Exemplos de sistemas de equações lineares: método de solução. Métodos para resolver um sistema de equações algébricas lineares Um exemplo de resolução de um sistema de juntas

Resolver sistemas de equações algébricas lineares é um dos principais problemas da álgebra linear. Esta tarefa é de grande importância prática na resolução de problemas científicos e técnicos, além disso, é auxiliar na implementação de muitos algoritmos de matemática computacional, física matemática e processamento de resultados de estudos experimentais.

Sistema de equações algébricas linearesé chamado um sistema de equações da forma: (1)

Onde – desconhecido; - membros livres.

Resolvendo o sistema de equações(1) nomeie qualquer conjunto de números que, sendo colocado no sistema (1) no lugar de números desconhecidos converte todas as equações do sistema em verdadeiras igualdades numéricas.

O sistema de equações é chamado articulação se tiver pelo menos uma solução, e incompatível se não tiver soluções.

O sistema conjunto de equações é chamado certo se tiver uma única solução, e incerto se tiver pelo menos duas soluções distintas.

Os dois sistemas de equações são chamados equivalente ou equivalente se tiverem o mesmo conjunto de soluções.

O sistema (1) é chamado homogêneo se os termos livres forem iguais a zero:

Um sistema homogêneo é sempre compatível - tem solução (talvez não o único).

Se no sistema (1) , então temos o sistema n equações lineares com n desconhecido: Onde – desconhecido; são os coeficientes para as incógnitas, - membros livres.

Um sistema linear pode ter uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma.

Considere um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas

Se então o sistema tem uma solução única;

E se então o sistema não tem soluções;

E se então o sistema tem um número infinito de soluções.

Exemplo. O sistema tem uma solução única para um par de números

O sistema tem um número infinito de soluções. Por exemplo, as soluções desse sistema são pares de números e assim por diante.

O sistema não tem soluções, pois a diferença de dois números não pode assumir dois valores diferentes.

Definição. Determinante de segunda ordem chamou uma expressão como:

.

Designe o determinante com o símbolo D.

Números uma 11, …, uma 22 são chamados de elementos determinantes.

Diagonal formada por elementos uma 11 ; uma 22 chamada a Principal, a diagonal formada pelos elementos uma 12 ; uma 21 − lado.

Assim, o determinante de segunda ordem é igual à diferença entre os produtos dos elementos das diagonais principal e secundária.

Observe que a resposta é um número.

Exemplo. Vamos calcular os determinantes:

Considere um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas: Onde X 1, X 2 – desconhecido; uma 11 , …, uma 22 - coeficientes para incógnitas, b 1 , b 2 - membros livres.

Se um sistema de duas equações em duas incógnitas tem uma solução única, então ela pode ser encontrada usando determinantes de segunda ordem.

Definição. O determinante, composto pelos coeficientes das incógnitas, é chamado qualificador do sistema: D=.

As colunas do determinante D são os coeficientes, respectivamente, para X 1 e em , X 2. Vamos apresentar dois determinantes adicionais, que são obtidos a partir do determinante do sistema substituindo uma das colunas por uma coluna de membros livres: D 1 = D 2 = .

Teorema 14(Cramer, para o caso n=2). Se o determinante D do sistema for diferente de zero (D¹0), então o sistema tem uma solução única, que é encontrada pelas fórmulas:

Essas fórmulas são chamadas Fórmulas de Cramer.

Exemplo. Resolvemos o sistema de acordo com a regra de Cramer:

Solução. Vamos encontrar os números

Responda.

Definição. Determinante de terceira ordem chamou uma expressão como:

Elementos uma 11; uma 22 ; uma 33 - formam a diagonal principal.

Números uma 13; uma 22 ; uma 31 - forme uma diagonal lateral.

A entrada com mais inclui: o produto dos elementos na diagonal principal, os dois termos restantes são o produto dos elementos localizados nos vértices de triângulos com bases paralelas à diagonal principal. Termos com uma forma negativa da mesma forma em relação à diagonal secundária.

Exemplo. Vamos calcular os determinantes:

Onde – desconhecido; são os coeficientes para as incógnitas, - membros livres.

No caso de uma solução única, um sistema de 3 equações lineares com três incógnitas pode ser resolvido usando determinantes de 3ª ordem.

O determinante do sistema D tem a forma:

Introduzimos três determinantes adicionais:

Teorema 15(Cramer, para o caso n=3). Se o determinante D do sistema é diferente de zero, então o sistema tem uma solução única, que é encontrada pelas fórmulas de Cramer:

Exemplo. Vamos resolver o sistema de acordo com a regra de Cramer.

Solução. Vamos encontrar os números

Vamos usar as fórmulas de Cramer e encontrar uma solução para o sistema original:

Responda.

Observe que o teorema de Cramer é aplicável quando o número de equações é igual ao número de incógnitas e quando o determinante do sistema D é diferente de zero.

Se o determinante do sistema for igual a zero, nesse caso o sistema pode não ter soluções ou ter um número infinito de soluções. Esses casos estão sendo estudados separadamente.

Notamos apenas um caso. Se o determinante do sistema for igual a zero (D=0), e pelo menos um dos determinantes adicionais for diferente de zero, então o sistema não tem soluções, ou seja, é inconsistente.

O teorema de Cramer pode ser generalizado para o sistema n equações lineares com n desconhecido: Onde – desconhecido; são os coeficientes para as incógnitas, - membros livres.

Se o determinante de um sistema de equações lineares com incógnitas então a única solução do sistema é encontrada pelas fórmulas de Cramer:

Qualificador adicional obtido a partir do determinante D se ele contém uma coluna de coeficientes com uma incógnita XI substitua por uma coluna de membros gratuitos.

Observe que os determinantes D, D 1 , … , D n ter ordem n.

Método de Gauss para resolver sistemas de equações lineares

Um dos métodos mais comuns para resolver sistemas de equações algébricas lineares é o método de eliminação sucessiva de incógnitas. −Método de Gauss. Este método é uma generalização do método de substituição e consiste na eliminação sucessiva de incógnitas até restar uma equação com uma incógnita.

O método baseia-se em algumas transformações do sistema de equações lineares, resultando em um sistema equivalente ao sistema original. O algoritmo do método consiste em duas etapas.

A primeira fase é chamada em linha reta Método de Gauss. Consiste na eliminação sucessiva de incógnitas das equações. Para fazer isso, na primeira etapa, a primeira equação do sistema é dividida por (caso contrário, as equações do sistema são permutadas). Os coeficientes da equação reduzida resultante são denotados, multiplicados pelo coeficiente e subtraídos da segunda equação do sistema, excluindo assim da segunda equação (zerando o coeficiente ).

As demais equações são tratadas de forma semelhante e obtém-se um novo sistema, em todas as equações em que, a partir da segunda, os coeficientes em contêm apenas zeros. Obviamente, o novo sistema resultante será equivalente ao sistema original.

Se os novos coeficientes, em , não forem todos iguais a zero, podemos eliminá-los da terceira e das equações subsequentes da mesma maneira. Continuando esta operação para as seguintes incógnitas, o sistema é trazido para a chamada forma triangular:

Aqui, os símbolos e denotam os coeficientes numéricos e os termos livres que foram alterados como resultado das transformações.

A partir da última equação do sistema, determina-se , e depois por sucessivas substituições, as demais incógnitas.

Comente.Às vezes, como resultado de transformações, em qualquer uma das equações, todos os coeficientes e o lado direito passam a zero, ou seja, a equação passa a ser a identidade 0=0. Ao excluir tal equação do sistema, o número de equações é reduzido em comparação com o número de incógnitas. Tal sistema não pode ter uma solução única.

Se, no processo de aplicação do método de Gauss, qualquer equação se transformar em uma igualdade da forma 0 = 1 (os coeficientes para incógnitas se transformam em 0 e o lado direito assume um valor diferente de zero), então o sistema original não tem solução, uma vez que tal igualdade é incorreta para quaisquer valores desconhecidos.

Considere um sistema de três equações lineares com três incógnitas:

(2)

Onde – desconhecido; são os coeficientes para as incógnitas, - membros livres.

A resolução de sistemas de equações algébricas lineares (SLAE) é sem dúvida o tópico mais importante do curso de álgebra linear. Um grande número de problemas de todos os ramos da matemática são reduzidos a resolver sistemas de equações lineares. Esses fatores explicam o motivo da criação deste artigo. O material do artigo é selecionado e estruturado para que com sua ajuda você possa

• escolha o método ideal para resolver seu sistema de equações algébricas lineares,
• estudar a teoria do método escolhido,
• resolva seu sistema de equações lineares, considerando detalhadamente as soluções de exemplos e problemas típicos.

Breve descrição do material do artigo.

Primeiro, damos todas as definições e conceitos necessários e introduzimos algumas notações.

Em seguida, consideramos métodos para resolver sistemas de equações algébricas lineares em que o número de equações é igual ao número de variáveis ​​desconhecidas e que possuem uma solução única. Primeiro, vamos nos concentrar no método de Cramer, em segundo lugar, mostraremos o método matricial para resolver tais sistemas de equações e, em terceiro lugar, analisaremos o método de Gauss (o método de eliminação sucessiva de variáveis ​​desconhecidas). Para consolidar a teoria, definitivamente resolveremos vários SLAEs de várias maneiras.

