به روشی سریع. ثانیاً، مقدار محاسبه‌شده تعیین‌کننده ماتریس سیستم (یعنی $\Delta A$) بعداً مفید خواهد بود: زمانی که شروع به حل یک سیستم معین با استفاده از روش کرامر یا با استفاده از ماتریس معکوس می‌کنیم.

با این حال، در صورتی که ماتریس سیستم $A$ مستطیل شکل باشد، طبق تعریف، روش محاسبه رتبه نامطلوب است. در این صورت بهتر است از روش دوم استفاده شود که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد. علاوه بر این، اگر $\Delta A=0$ باشد، نمی‌توانیم در مورد تعداد راه‌حل‌های یک SLAE ناهمگن معین چیزی بگوییم. شاید SLAE تعداد بی نهایت راه حل داشته باشد، یا شاید هیچ کدام. اگر $\Delta A=0$ باشد، تحقیقات بیشتری مورد نیاز است که اغلب دست و پا گیر است.

برای خلاصه کردن آنچه گفته شد، متذکر می شوم که روش اول برای آن دسته از SLAEهایی که ماتریس سیستم آنها مربع است خوب است. علاوه بر این، SLAE خود شامل سه یا چهار مجهول است و از محاسبات یا آزمایش های استاندارد استاندارد گرفته شده است.

روش شماره 2. محاسبه رتبه با روش تبدیل های ابتدایی.

این روش در تاپیک مربوطه به تفصیل توضیح داده شده است. ما شروع به محاسبه رتبه ماتریس $\widetilde(A)$ خواهیم کرد. چرا ماتریس $\widetilde(A)$ و نه $A$؟ واقعیت این است که ماتریس $A$ بخشی از ماتریس $\widetilde(A)$ است، بنابراین با محاسبه رتبه ماتریس $\widetilde(A)$ به طور همزمان رتبه ماتریس $A$ را پیدا خواهیم کرد. .

\begin(تراز شده) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 & -7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(مقابله خطوط اول و دوم)\راست| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 & -7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ r_2-3r_1\\ r_3+4r_1 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array) (cccc| ج) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0 ) \\ \فانتوم(0)\\ r_3-2r_2 \end(آرایه)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(آرایه) \راست) \end (تراز شده)

ما ماتریس $\widetilde(A)$ را به شکل echelon کاهش دادیم. ماتریس لایه به دست آمده دارای سه ردیف غیر صفر است، بنابراین رتبه آن 3 است. در نتیجه، رتبه ماتریس $\widetilde(A)$ برابر با 3 است، یعنی. $\rang\widetilde(A)=3$. هنگام ایجاد تبدیل با عناصر ماتریس $\widetilde(A)$، ما به طور همزمان عناصر ماتریس $A$ واقع تا خط را تبدیل کردیم. ماتریس $A$ نیز به شکل سطحی کاهش می یابد: $\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \راست)$. نتیجه گیری: رتبه ماتریس $A$ نیز 3 است، یعنی. $\rang A=3$.

از آنجایی که $\rang A=\rang\widetilde(A)$، پس طبق قضیه کرونکر-کاپلی سیستم سازگار است، یعنی. راه حل دارد برای نشان دادن تعداد راه حل ها، در نظر می گیریم که SLAE ما شامل 3 مجهول است: $x_1$، $x_2$ و $x_3$. از آنجایی که تعداد مجهول‌ها $n=3$ است، نتیجه می‌گیریم: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$، بنابراین با توجه به نتیجه قضیه کرونکر-کاپلی، سیستم تعریف می‌شود. راه حل منحصر به فردی دارد

مزایای روش دوم چیست؟ مزیت اصلی همه کاره بودن آن است. مربع بودن یا نبودن ماتریس سیستم برای ما فرقی نمی کند. علاوه بر این، ما در واقع تبدیلات رو به جلو روش گاوسی را انجام دادیم. تنها چند مرحله باقی مانده است و ما می توانیم راه حلی برای این SLAE بدست آوریم. راستش من روش دوم رو بیشتر از روش اول دوست دارم ولی انتخاب سلیقه ایه.

پاسخ: SLAE داده شده سازگار و تعریف شده است.

مثال شماره 2

کاوش SLAE $ \left\( \begin(تراز شده) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(تراز شده) \right.$ برای سازگاری.