Em seguida, passamos à resolução de sistemas de equações algébricas lineares de forma geral, em que o número de equações não coincide com o número de variáveis ​​desconhecidas ou a matriz principal do sistema é degenerada. Formulamos o teorema de Kronecker-Capelli, que nos permite estabelecer a compatibilidade dos SLAEs. Analisemos a solução de sistemas (no caso de sua compatibilidade) usando o conceito de base menor de uma matriz. Também consideraremos o método de Gauss e descreveremos em detalhes as soluções dos exemplos.

Certifique-se de se debruçar sobre a estrutura da solução geral de sistemas homogêneos e não homogêneos de equações algébricas lineares. Vamos dar o conceito de sistema fundamental de soluções e mostrar como a solução geral do SLAE é escrita usando os vetores do sistema fundamental de soluções. Para uma melhor compreensão, vejamos alguns exemplos.

Em conclusão, consideramos sistemas de equações que são reduzidos a lineares, bem como vários problemas, na solução dos quais surgem SLAEs.

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Definições, conceitos, designações.

Vamos considerar sistemas de p equações algébricas lineares com n variáveis ​​desconhecidas (p pode ser igual a n ) da forma

Variáveis ​​desconhecidas, - coeficientes (alguns números reais ou complexos), - membros livres (também números reais ou complexos).

Esta forma de SLAE é chamada coordenada.

NO forma de matriz este sistema de equações tem a forma ,
Onde - a matriz principal do sistema, - a coluna-matriz de variáveis ​​desconhecidas, - a coluna-matriz de membros livres.

Se adicionarmos à matriz A como a (n + 1)-ésima coluna a coluna-matriz de termos livres, obtemos o chamado matriz expandida sistemas de equações lineares. Normalmente, a matriz aumentada é denotada pela letra T, e a coluna de membros livres é separada por uma linha vertical do restante das colunas, ou seja,

Resolvendo um sistema de equações algébricas lineares chamado de conjunto de valores de variáveis ​​desconhecidas, que transforma todas as equações do sistema em identidades. A equação da matriz para os valores dados das variáveis ​​desconhecidas também se transforma em uma identidade.

Se um sistema de equações tem pelo menos uma solução, então ele é chamado articulação.

Se o sistema de equações não tem soluções, então ele é chamado incompatível.

Se um SLAE tem uma solução única, então é chamado certo; se houver mais de uma solução, então - incerto.

Se os termos livres de todas as equações do sistema são iguais a zero , então o sistema é chamado homogêneo, por outro lado - heterogêneo.

Solução de sistemas elementares de equações algébricas lineares.

Se o número de equações do sistema for igual ao número de variáveis ​​desconhecidas e o determinante de sua matriz principal não for igual a zero, chamaremos esses SLAEs elementar. Tais sistemas de equações têm uma solução única e, no caso de um sistema homogêneo, todas as variáveis ​​desconhecidas são iguais a zero.

Começamos a estudar esse SLAE no ensino médio. Ao resolvê-los, pegamos uma equação, expressamos uma variável desconhecida em termos de outras e a substituímos nas equações restantes, depois pegamos a próxima equação, expressamos a próxima variável desconhecida e a substituímos em outras equações, e assim por diante. Ou usaram o método de adição, ou seja, adicionaram duas ou mais equações para eliminar algumas variáveis ​​desconhecidas. Não nos deteremos em detalhes sobre esses métodos, pois são essencialmente modificações do método de Gauss.

Os principais métodos de resolução de sistemas elementares de equações lineares são o método de Cramer, o método matricial e o método de Gauss. Vamos classificá-los.

Resolução de sistemas de equações lineares pelo método de Cramer.

Precisamos resolver um sistema de equações algébricas lineares

em que o número de equações é igual ao número de variáveis ​​desconhecidas e o determinante da matriz principal do sistema é diferente de zero, ou seja, .

Seja o determinante da matriz principal do sistema, e são determinantes de matrizes que são obtidas de A substituindo 1º, 2º, …, enésimo coluna respectivamente para a coluna de membros livres:

Com tal notação, as variáveis ​​desconhecidas são calculadas pelas fórmulas do método de Cramer como . É assim que a solução de um sistema de equações algébricas lineares é encontrada pelo método de Cramer.

Exemplo.

Método Cramer .

Solução.

A matriz principal do sistema tem a forma . Calcule seu determinante (se necessário, veja o artigo):

Como o determinante da matriz principal do sistema é diferente de zero, o sistema tem uma solução única que pode ser encontrada pelo método de Cramer.

Componha e calcule os determinantes necessários (o determinante é obtido substituindo a primeira coluna da matriz A por uma coluna de membros livres, o determinante - substituindo a segunda coluna por uma coluna de membros livres, - substituindo a terceira coluna da matriz A por uma coluna de membros livres ):

Encontrar variáveis ​​desconhecidas usando fórmulas :

Responda:

A principal desvantagem do método de Cramer (se pode ser chamado de desvantagem) é a complexidade de calcular os determinantes quando o número de equações do sistema é maior que três.

Resolução de sistemas de equações algébricas lineares pelo método matricial (utilizando a matriz inversa).

Seja o sistema de equações algébricas lineares dado na forma matricial , onde a matriz A tem dimensão n por n e seu determinante é diferente de zero.

Como , então a matriz A é invertível, ou seja, existe uma matriz inversa . Se multiplicarmos ambas as partes da igualdade pela esquerda, obtemos uma fórmula para encontrar a matriz coluna de variáveis ​​desconhecidas. Assim, obtivemos a solução do sistema de equações algébricas lineares pelo método matricial.

Exemplo.

Resolver Sistema de Equações Lineares método matricial.

Solução.

Vamos reescrever o sistema de equações na forma matricial:

Porque

então o SLAE pode ser resolvido pelo método matricial. Usando a matriz inversa, a solução para este sistema pode ser encontrada como .

Vamos construir uma matriz inversa usando uma matriz de complementos algébricos dos elementos da matriz A (se necessário, veja o artigo):

Resta calcular - a matriz de variáveis ​​desconhecidas multiplicando a matriz inversa na coluna-matriz de membros livres (se necessário, veja o artigo):

Responda:

ou em outra notação x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

O principal problema em encontrar soluções para sistemas de equações algébricas lineares pelo método matricial é a complexidade de encontrar a matriz inversa, principalmente para matrizes quadradas de ordem superior à terceira.

Resolução de sistemas de equações lineares pelo método de Gauss.

Suponha que precisamos encontrar uma solução para um sistema de n equações lineares com n variáveis ​​desconhecidas
cujo determinante da matriz principal é diferente de zero.

A essência do método de Gauss consiste na exclusão sucessiva de variáveis ​​desconhecidas: primeiro, x 1 é excluído de todas as equações do sistema, a partir da segunda, depois x 2 é excluído de todas as equações, a partir da terceira, e assim sucessivamente, até que apenas a variável desconhecida x n permanece na última equação. Tal processo de transformação das equações do sistema para a eliminação sucessiva de variáveis ​​desconhecidas é chamado método de Gauss direto. Após a conclusão da execução do método gaussiano, x n é encontrado a partir da última equação, x n-1 é calculado a partir da penúltima equação usando este valor, e assim por diante, x 1 é encontrado a partir da primeira equação. O processo de calcular variáveis ​​desconhecidas ao passar da última equação do sistema para a primeira é chamado método de Gauss reverso.

Vamos descrever brevemente o algoritmo para eliminar variáveis ​​desconhecidas.

Vamos supor que , já que sempre podemos conseguir isso reorganizando as equações do sistema. Excluímos a variável desconhecida x 1 de todas as equações do sistema, começando pela segunda. Para fazer isso, adicione a primeira equação multiplicada por à segunda equação do sistema, adicione a primeira multiplicada por à terceira equação e assim por diante, adicione a primeira multiplicada por à enésima equação. O sistema de equações após tais transformações terá a forma

onde um .

Chegaríamos ao mesmo resultado se expressássemos x 1 em termos de outras variáveis ​​desconhecidas na primeira equação do sistema e substituíssemos a expressão resultante em todas as outras equações. Assim, a variável x 1 é excluída de todas as equações, a partir da segunda.

Em seguida, agimos de forma semelhante, mas apenas com uma parte do sistema resultante, que está marcado na figura

Para fazer isso, adicione o segundo multiplicado por à terceira equação do sistema, adicione o segundo multiplicado por à quarta equação e assim por diante, adicione o segundo multiplicado por à enésima equação. O sistema de equações após tais transformações terá a forma

onde um . Assim, a variável x 2 é excluída de todas as equações, a partir da terceira.

Em seguida, procedemos à eliminação da incógnita x 3, agindo de forma semelhante com a parte do sistema marcada na figura

Então continuamos o curso direto do método de Gauss até que o sistema tome a forma

A partir deste momento, começamos o curso inverso do método de Gauss: calculamos x n da última equação como , usando o valor obtido x n encontramos x n-1 da penúltima equação, e assim por diante, encontramos x 1 da primeira equação.

Exemplo.

Resolver Sistema de Equações Lineares Método Gaussiano.

Solução.

Vamos excluir a variável desconhecida x 1 da segunda e terceira equações do sistema. Para fazer isso, para ambas as partes da segunda e terceira equações, adicionamos as partes correspondentes da primeira equação, multiplicadas por e por, respectivamente:

Agora excluímos x 2 da terceira equação adicionando às suas partes esquerda e direita as partes esquerda e direita da segunda equação, multiplicadas por:

Com isso, o curso direto do método de Gauss é concluído, começamos o curso reverso.

Da última equação do sistema de equações resultante, encontramos x 3:

Da segunda equação obtemos .

Da primeira equação encontramos a variável desconhecida restante e isso completa o curso inverso do método de Gauss.

Responda:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Resolução de sistemas de equações algébricas lineares de forma geral.

No caso geral, o número de equações do sistema p não coincide com o número de variáveis ​​desconhecidas n:

Esses SLAEs podem não ter soluções, ter uma única solução ou ter infinitas soluções. Esta afirmação também se aplica a sistemas de equações cuja matriz principal é quadrada e degenerada.

Teorema de Kronecker-Capelli.

Antes de encontrar uma solução para um sistema de equações lineares, é necessário estabelecer sua compatibilidade. A resposta à pergunta quando o SLAE é compatível e quando é incompatível, dá Teorema de Kronecker-Capelli:
para um sistema de p equações com n incógnitas (p pode ser igual a n ) para ser consistente é necessário e suficiente que o posto da matriz principal do sistema seja igual ao posto da matriz estendida, ou seja, Posto( A)=Classificação(T) .

Consideremos como exemplo a aplicação do teorema de Kronecker-Cappelli para determinar a compatibilidade de um sistema de equações lineares.

Exemplo.

Descubra se o sistema de equações lineares tem soluções.

Solução.

. Usemos o método de fazer fronteira com menores. Menor de segunda ordem diferente de zero. Vamos examinar os menores de terceira ordem que o cercam:

Como todos os menores de terceira ordem limítrofes são iguais a zero, o posto da matriz principal é dois.

Por sua vez, o posto da matriz aumentada é igual a três, pois o menor de terceira ordem

diferente de zero.

Nesse caminho, Rang(A) , portanto, de acordo com o teorema de Kronecker-Capelli, podemos concluir que o sistema original de equações lineares é inconsistente.

Responda:

Não há sistema de solução.

Assim, aprendemos a estabelecer a inconsistência do sistema usando o teorema de Kronecker-Capelli.

Mas como encontrar a solução do SLAE se sua compatibilidade for estabelecida?

Para fazer isso, precisamos do conceito de base menor de uma matriz e do teorema sobre o posto de uma matriz.

O menor de maior ordem da matriz A, diferente de zero, é chamado básico.

Segue da definição da base menor que sua ordem é igual ao posto da matriz. Para uma matriz A diferente de zero, pode haver vários menores básicos; sempre há um menor básico.

Por exemplo, considere a matriz .

Todos os menores de terceira ordem desta matriz são iguais a zero, pois os elementos da terceira linha desta matriz são a soma dos elementos correspondentes da primeira e segunda linhas.

Os seguintes menores de segunda ordem são básicos, pois são diferentes de zero

Menores não são básicos, pois são iguais a zero.

Teorema do posto matricial.

Se o posto de uma matriz de ordem p por n é r, então todos os elementos das linhas (e colunas) da matriz que não formam a base menor escolhida são expressos linearmente em termos dos elementos correspondentes das linhas (e colunas) ) que formam a base menor.

O que o teorema do posto matricial nos dá?

Se, pelo teorema de Kronecker-Capelli, estabelecemos a compatibilidade do sistema, escolhemos qualquer menor básico da matriz principal do sistema (sua ordem é igual a r) e excluímos do sistema todas as equações que não formam o menor básico escolhido. O SLAE obtido desta forma será equivalente ao original, pois as equações descartadas ainda são redundantes (de acordo com o teorema do posto da matriz, elas são uma combinação linear das equações restantes).

Como resultado, após descartar as equações excessivas do sistema, dois casos são possíveis.

Se o número de equações r no sistema resultante for igual ao número de variáveis ​​desconhecidas, então ele será definitivo e a única solução pode ser encontrada pelo método de Cramer, pelo método matricial ou pelo método de Gauss.

Exemplo.

.

Solução.

Rank da matriz principal do sistema é igual a dois, pois o menor de segunda ordem diferente de zero. Classificação da matriz estendida também é igual a dois, pois o único menor de terceira ordem é igual a zero

e o menor de segunda ordem considerado acima é diferente de zero. Com base no teorema de Kronecker-Capelli, pode-se afirmar a compatibilidade do sistema original de equações lineares, pois Rank(A)=Rank(T)=2 .

Como base menor, tomamos . É formado pelos coeficientes da primeira e segunda equações:


A terceira equação do sistema não participa da formação do menor básico, então a excluímos do sistema com base no teorema do posto da matriz:


Assim, obtivemos um sistema elementar de equações algébricas lineares. Vamos resolvê-lo pelo método de Cramer:


Responda:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Se o número de equações r no SLAE resultante for menor que o número de variáveis ​​desconhecidas n , deixamos os termos que formam o menor básico nas partes esquerdas das equações e transferimos os termos restantes para as partes direitas das equações do sistema de sinal oposto.

As variáveis ​​desconhecidas (existem r delas) que permanecem nos lados esquerdos das equações são chamadas a Principal.

Variáveis ​​desconhecidas (existem n - r delas) que acabaram no lado direito são chamadas gratuitamente.

Agora assumimos que as variáveis ​​desconhecidas livres podem assumir valores arbitrários, enquanto as r variáveis ​​desconhecidas principais serão expressas em termos das variáveis ​​desconhecidas livres de uma forma única. Sua expressão pode ser encontrada resolvendo o SLAE resultante pelo método de Cramer, pelo método da matriz ou pelo método de Gauss.

Vamos dar um exemplo.

Exemplo.

Resolva o sistema de equações algébricas lineares .

Solução.

Encontre o posto da matriz principal do sistema pelo método dos menores limítrofes. Tomemos um 1 1 = 1 como um menor de primeira ordem diferente de zero. Vamos começar a procurar um menor de segunda ordem diferente de zero em torno deste menor:


Então encontramos um menor não nulo de segunda ordem. Vamos começar a procurar por um menor limítrofe diferente de zero da terceira ordem:


Assim, a classificação da matriz principal é três. O posto da matriz aumentada também é igual a três, ou seja, o sistema é consistente.

O menor não nulo de terceira ordem encontrado será considerado o básico.

Para maior clareza, mostramos os elementos que formam a base menor:


Deixamos os termos que participam do menor básico no lado esquerdo das equações do sistema e transferimos o resto com sinais opostos para o lado direito:


Damos variáveis ​​desconhecidas livres x 2 e x 5 valores arbitrários, ou seja, tomamos , onde são números arbitrários. Neste caso, o SLAE assume a forma


Resolvemos o sistema elementar de equações algébricas lineares obtido pelo método de Cramer:


Consequentemente, .

Na resposta, não se esqueça de indicar variáveis ​​desconhecidas livres.

Responda:

Onde estão os números arbitrários.

Resumir.

Para resolver um sistema de equações algébricas lineares de forma geral, primeiro descobrimos sua compatibilidade usando o teorema de Kronecker-Capelli. Se o posto da matriz principal não for igual ao posto da matriz estendida, concluímos que o sistema é inconsistente.

Se o posto da matriz principal for igual ao posto da matriz estendida, escolhemos o menor básico e descartamos as equações do sistema que não participam da formação do menor básico escolhido.

Se a ordem da base menor for igual ao número de variáveis ​​desconhecidas, então o SLAE tem uma solução única, que pode ser encontrada por qualquer método conhecido por nós.

Se a ordem da base menor for menor que o número de variáveis ​​desconhecidas, deixamos os termos com as principais variáveis ​​desconhecidas no lado esquerdo das equações do sistema, transferimos os termos restantes para o lado direito e atribuímos valores arbitrários para as variáveis ​​desconhecidas livres. A partir do sistema de equações lineares resultantes, encontramos as principais variáveis ​​desconhecidas pelo método de Cramer, pelo método matricial ou pelo método de Gauss.

Método de Gauss para a resolução de sistemas de equações algébricas lineares de forma geral.

Usando o método de Gauss, pode-se resolver sistemas de equações algébricas lineares de qualquer tipo sem sua investigação preliminar de compatibilidade. O processo de eliminação sucessiva de variáveis ​​desconhecidas permite tirar uma conclusão sobre a compatibilidade e inconsistência do SLAE e, caso exista uma solução, permite encontrá-la.

Do ponto de vista do trabalho computacional, o método gaussiano é preferível.

Veja sua descrição detalhada e exemplos analisados ​​no artigo Método de Gauss para resolver sistemas de equações algébricas lineares de forma geral.

Registo da solução geral de sistemas algébricos lineares homogéneos e não homogéneos utilizando os vectores do sistema fundamental de soluções.

Nesta seção, focaremos em sistemas conjuntos homogêneos e não homogêneos de equações algébricas lineares que possuem um número infinito de soluções.

Vamos lidar primeiro com sistemas homogêneos.

Sistema de decisão fundamental Um sistema homogêneo de p equações algébricas lineares com n variáveis ​​desconhecidas é um conjunto de (n – r) soluções linearmente independentes desse sistema, onde r é a ordem da base menor da matriz principal do sistema.

Se designarmos soluções linearmente independentes de um SLAE homogêneo como X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) são colunas de matrizes de dimensão n por 1 ), então a solução geral deste sistema homogêneo é representada como uma combinação linear de vetores do sistema fundamental de soluções com coeficientes constantes arbitrários С 1 , С 2 , …, С (n-r), ou seja, .