ما رتبه های ماتریس سیستم و ماتریس سیستم توسعه یافته را با استفاده از روش تبدیل های ابتدایی پیدا خواهیم کرد. ماتریس سیستم توسعه یافته: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. بیایید با تبدیل ماتریس توسعه یافته سیستم، رتبه های مورد نیاز را پیدا کنیم:

$$ \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4 -3r_1\\r_5-2r_1\end(آرایه)\راست فلش \چپ(\begin(آرایه) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\r_3-r_2\\ r_4-r_2\\r_5+r_2\end(array)\rightarrow\\ $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\end(array) \\ چپ (\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 و 0 و 0 و 0 \end(آرایه) \راست) $$

ماتریس توسعه یافته سیستم به شکل گام به گام کاهش می یابد. رتبه یک ماتریس پله ای برابر با تعداد ردیف های غیر صفر آن است، بنابراین $\rang\widetilde(A)=3$. ماتریس $A$ (تا خط) نیز به شکل echelon کاهش می یابد و رتبه آن 2 $\rang(A)=2$ است.

از آنجایی که $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$، پس طبق قضیه کرونکر-کاپلی سیستم ناسازگار است (یعنی هیچ راه حلی ندارد).

پاسخ: سیستم ناسازگار است.

مثال شماره 3

SLAE $ \left\( \begin(تراز شده) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=- ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(تراز شده) \right.$ برای سازگاری.

ماتریس توسعه یافته سیستم را به شکل گام به گام می آوریم:

$$ \left(\begin(array)(ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(آرایه) \راست) \overset (r_1\leftrightarrow(r_3))(\rightarrow) $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ -3 و 9 & -11 & 0 & -7 & -64\\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90\\ 7 & -17 و 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2-2r_1 \\r_3+3r_1 \\ r_4+5r_1 \\ r_5-7r_1 \end( آرایه) \rightarrow \left(\begin(array)(cccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 3 & - 2 & 0 & -1 & -13\\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 \end(array) \right) \begin( آرایه) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\4r_3+3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5+3r_2 \end(array) \rightarrow $$ $$ \rightarrow\ left(\ Begin (آرایه)(cccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 \end(آرایه) \راست) \begin(آرایه) (l) \phantom(0 )\\ \phantom(0)\\\phantom(0) \\ r_4-r_3 \\ r_5+r_2 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 و 0 و 2 و 17\\ 0 و 4 و 1 و -5 و 7 و 8\\ 0 و 0 و -11 و 15 و -25 و -76\\ 0 و 0 و 0 و 0 و 0 و 0 و 0 \\ 0 و 0 و 0 و 0 و 0 و 0 \end(آرایه) \راست) $$

ما ماتریس توسعه یافته سیستم و ماتریس خود سیستم را به صورت گام به گام آورده ایم. رتبه ماتریس توسعه یافته سیستم برابر با سه، رتبه ماتریس سیستم نیز برابر با سه است. از آنجایی که سیستم شامل $n=5$ مجهولات است، یعنی. $\rang\widetilde(A)=\rang(A)\lt(n)$، پس با توجه به نتیجه قضیه کرونکر-کاپلی، این سیستم نامشخص است، یعنی. دارای بی نهایت راه حل

پاسخ: سیستم نامشخص است.

در قسمت دوم به نمونه هایی می پردازیم که اغلب در محاسبات استاندارد یا اوراق تستدر ریاضیات عالی: مطالعه سازگاری و حل SLAE بسته به مقادیر پارامترهای موجود در آن.

راه حل. A= . بیایید r(A) را پیدا کنیم. زیرا ماتریسو دارای مرتبه 3x4 است، سپس بالاترین مرتبه مینورها 3 است. علاوه بر این، همه مینورهای مرتبه سوم برابر با صفر هستند (خودتان آن را بررسی کنید). به معنای، r(A)< 3. Возьмем главный جزئی اولیه = -5-4 = -9 ≠ 0. بنابراین r(A) =2.

در نظر بگیریم ماتریس با = .

سوم جزئی سفارش ≠ 0. پس r(C) = 3.

از آنجایی که r(A) ≠ r(C)، پس سیستم ناسازگار است.

مثال 2.تعیین سازگاری یک سیستم معادلات

اگر این سیستم ثابت شد حل کنید.

راه حل.