O que significa o termo solução geral de um sistema homogêneo de equações algébricas lineares (oroslau)?

O significado é simples: a fórmula especifica todas as soluções possíveis para o SLAE original, ou seja, tomando qualquer conjunto de valores de constantes arbitrárias C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , de acordo com a fórmula que obterá uma das soluções do SLAE homogêneo original.

Assim, se encontrarmos um sistema fundamental de soluções, podemos definir todas as soluções desse SLAE homogêneo como .

Vamos mostrar o processo de construção de um sistema fundamental de soluções para um SLAE homogêneo.

Escolhemos a menor básica do sistema de equações lineares original, excluímos todas as outras equações do sistema e transferimos para o lado direito das equações do sistema com sinais opostos todos os termos contendo variáveis ​​desconhecidas livres. Vamos dar às variáveis ​​desconhecidas livres os valores 1,0,0,…,0 e calcular as principais incógnitas resolvendo o sistema elementar de equações lineares resultante de qualquer maneira, por exemplo, pelo método de Cramer. Assim, X(1) será obtido - a primeira solução do sistema fundamental. Se dermos às incógnitas livres os valores 0,1,0,0,…,0 e calcularmos as incógnitas principais, obtemos X (2) . E assim por diante. Se dermos às variáveis ​​desconhecidas livres os valores 0,0,…,0,1 e calcularmos as principais incógnitas, obtemos X (n-r) . Assim será construído o sistema fundamental de soluções do SLAE homogêneo e sua solução geral pode ser escrita na forma .

Para sistemas não homogêneos de equações algébricas lineares, a solução geral é representada como

Vejamos exemplos.

Exemplo.

Encontre o sistema fundamental de soluções e a solução geral de um sistema homogêneo de equações algébricas lineares .

Solução.

O posto da matriz principal de sistemas homogêneos de equações lineares é sempre igual ao posto da matriz estendida. Vamos encontrar o posto da matriz principal pelo método de franjas menores. Como um menor não nulo de primeira ordem, tomamos o elemento a 1 1 = 9 da matriz principal do sistema. Encontre o menor não-zero limítrofe de segunda ordem:

Encontra-se um menor de segunda ordem, diferente de zero. Vamos percorrer os menores de terceira ordem que o circundam em busca de um diferente de zero:

Todos os menores limítrofes da terceira ordem são iguais a zero, portanto, o posto da matriz principal e estendida é dois. Vamos pegar o menor básico. Para maior clareza, notamos os elementos do sistema que o formam:

A terceira equação do SLAE original não participa da formação do menor básico, portanto, pode ser excluída:

Deixamos os termos que contêm as principais incógnitas no lado direito das equações e transferimos os termos com incógnitas livres para o lado direito:

Vamos construir um sistema fundamental de soluções para o sistema homogêneo original de equações lineares. O sistema fundamental de soluções deste SLAE consiste em duas soluções, pois o SLAE original contém quatro variáveis ​​desconhecidas, e a ordem de sua menor básica é duas. Para encontrar X (1), damos às variáveis ​​desconhecidas livres os valores x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, então encontramos as principais incógnitas do sistema de equações
.

Vamos resolvê-lo pelo método de Cramer:

Nesse caminho, .

Agora vamos construir X (2). Para fazer isso, damos às variáveis ​​desconhecidas livres os valores x 2 \u003d 0, x 4 \u003d 1, então encontramos as principais incógnitas do sistema de equações lineares
.

Vamos usar o método de Cramer novamente:

Nós temos .

Então temos dois vetores do sistema fundamental de soluções e , agora podemos escrever a solução geral de um sistema homogêneo de equações algébricas lineares:

, onde C 1 e C 2 são números arbitrários., são iguais a zero. Também tomamos o menor como o básico, excluímos a terceira equação do sistema e transferimos os termos com incógnitas livres para o lado direito das equações do sistema:

Para encontrar, damos às variáveis ​​desconhecidas livres os valores x 2 \u003d 0 e x 4 \u003d 0, então o sistema de equações assume a forma , a partir do qual encontramos as principais variáveis ​​desconhecidas usando o método Cramer:

Nós temos , Consequentemente,

onde C 1 e C 2 são números arbitrários.

Deve-se notar que as soluções de um sistema homogêneo indefinido de equações algébricas lineares geram espaço linear

Solução.

A equação canônica de um elipsóide em um sistema de coordenadas cartesianas retangular tem a forma . Nossa tarefa é determinar os parâmetros a , b e c . Como o elipsóide passa pelos pontos A, B e C, ao substituir suas coordenadas na equação canônica do elipsóide, ele deve se transformar em uma identidade. Assim, obtemos um sistema de três equações:

Indicar , então o sistema se torna um sistema de equações algébricas lineares .

Vamos calcular o determinante da matriz principal do sistema:

Como é diferente de zero, podemos encontrar a solução pelo método de Cramer:
). Obviamente, x = 0 e x = 1 são as raízes desse polinômio. quociente da divisão no é . Assim, temos uma decomposição e a expressão original terá a forma .

Vamos usar o método dos coeficientes indefinidos.

Igualando os coeficientes correspondentes dos numeradores, chegamos a um sistema de equações algébricas lineares . Sua solução nos dará os coeficientes indefinidos desejados A, B, C e D.

Resolvemos o sistema usando o método de Gauss:

No curso inverso do método de Gauss, encontramos D = 0, C = -2, B = 1, A = 1 .

Nós temos

Responda:

.

Encontrando soluções para um sistema linear
Aplicativos portáteis do Windows em Bodrenko.com

§2. Encontrando soluções para um sistema linear

O teorema de Kronecker-Capelli estabelece uma condição necessária e suficiente para a compatibilidade de um sistema linear, mas não fornece uma forma de encontrar soluções para este sistema.
Nesta seção, procuraremos soluções para o sistema linear (3.1). Primeiro consideramos o caso mais simples de um sistema quadrático de equações lineares com um determinante diferente de zero da matriz principal, e então passamos a encontrar o conjunto de todas as soluções do sistema linear geral da forma (3.1).
1. Sistema quadrático de equações lineares com determinante não nulo da matriz principal. Seja dado um sistema quadrático de equações lineares

com um determinante diferente de zero Δ da matriz principal

Vamos provar que tal sistema tem uma solução única e encontrar essa solução. Primeiro, provamos que o sistema (3.10) pode ter apenas uma solução (isto é, provamos a unicidade de uma solução para o sistema (3.10) sob a suposição de que ela existe).
Suponha que existam quaisquer n números x 1 , x 2 ,..., x n tais que quando esses números são substituídos no sistema (3.10), todas as equações desse sistema se transformam em identidades (ou seja, existe alguma solução para o sistema ( 3.10) x 1, x 2,..., xn). Então, multiplicando as identidades (3.10), respectivamente, pelos complementos algébricos A 1j , A 2j ,..., A nj dos elementos j-ro da coluna do determinante Δ da matriz (3.11) e então somando o resultado identidades, obtemos (para qualquer número j, igual a 1, 2,..., n)

Dado que a soma dos produtos dos elementos da i-ésima coluna e os correspondentes complementos algébricos dos elementos da coluna j-ro é zero para i ≠ j e é igual ao determinante Δ da matriz (3.11) para i = j (ver propriedade 4° do parágrafo 4 do § 2 do cap. .1), obtemos da última igualdade

x j Δ = b 1 A 1j + b 2 A 2j + ... + b n A nj . (3.12)

Denote pelo símboloΔ j (b eu ) (ou, mais resumidamente, o símboloΔ j ) o determinante obtido do determinanteΔ da matriz principal (3.11) substituindo sua j-ésima coluna por uma coluna de termos livres b 1 , b 2 ,...,b n (mantendo todas as outras colunas inalteradas Δ ).
Observe que é o determinante Δ j (b i) do lado direito de (3.12) (para verificar isso, basta escrever a expansão do determinante Δ j (b i) em termos dos elementos da i-ésima coluna) , e essa igualdade toma a forma

Δxj = Δj (3,13)

Como o determinante Δ da matriz (3.11) é diferente de zero, as igualdades (3.13) são equivalentes às relações

Então nós provamos que se a solução é x 1 , x 2 ,...,X n sistema (3.10) com determinanteΔ matriz principal (3.11) diferente de zero existe, então esta solução é determinada exclusivamente pelas fórmulas (3.14).
As fórmulas (3.14) são chamadas Fórmulas de Cramer.
Ressaltamos mais uma vez que as fórmulas de Cramer até agora foram obtidas por nós sob a suposição da existência de uma solução e provamos sua unicidade.
Resta provar a existência de uma solução para o sistema (3.10). Para isso, em virtude do teorema de Kronecker-Capelli, basta provar que o posto da matriz principal (3.11) é igual ao posto da matriz estendida (há outra maneira de provar a existência de uma solução para o sistema (3.10), que consiste em verificar que os números x 1 , x 2 ,. ..,х n , definidos pelas fórmulas de Cramer (3.14), transformam todas as equações do sistema (3.10)) em identidades

mas isso é óbvio, pois devido à relação Δ ≠ 0, o posto da matriz principal é igual a n, e o posto da matriz estendida contendo n linhas (3.15) não pode ser maior que o número n e, portanto, é igual ao posto da matriz principal.
Assim, fica totalmente provado que o sistema quadrático de equações lineares (3.10) com determinante não nulo da matriz principal tem, além disso, uma solução única determinada pelas fórmulas de Cramer (3.14).

A afirmação que provamos é ainda mais fácil de estabelecer de forma matricial. Para isso, substituímos (como no item 1 do § 1) o sistema (3.10) pela equação matricial equivalente a ele

AX = B, (3.16)

onde A é a matriz principal do sistema (3.11), e X e B são colunas,

o primeiro dos quais deve ser determinado, e o segundo é dado.
Como o determinante Δ da matriz A é diferente de zero, então existe uma matriz inversa A -1 (ver parágrafo 7 § 2 cap. 1).
Vamos supor que existe uma solução para o sistema (3.10), ou seja, existe uma coluna X que transforma a equação matricial (3.16) em uma identidade. Multiplicando a identidade indicada à esquerda pela matriz inversa A -1 teremos

A -1 (AX) \u003d A -1 B. (3.17)

Consideremos agora que, devido à propriedade associativa do produto de três matrizes (ver item 2 do § 1 cap. 1) e devido à relação A -1 A \u003d E, onde E é a matriz identidade ( veja o item 7 do § 2 cap. 1 ), A -1 (AX) \u003d (A -1 A)X \u003d EX \u003d X, então obtemos de (3.17)

X \u003d A -1 B. (3,18)

Expandindo a igualdade (3.18) e levando em consideração a forma da matriz inversa (ver fórmula A.41) do item 7 §2 cap. 1), obteremos as fórmulas de Cramer para os elementos da coluna X.
Assim, provamos que se existe uma solução da equação matricial (3.16), então ela é determinada unicamente pela relação (3.18), que é equivalente às fórmulas de Cramer.
É fácil verificar que a coluna X definida pela relação (3.18) é de fato uma solução da equação matricial (3.16),
ou seja, quando substituído nesta equação, ele a transforma em uma identidade. De fato, se a coluna X for definida por igualdade (3.18), então AX = A(A -1 B) = (AA -1)B = EB = B.
Assim, se o determinante Δ da matriz A for diferente de zero (ou seja, se esta matriz for não singular), então existe e, além disso, uma solução única da equação matricial (3.16) definida pela relação (3.18), que é equivalente às fórmulas de Cramer.
Exemplo. Vamos encontrar a solução do sistema quadrático de equações lineares

com um determinante diferente de zero da matriz principal

Porque o

então, em virtude das fórmulas de Cramer, a única solução do sistema considerado tem a forma x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, x 4 = 4.
O principal significado das fórmulas de Cramer é que elas dão uma expressão explícita para resolver um sistema quadrático de equações lineares (com determinante diferente de zero) em termos dos coeficientes das equações e termos livres. O uso prático das fórmulas de Cramer está associado a cálculos bastante complicados (para resolver um sistema de n equações com n incógnitas, deve-se calcular o (n + 1) determinante de ordem n). A isso deve-se acrescentar que, se os coeficientes das equações e os termos livres são apenas valores aproximados de quaisquer quantidades físicas medidas ou são arredondados no processo de cálculos, o uso das fórmulas de Cramer pode levar a grandes erros e em alguns casos é impraticável.
Na Seção 4, Capítulo 4, o método de regularização devido a A.N. Tikhonov e permitindo encontrar uma solução para um sistema linear com uma precisão correspondente à precisão de definir a matriz de coeficientes de equações e a coluna de termos livres, e no Cap. 6 dá uma ideia dos chamados métodos iterativos de resolução de sistemas lineares, que permitem resolver esses sistemas usando aproximações sucessivas das incógnitas.
Em conclusão, notamos que nesta subseção excluímos da consideração o caso em que o determinante Δ da matriz principal do sistema (3.10) se anula. Este caso estará contido na teoria geral de sistemas de m equações lineares em n incógnitas, apresentada na próxima seção.
2. Encontrar todas as soluções do sistema linear geral. Considere agora o sistema geral de m equações lineares com n incógnitas (3.1). Vamos supor que esse sistema seja consistente e que o posto de suas matrizes principal e estendida seja igual ao número r. Sem perda de generalidade, podemos supor que a base menor da matriz principal (3.2) está no canto superior esquerdo desta matriz (o caso geral é reduzido a este caso reorganizando equações e incógnitas no sistema (3.1).
Então as primeiras r linhas da matriz principal (3.2) e da matriz estendida (3.8) são as linhas básicas dessas matrizes (uma vez que os postos das matrizes principal e estendida são iguais a r, então a menor básica da matriz principal matriz será simultaneamente a menor básica da matriz estendida) , e, pelo teorema menor básico 1.6, cada uma das linhas da matriz estendida (1.8), começando da (r + 1)ª linha, é uma combinação linear de as primeiras r linhas desta matriz.
Em termos do sistema (3.1), isso significa que cada uma das equações deste sistema, a partir da (r + 1)ª equação, é uma combinação linear (ou seja, uma consequência) das primeiras r equações deste sistema ( ou seja, qualquer solução das primeiras r equações do sistema (3.1) transforma em identidades todas as equações subsequentes deste sistema).
Assim, basta encontrar todas as soluções apenas das primeiras r equações do sistema (3.1). Considere as primeiras r equações do sistema (3.1), escrevendo-as na forma

Se dermos as incógnitas x r+1 ,...,x n valores completamente arbitrários c r+1 ,...,c n , então o sistema (1.19) se transformará em um sistema quadrático de r equações lineares para r incógnitas x 1 , x 2 , ...,х r , e o determinante da matriz principal deste sistema é a base menor não nula da matriz (3.2). Em virtude dos resultados da subseção anterior, este sistema (3.19) tem uma solução única definida pelas fórmulas de Cramer, ou seja, para c r+1 ,...,c n , escolhido arbitrariamente, existe um conjunto único de r números c 1 ,...,c r , convertendo todas as equações do sistema (3.19) em identidades e definidas pelas fórmulas de Cramer.
Para escrever esta solução única, concordamos em denotar pelo símbolo M j (d i) o determinante obtido da base menor M da matriz (3.2) substituindo sua coluna j-ro por uma coluna de números d 1 , d 2 ,...,d i ,..., d r (com todas as outras colunas M inalteradas). Então, escrevendo a solução do sistema (3.19) usando as fórmulas de Cramer e usando a propriedade linear do determinante, obtemos

As fórmulas (3.20) expressam os valores das incógnitas x j = c j (j = 1, 2,......, r) em termos dos coeficientes das incógnitas, termos livres e parâmetros dados arbitrariamente com r+1 ,...., com n.
Vamos provar isso fórmulas (3.20) contêm qualquer solução do sistema (3.1). De fato, seja c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r , c (0) r+1 , ...,c (0) n uma solução arbitrária do sistema especificado . Então também é uma solução do sistema (3.19). Mas do sistema (3.19) as quantidades c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r , são determinadas exclusivamente em termos das quantidades c (0) r+1 , ..., c (0) n e precisamente pelas fórmulas de Cramer (3.20). Assim, com r+1 = c (0) r+1, ..., Com n = c (0) n fórmulas (3.20) nos dão apenas a solução considerada c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r , c (0) r+1, ..., c (0) n .
Comente. Se o posto r das matrizes principal e estendida do sistema (3.1) é igual ao número de incógnitas n, então neste caso as relações (3.20) se tornam as fórmulas

definindo uma solução única do sistema (3.1). Assim, o sistema (3.1) tem uma solução única (isto é, é definido) desde que o posto r de suas matrizes principal e estendida seja igual ao número de incógnitas n (e seja menor ou igual ao número de equações m ).
Exemplo. Encontre todas as soluções do sistema linear

É fácil verificar que o posto da matriz principal e da matriz estendida desse sistema é igual a dois (ou seja, esse sistema é consistente), e podemos supor que o menor básico M está no canto superior esquerdo da matriz principal. matriz, ou seja . Mas então, descartando as duas últimas equações e especificando arbitrariamente c 3 e c 4 , obtemos o sistema

x 1 - x 2 \u003d 4 - c 3 + c 4,

x 1 + x 2 \u003d 8 - 2c 3 - 3c 4,

do qual, em virtude das fórmulas de Cramer, obtemos os valores

x 1 \u003d c 1 \u003d 6 - 3/2 c 3 - c 4, x 2 \u003d c 2 \u003d 2 - 1/2 c 3 - 2c 4. (3.22)

Então quatro números

(6 - 3/2 c 3 - c 4 ,2 - 1/2 c 3 - 2c 4 ,c 3 , c 4) (3,23)

para valores arbitrariamente dados de c 3 e c 4 formam uma solução para o sistema (3.21), e a linha (3.23) contém todas as soluções deste sistema.