A = ، C = . واضح است که r(A) ≤ 3، r(C) ≤ 4. از آنجایی که detC = 0، پس r(C)< 4. در نظر بگیریم جزئی سوم سفارش، واقع در گوشه سمت چپ بالای ماتریس A و C: = -23 ≠ 0. پس r(A) = r(C) = 3.

عدد ناشناخته در سیستم n=3. این به این معنی است که سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد. در این حالت معادله چهارم مجموع سه مورد اول را نشان می دهد و می توان از آن چشم پوشی کرد.

طبق فرمول های کرامر x 1 = -98/23، x 2 = -47/23، x 3 = -123/23 را دریافت می کنیم.

2.4. روش ماتریسی. روش گاوسی

سیستم nمعادلات خطیبا nمجهولات قابل حل است روش ماتریسیطبق فرمول X = A -1 B (در Δ ≠ 0) که از (2) با ضرب هر دو قسمت در A -1 بدست می آید.

مثال 1. حل یک سیستم معادلات

روش ماتریسی (در بخش 2.2 این سیستم با استفاده از فرمول های کرامر حل شد)

راه حل. Δ = 10 ≠ 0 A = - ماتریس غیر منحط.

= (این مورد را خودتان با انجام محاسبات لازم بررسی کنید).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x=.

پاسخ: .

از نقطه نظر عملیروش و فرمول های ماتریسی کرامربا مقدار زیادی از محاسبات مرتبط هستند، بنابراین اولویت داده می شود روش گاوسی، که شامل حذف متوالی مجهولات است. برای انجام این کار، سیستم معادلات به یک سیستم معادل با یک ماتریس توسعه یافته مثلثی کاهش می یابد (همه عناصر زیر قطر اصلی برابر با صفر هستند). به این اعمال حرکت رو به جلو می گویند. از سیستم مثلثی به دست آمده، متغیرها با استفاده از تعویض های متوالی (معکوس) یافت می شوند.

مثال 2. سیستم را با استفاده از روش گاوس حل کنید

(در بالا، این سیستم با استفاده از فرمول کرامر و روش ماتریس حل شد).

راه حل.

حرکت مستقیم اجازه دهید ماتریس توسعه یافته را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل مثلثی کاهش دهیم:

~ ~ ~ ~ .

ما گرفتیم سیستم

حرکت معکوساز آخرین معادله ای که پیدا می کنیم ایکس 3 = -6 و این مقدار را با معادله دوم جایگزین کنید:

ایکس 2 = - 11/2 - 1/4ایکس 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

ایکس 1 = 2 -ایکس 2 + ایکس 3 = 2+4-6 = 0.

پاسخ: .

2.5. حل کلی یک سیستم معادلات خطی

اجازه دهید یک سیستم معادلات خطی داده شود = b i(من=). اجازه دهید r(A) = r(C) = r، یعنی. سیستم مشارکتی است هر جزئی از مرتبه r غیر از صفر است جزئی اولیهبدون از دست دادن کلیت، فرض می کنیم که پایه جزئی در اولین ردیف و ستون r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) ماتریس A قرار دارد. آخرین m-rدر معادلات سیستم، سیستم کوتاه شده را می نویسیم:

که معادل اصلی است. مجهولات را نام ببریم x 1،….x rاساسی، و x r +1،…، x rآزاد کنید و عبارت های حاوی مجهولات رایگان را به سمت راست معادلات سیستم کوتاه منتقل کنید. ما یک سیستم با توجه به مجهولات اساسی بدست می آوریم:

که برای هر مجموعه ای از مقادیر مجهولات رایگان x r +1 = С 1،…، x n = С n-rتنها یک راه حل دارد x 1 (C 1،…، C n-r)،…، x r (C 1،…، C n-r)،توسط قانون کرامر پیدا شد.

راه حل مربوطهکوتاه شده و بنابراین سیستم اصلی به شکل زیر است:

X(C 1،…، C n-r) = - راه حل کلی سیستم

اگر در جواب کلی مقداری عددی به مجهولات آزاد نسبت دهیم، جوابی برای سیستم خطی به دست می آوریم که به آن جواب جزئی می گویند.

مثال. ایجاد سازگاری و یافتن یک راه حل کلی برای سیستم

راه حل. A = ، C = .

بنابراین چگونه r(A)= r(C) = 2 (این را خودتان ببینید)، سپس سیستم اصلی سازگار است و تعداد بی نهایت راه حل دارد (از r< 4).