3. Propriedades do conjunto de soluções de um sistema homogéneo. Consideremos agora um sistema homogêneo de m equações lineares com n incógnitas (3.7), supondo, como acima, que a matriz (3.2) tem posto igual a r e que a base menor M está localizada no canto superior esquerdo desta matriz . Como desta vez todos os b i são iguais a zero, em vez das fórmulas (3.20) obtemos as seguintes fórmulas:

expressando os valores das incógnitas x j = c j (j = 1, 2,..., r) em termos dos coeficientes das incógnitas e valores arbitrariamente dados c r+1 ,...,c n . Em virtude do que foi provado na subsecção anterior fórmulas (3.24) contêm qualquer solução do sistema homogêneo (3.7).
Vamos agora verificar se o conjunto de todas as soluções do sistema homogêneo (3.7) forma um espaço linear.
Seja Х 1 = (x (1) 1 , x (1) 2 ,...,x (1) n) e Х 2 = (x (2) 1 , x (2) 2 ,...,x ( 2) n) são duas soluções arbitrárias do sistema homogêneo (3.7), e λ é qualquer número real. Devido ao fato de que cada solução do sistema homogêneo (3.7) é um elemento do espaço linear A n de todas as coleções ordenadas de n números, basta provar que cada uma das duas coleções

X 1 + X 2 = (x (1) 1 + x (2) 1 ,..., x (1) n + x (2) n)

λ X 1 = (λ x (1) 1 ,...,λ x (1) n)

também é uma solução do sistema homogêneo (3.7).
Consideremos qualquer equação do sistema (3.7), por exemplo, a i-ésima equação, e substituamos nesta equação os elementos desses conjuntos no lugar das incógnitas. Considerando que X 1 e X 2 são soluções de um sistema homogêneo, teremos

e isso significa que os conjuntos X 1 + X 2 e λ X 1 são soluções do sistema homogêneo (3.7).
Assim, o conjunto de todas as soluções do sistema homogêneo (3.7) forma um espaço linear, que denotamos pelo símbolo R.
Vamos encontrar a dimensão desse espaço R e construir uma base nele.
Vamos provar que, assumindo que o posto da matriz do sistema homogêneo (3.7) é igual a r, o espaço linear R de todas as soluções do sistema homogêneo (3.7) é isomórfico ao espaço linear A n-r de todas as coleções ordenadas de (n - r) números(o espaço A m foi introduzido no Exemplo 3, Seção 1, Seção 1, Capítulo 2).

Vamos atribuir a cada solução (c 1 ,...,c r , c r+1 ,...,c n) do sistema homogêneo (3.7) um elemento (c r+1 ,...,c n) do espaço MAS n-r Como os números c r+1 ,...,c n podem ser escolhidos arbitrariamente e, com a ajuda das fórmulas (3.24), determinar de forma única a solução do sistema (3.7) para cada escolha, a correspondência estabelecida por nós é um a um. Observe ainda que se os elementos c (1) r+1 ,...,c (1) n e c (2) r+1 ,...,c (2) n do espaço MAS n-r correspondem aos elementos (c (1) 1 ,...,c (1) r , c (1) r+1 ,...,c (1) n) e (c (2) 1 ,... ,c (2) r , c (2) r+1 ,...,c (2) n) do espaço R, então as fórmulas (3.24) implicam imediatamente que o elemento (c (1) r+1 + c (2 ) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n) corresponde ao elemento (c (1) 1 + c (2) 1 ,...,c (1) r + c (2) r , c (1) r+1 + c (2) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n), enquanto o elemento (λ c (1) r+ 1 ,... ,λ c (1) n) para qualquer λ real corresponde ao elemento (λ c (1) 1 ,...,λ c (1) r , λ c (1) r+1 ,.. .,λc(1)n). Isso prova que a correspondência que estabelecemos é um isomorfismo.
Assim, o espaço linear R de todas as soluções do sistema homogêneo (3.7) com n incógnitas e o posto da matriz principal igual a r é isomórfico ao espaço MAS n-r e, portanto, tem dimensão n - r.
Qualquer coleção de (n - r) soluções linearmente independentes do sistema homogêneo (3.7) forma (em virtude do Teorema 2.5) uma base no espaço R de todas as soluções e é chamada de coleção fundamental de soluções do sistema homogêneo (3.7) .
Para construir um conjunto fundamental de soluções, pode-se partir de qualquer base do espaço MAS n-r. O conjunto de soluções do sistema (3.7) correspondente a esta base, devido ao isomorfismo, será linearmente independente e, portanto, será um conjunto fundamental de soluções.
O conjunto fundamental de soluções do sistema (3.7) correspondente à base mais simples e 1 = (1, 0, 0,..., 0), e 2 = (1, 1, 0,..., 0), ... , e n-r = (0, 0, 0,..., 1) espaços MAS n-r e chamou o conjunto normal fundamental de soluções do sistema homogêneo (3.7).
Sob as suposições feitas acima sobre o posto e localização da base menor, em virtude das fórmulas (3.24), o conjunto fundamental normal de soluções do sistema homogêneo (3.7) tem a forma:

Pela definição de uma base, qualquer solução X do sistema homogêneo (3.7) pode ser representada como

X= C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n-r X n-r , (3.26)

onde C 1 , C 2 , ...,C n-r são algumas constantes. Como a fórmula (3.26) contém qualquer solução do sistema homogêneo (3.7), essa fórmula fornece a solução geral do sistema homogêneo considerado.
Exemplo. Considere um sistema de equações homogêneo:

correspondente ao sistema não homogêneo (3.21) considerado no exemplo ao final da subseção anterior. Lá descobrimos que o posto r da matriz deste sistema é igual a dois, e tomamos o menor no canto superior esquerdo da matriz indicada como a base menor.
Repetindo o raciocínio no final da subseção anterior, em vez das fórmulas (3.22), obtemos as relações

c 1 \u003d - 3/2 c 3 - c 4, c 2 \u003d - 1/2 c 3 - 2c 4,

válido para c 3 e c 4 arbitrariamente escolhidos. Usando essas relações (assumindo primeiro c 3 =1,c 4 =0, e então c 3 = 0,c 4 = 1) obtemos um conjunto fundamental normal de duas soluções do sistema (3.27):

X 1 \u003d (-3 / 2, -1 / 2,1,0), X 2 \u003d (-1, -2, 0,1). (3,28)

onde C 1 e C 2 são constantes arbitrárias.
Para concluir esta subseção, estabelecemos uma conexão entre as soluções do sistema linear não homogêneo (3.1) e o sistema homogêneo correspondente (3.7) (com os mesmos coeficientes nas incógnitas). Vamos provar as duas afirmações a seguir.
1°. A soma de qualquer solução do sistema não homogêneo (3.1) com qualquer solução do sistema homogêneo correspondente (3.7) é uma solução do sistema (3.1).
De fato, se c 1 ,...,c n é uma solução do sistema (3.1), e d 1 ,...,d n é uma solução do sistema homogêneo (3.7) correspondente a ele, então, substituindo em qualquer (por exemplo, na i-th ) a equação do sistema (3.1) em vez dos números desconhecidos c 1 + d 1 ,...,c n + d n , obtemos

Q.E.D.
2°. A diferença de duas soluções arbitrárias do sistema não homogêneo (3.1) é a solução do sistema homogêneo correspondente (3.7).
De fato, se c" 1 ,...,c" n e c" 1 ,...,c" n são duas soluções arbitrárias do sistema (3.1), então, substituindo em qualquer (por exemplo, no i-th ) equação do sistema (3.7) em vez dos números desconhecidos c" 1 - c" 1 ,...,c" n - c" n obtemos

Q.E.D.
Das afirmações comprovadas, conclui-se que, encontrando uma solução do sistema não homogêneo (3.1) e somando-a a cada solução do sistema homogêneo correspondente (3.7), obtemos todas as soluções do sistema não homogêneo (3.1).
Em outras palavras, a soma da solução particular do sistema não homogêneo (3.1) e a solução geral do sistema homogêneo correspondente (3.7) dá a solução geral do sistema não homogêneo (3.1).
Como uma solução particular do sistema não homogêneo (3.1), é natural tomar sua solução (supõe-se, como acima, que os postos das matrizes principal e estendida do sistema (3.1) são iguais a r e que a menor básica está no canto superior esquerdo dessas matrizes)

que é obtido se nas fórmulas (3.20) igualarmos a zero todos os números c r+1 ,...,c n . Adicionando esta solução particular à solução geral (3.26) do sistema homogêneo correspondente, obtemos a seguinte expressão para a solução geral do sistema não homogêneo (3.1):

X= X 0 + C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n-r X n-r . (3.30)

Nesta expressão, X 0 denota uma solução particular (3.29), C 1 , C 2 , ... , C n-r são constantes arbitrárias, e X 1 ,X 2 ,... ,X n-r são elementos do conjunto fundamental normal de soluções (3.25) sistema homogêneo correspondente.
Assim, para o sistema não homogêneo (3.21) considerado no final do parágrafo anterior, uma solução particular da forma (3.29) é igual a X 0 = (6,2,0, 0).
Adicionando esta solução particular à solução geral (3.28) do sistema homogêneo correspondente (3.27), obtemos a seguinte solução geral do sistema não homogêneo (3.21):

X \u003d (6.2.0, 0) + C 1 (-3 / 2, -1 / 2.1.0) + C 2 (-1, -2, 0,1). (3.31)

Aqui C 1 e C 2 são constantes arbitrárias.
4. Considerações finais sobre a solução de sistemas lineares. Os métodos desenvolvidos nas seções anteriores para resolver sistemas lineares
se deparar com a necessidade de calcular o posto de uma matriz e encontrar sua base menor. Uma vez encontrada a base menor, a solução se resume à técnica de calcular os determinantes e usar as fórmulas de Cramer.
A seguinte regra pode ser usada para calcular o posto de uma matriz: ao calcular o posto de uma matriz, deve-se passar de menores de ordens inferiores para menores de ordens superiores; além disso, se um menor diferente de zero M de ordem k já foi encontrado, então apenas os menores de ordem (k + 1) ao redor(ou seja, contendo o M menor dentro) este M menor; no caso de igualdade a zero de todos os menores limítrofes de ordem (k + 1), o posto da matriz é igual a(de fato, neste caso, todas as linhas (colunas) da matriz pertencem ao intervalo linear de suas k linhas (colunas), na interseção das quais é o menor M, e a dimensão do intervalo linear especificado é igual a k ).
Indiquemos também outra regra para calcular o posto de uma matriz. Observe que com linhas (colunas) de matrizes, pode-se produzir três operações elementares, que não alteram o posto desta matriz: 1) permutação de duas linhas (ou duas colunas), 2) multiplicação de uma linha (ou coluna) por qualquer multiplicador diferente de zero, 3) adição a uma linha (coluna) de uma combinação linear arbitrária de outras linhas (colunas) (essas três operações não alteram o posto da matriz devido ao fato de que as operações 1) e 2) não alteram o número máximo de linhas linearmente independentes (colunas) da matriz, e a operação 3) tem a propriedade de que a envoltória linear de todas as linhas (colunas) que existiam antes desta operação, coincide com a envoltória linear de todas as linhas (colunas) obtidas após esta operação).
Diremos que a matriz ||a ij ||, contendo m linhas e n colunas, tem diagonal forma, se todos os seus elementos forem iguais a zero, exceto a 11 , a 22 ,.., a rr , onde r = min(m, n). O posto de tal matriz é obviamente igual a r.
Vamos ter certeza de que através de três operações elementares qualquer matriz

pode ser reduzido a uma diagonal(o que nos permite calcular sua classificação).

De fato, se todos os elementos da matriz (3.31) forem iguais a zero, então essa matriz já foi reduzida a uma forma diagonal. Se mat-
(3.31) possui elementos diferentes de zero, então permutando duas linhas e duas colunas é possível garantir que o elemento a 11 seja diferente de zero. Multiplicando depois disso a primeira linha da matriz por a 11 -1 , transformamos o elemento a 11 em um. Subtraindo ainda da coluna da matriz j-ro (para j = 2, 3,..., n) a primeira coluna multiplicada por a i1 e, em seguida, subtraindo da i-ésima linha (para i = 2, 3,.. ., n) a primeira linha, multiplicada por a i1 , obtemos em vez de (3.31) uma matriz da seguinte forma:

Realizando as operações que já descrevemos com uma matriz tomada em um quadro, e continuando a agir de forma semelhante, após um número finito de passos obteremos uma matriz de forma diagonal.
Os métodos para resolver sistemas lineares descritos nos parágrafos anteriores, que em última análise usam o aparato das fórmulas de Cramer, podem levar a grandes erros no caso em que os valores dos coeficientes das equações e termos livres são fornecidos aproximadamente ou quando esses valores são arredondados durante os cálculos.
Em primeiro lugar, isso se aplica ao caso em que a matriz correspondente ao determinante principal (ou menor básico) é mal condicionado(ou seja, quando "pequenas" mudanças nos elementos desta matriz correspondem a "grandes" mudanças nos elementos da matriz inversa). Naturalmente, neste caso a solução do sistema linear será instável(ou seja, "pequenas" alterações nos valores dos coeficientes das equações e termos livres corresponderão a "grandes" alterações na solução).
As circunstâncias observadas levam à necessidade de desenvolver algoritmos teóricos (além das fórmulas de Cramer) para encontrar uma solução e métodos numéricos para resolver sistemas lineares.
Na Seção 4, Capítulo 4, vamos nos familiarizar com UM. Tikhonov procure os chamados normal(isto é, mais próximo da origem) solução do sistema linear.
O Capítulo 6 apresentará as informações básicas sobre os chamados métodos iterativos resolução de sistemas lineares que permitem resolver esses sistemas usando aproximações sucessivas das incógnitas.

Investigar a compatibilidade de um sistema de equações agebraicas lineares (SLAE) significa descobrir se esse sistema tem soluções ou não. Bem, se houver soluções, indique quantas delas.

Precisaremos de informações do tópico "Sistema de equações algébricas lineares. Termos básicos. Notação matricial". Em particular, conceitos como a matriz do sistema e a matriz estendida do sistema são necessários, uma vez que a formulação do teorema de Kronecker-Capelli é baseada neles. Como de costume, a matriz do sistema será denotada pela letra $A$, e a matriz estendida do sistema pela letra $\widetilde(A)$.

Teorema de Kronecker-Capelli

Um sistema de equações algébricas lineares é consistente se e somente se o posto da matriz do sistema for igual ao posto da matriz estendida do sistema, ou seja, $\rank A=\rang\widetilde(A)$.

Deixe-me lembrá-lo de que um sistema é chamado de conjunto se tiver pelo menos uma solução. O teorema de Kronecker-Capelli diz o seguinte: se $\rang A=\rang\widetilde(A)$, então existe uma solução; se $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, então este SLAE não tem soluções (é inconsistente). A resposta à pergunta sobre o número dessas soluções é dada por um corolário do teorema de Kronecker-Capelli. A declaração do corolário usa a letra $n$, que é igual ao número de variáveis ​​no SLAE dado.

Corolário do teorema de Kronecker-Capelli

1. Se $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, então o SLAE é inconsistente (não tem soluções).
2. Se $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Se $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, então o SLAE é definitivo (tem exatamente uma solução).

Observe que o teorema formulado e seu corolário não indicam como encontrar a solução do SLAE. Com a ajuda deles, você só pode descobrir se essas soluções existem ou não e, se existem, quantas.

Exemplo 1

Explorar SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned )\right.$ para consistência Se o SLAE for consistente, indique o número de soluções.

Para descobrir a existência de soluções para um dado SLAE, usamos o teorema de Kronecker-Capelli. Precisamos da matriz do sistema $A$ e da matriz estendida do sistema $\widetilde(A)$, anotamos:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(matriz)\direita). $$

Precisamos encontrar $\rang A$ e $\rang\widetilde(A)$. Há muitas maneiras de fazer isso, algumas das quais estão listadas na seção Matrix Rank. Normalmente, dois métodos são usados ​​para estudar tais sistemas: "Cálculo do posto de uma matriz por definição" ou "Cálculo do posto de uma matriz pelo método de transformações elementares".

Método número 1. Cálculo de classificações por definição.

De acordo com a definição, o posto é a ordem mais alta dos menores da matriz, entre os quais há pelo menos um diferente de zero. Normalmente, o estudo começa com os menores de primeira ordem, mas aqui é mais conveniente proceder imediatamente ao cálculo do menor de terceira ordem da matriz $A$. Os elementos do menor de terceira ordem estão na interseção de três linhas e três colunas da matriz em consideração. Como a matriz $A$ contém apenas 3 linhas e 3 colunas, o menor de terceira ordem da matriz $A$ é o determinante da matriz $A$, ou seja, $\DeltaA$. Para calcular o determinante, aplicamos a fórmula nº 2 do tópico "Fórmulas para cálculo de determinantes de segunda e terceira ordem":

$$ \Delta A=\esquerda| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right|=-21. $$

Portanto, existe um menor de terceira ordem da matriz $A$, que não é igual a zero. Um menor de 4ª ordem não pode ser composto, pois requer 4 linhas e 4 colunas, e a matriz $A$ possui apenas 3 linhas e 3 colunas. Assim, a maior ordem de menores da matriz $A$, entre os quais existe pelo menos um diferente de zero, é igual a 3. Portanto, $\rang A=3$.

Também precisamos encontrar $\rang\widetilde(A)$. Vejamos a estrutura da matriz $\widetilde(A)$. Até a linha da matriz $\widetilde(A)$ existem elementos da matriz $A$, e descobrimos que $\Delta A\neq 0$. Portanto, a matriz $\widetilde(A)$ tem um menor de terceira ordem que não é igual a zero. Não podemos compor os menores de quarta ordem da matriz $\widetilde(A)$, então concluímos: $\rang\widetilde(A)=3$.

Como $\rang A=\rang\widetilde(A)$, de acordo com o teorema de Kronecker-Capelli, o sistema é consistente, ou seja, tem uma solução (pelo menos uma). Para indicar o número de soluções, levamos em conta que nosso SLAE contém 3 incógnitas: $x_1$, $x_2$ e $x_3$. Como o número de incógnitas é $n=3$, concluímos: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, portanto, de acordo com o corolário do teorema de Kronecker-Capelli, o sistema é definido, ou seja, tem uma solução única.

Problema resolvido. Quais são as desvantagens e vantagens deste método? Primeiro, vamos falar sobre os prós. Primeiro, precisamos encontrar apenas um determinante. Depois disso, imediatamente fizemos uma conclusão sobre o número de soluções. Normalmente, em cálculos típicos padrão, são fornecidos sistemas de equações que contêm três incógnitas e têm uma única solução. Para tais sistemas, esse método é muito conveniente, pois sabemos de antemão que existe uma solução (caso contrário, não haveria exemplo em um cálculo típico). Aqueles. só precisamos mostrar a existência de uma solução da maneira mais rápida. Em segundo lugar, o valor calculado do determinante da matriz do sistema (ou seja, $\Delta A$) será útil mais tarde: quando começarmos a resolver o sistema dado usando o método de Cramer ou usando a matriz inversa .

No entanto, por definição, o método de cálculo do posto é indesejável se a matriz do sistema $A$ for retangular. Nesse caso, é melhor aplicar o segundo método, que será discutido abaixo. Além disso, se $\Delta A=0$, então não poderemos dizer nada sobre o número de soluções para um dado SLAE não homogêneo. Talvez o SLAE tenha um número infinito de soluções, ou talvez nenhuma. Se $\Delta A=0$, então pesquisas adicionais são necessárias, o que geralmente é complicado.

Resumindo o que foi dito, observo que o primeiro método é bom para aqueles SLAEs cuja matriz do sistema é quadrada. Ao mesmo tempo, o próprio SLAE contém três ou quatro incógnitas e é retirado de cálculos padrão padrão ou trabalhos de controle.

Método número 2. Cálculo do posto pelo método das transformações elementares.

Este método é descrito em detalhes no tópico correspondente. Vamos calcular o posto da matriz $\widetilde(A)$. Por que matrizes $\widetilde(A)$ e não $A$? O ponto é que a matriz $A$ é uma parte da matriz $\widetilde(A)$, então calculando o posto da matriz $\widetilde(A)$ vamos encontrar simultaneamente o posto da matriz $A$ .

\begin(alinhado) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(trocar primeira e segunda linhas)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ r_2-3r_1\\ r_3+4r_1 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array) (ccc| c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0 ) \\ \phantom(0)\\ r_3-2r_2 \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(array) \right) \end(alinhado)

Reduzimos a matriz $\widetilde(A)$ para uma forma escalonada . A matriz de passos resultante tem três linhas diferentes de zero, então seu posto é 3. Portanto, o posto da matriz $\widetilde(A)$ é 3, ou seja. $\rank\widetilde(A)=3$. Fazendo transformações com os elementos da matriz $\widetilde(A)$, transformamos simultaneamente os elementos da matriz $A$ localizados antes da linha. A matriz $A$ também é escalonada: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \ certo)$. Conclusão: o posto da matriz $A$ também é igual a 3, ou seja. $\classificação A=3$.

Como $\rang A=\rang\widetilde(A)$, de acordo com o teorema de Kronecker-Capelli, o sistema é consistente, ou seja, tem solução. Para indicar o número de soluções, levamos em conta que nosso SLAE contém 3 incógnitas: $x_1$, $x_2$ e $x_3$. Como o número de incógnitas é $n=3$, concluímos: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, portanto, de acordo com o corolário do teorema de Kronecker-Capelli, o sistema está definido, ou seja, tem uma solução única.

Quais são as vantagens do segundo método? A principal vantagem é a sua versatilidade. Não importa para nós se a matriz do sistema é quadrada ou não. Além disso, na verdade, realizamos transformações do método de Gauss para frente. Faltam apenas alguns passos e podemos obter a solução deste SLAE. Para ser sincero, gosto mais da segunda forma do que da primeira, mas a escolha é uma questão de gosto.

Responda: O SLAE fornecido é consistente e definido.

Exemplo #2

Explorar SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(aligned) \right.$ para consistência.

Encontraremos os postos da matriz do sistema e a matriz estendida do sistema pelo método das transformações elementares. Matriz de sistema estendida: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. Vamos encontrar os postos necessários transformando a matriz aumentada do sistema:

$$ \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4 -3r_1\\r_5-2r_1\end(array)\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\r_3-r_2\\ r_4-r_2\\r_5+r_2\end(array)\rightarrow\\ $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \ right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\\phantom(0)\\\phantom(0)\\ r_4-r_3\\\phantom(0)\end(array)\rightarrow \left (\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right) $$

A matriz estendida do sistema é reduzida a uma forma escalonada. O posto de uma matriz de passos é igual ao número de suas linhas diferentes de zero, então $\rang\widetilde(A)=3$. A matriz $A$ (até a linha) também é reduzida a uma forma escalonada, e sua classificação é igual a 2, $\rang(A)=2$.

Como $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, então, de acordo com o teorema de Kronecker-Capelli, o sistema é inconsistente (isto é, não tem soluções).

Responda: O sistema é inconsistente.

Exemplo #3

Explorar SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(aligned) \right.$ para compatibilidade.

Trazemos a matriz aumentada do sistema para uma forma escalonada:

$$ \left(\begin(array)(ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right) \overset (r_1\leftrightarrow(r_3))(\rightarrow) $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2-2r_1 \\r_3+3r_1 \\ r_4+5r_1 \\ r_5-7r_1 \end( array) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 3 & - 2 & 0 & -1 & -13\\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 \end(array) \right) \begin( array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\4r_3+3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5+3r_2 \end(array) \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin (matriz)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\\phantom(0) \\ r_4 -r_3 \\ r_5+r_2 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \direita) $$

Reduzimos a matriz estendida do sistema e a matriz do próprio sistema para uma forma escalonada. O posto da matriz estendida do sistema é igual a três, o posto da matriz do sistema também é igual a três. Como o sistema contém $n=5$ desconhecidos, ou seja, $\rang\widetilde(A)=\rang(A)\lt(n)$, então, de acordo com o corolário do teorema de Kronecker-Capelli, este sistema é indeterminado, ou seja, tem um número infinito de soluções.

Responda: o sistema é indeterminado.

Na segunda parte, analisaremos exemplos que costumam ser incluídos em cálculos ou testes padrão em matemática superior: o estudo de compatibilidade e a solução de SLAE dependendo dos valores dos parâmetros incluídos nele.

Solução. A= . Encontre r(A). Porque matriz A tem ordem 3x4, então a maior ordem de menores é 3. Neste caso, todos os menores de terceira ordem são iguais a zero (verifique você mesmo). Significa, r(À)< 3. Возьмем главный menor básico = -5-4 = -9 ≠ 0. Portanto, r(A) =2.

Considerar matriz A PARTIR DE = .

Terço menor ordem ≠ 0. Portanto, r(C) = 3.

Uma vez que r(A) ≠ r(C), então o sistema é inconsistente.

Exemplo 2 Determine a compatibilidade do sistema de equações

Resolva este sistema se for consistente.

Solução.

A = , C = . Obviamente, r(А) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Como detC = 0, então r(C)< 4. Considerar menor terceiro ordem, localizado no canto superior esquerdo da matriz A e C: = -23 ≠ 0. Portanto, r(A) = r(C) = 3.

Número desconhecido no sistema n=3. Portanto, o sistema tem uma solução única. Nesse caso, a quarta equação é a soma das três primeiras e pode ser ignorada.

Pelas fórmulas de Cramer obtemos x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Método matricial. Método de Gauss

sistema n equações lineares Com n incógnitas podem ser resolvidas método matricial de acordo com a fórmula X \u003d A -1 B (para Δ ≠ 0), que é obtido de (2) multiplicando ambas as partes por A -1 .

Exemplo 1. Resolva um sistema de equações

pelo método matricial (na Seção 2.2 este sistema foi resolvido usando as fórmulas de Cramer)

Solução. Δ=10 ≠ 0 A = - matriz não singular.

= (verifique isso por si mesmo fazendo os cálculos necessários).

A -1 \u003d (1 / Δ) x \u003d .

X \u003d A -1 B \u003d x= .

Responda: .

Do ponto de vista prático método matricial e fórmulas Kramer estão associados a uma grande quantidade de computação, então é dada preferência a Método de Gauss, que consiste na eliminação sucessiva de incógnitas. Para fazer isso, o sistema de equações é reduzido a um sistema equivalente com uma matriz triangular aumentada (todos os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero). Essas ações são chamadas de movimento direto. A partir do sistema triangular resultante, as variáveis ​​são encontradas por meio de sucessivas substituições (para trás).

Exemplo 2. Resolva o sistema usando o método de Gauss

(Este sistema foi resolvido acima usando a fórmula de Cramer e o método da matriz).

Solução.

Movimento direto. Escrevemos a matriz aumentada e, usando transformações elementares, trazemos para uma forma triangular:

~ ~ ~ ~ .

Pegue sistema

Movimento reverso. Da última equação encontramos X 3 = -6 e substitua este valor na segunda equação:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Responda: .

2.5. Solução geral de um sistema de equações lineares

Seja dado um sistema de equações lineares = b eu(eu=). Seja r(A) = r(C) = r, ou seja. o sistema é colaborativo. Qualquer menor diferente de zero de ordem r é menor básico. Sem perda de generalidade, assumimos que o menor básico está localizado nas primeiras r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) linhas e colunas da matriz A. Descartando as últimas m-r equações do sistema, escrevemos um sistema abreviado :

que é equivalente ao original. Vamos nomear as incógnitas x 1 ,…. x r básico, e x r +1 ,…, x r free e mova os termos contendo as incógnitas livres para o lado direito das equações do sistema truncado. Obtemos o sistema em relação às incógnitas básicas:

que para cada conjunto de valores de incógnitas livres x r +1 \u003d C 1, ..., x n \u003d C n-r tem a única solução x 1 (C 1, ..., C n-r), ..., x r (C 1, ..., C n-r), encontrado pela regra de Cramer.

Solução apropriada encurtado e, portanto, o sistema original tem a forma:

Х(С 1 ,…, С n-r) = - solução geral do sistema.

Se na solução geral as incógnitas livres recebem alguns valores numéricos, então obtemos a solução do sistema linear, chamado privado.

Exemplo. Estabeleça a compatibilidade e encontre a solução geral do sistema

Solução. A = , C = .

Então Como as r(A)= r(C) = 2 (veja você mesmo), então o sistema original é compatível e tem um número infinito de soluções (uma vez que r< 4).