Qual é o sinal do valor absoluto. Valores absolutos e sua classificação. Disciplina optativa em matemática "valor absoluto". Requisitos para o nível de assimilação de material educacional

Exercícios para trabalho independente:

Resolva as desigualdades:

№3. <3х–3,

No. 4. x 2 -3 + 2\u003e 0,

Número 5. x 2 -x<3,

Número 6. x 2 -6x + 7-<0,

No. 7. 3 + x 2 –7\u003e 0,

№8. >.

Lição número 7... Solução de desigualdades contendo um valor absoluto com parâmetros.

Exemplo. Em quais valores e a desigualdade é verdadeira: machado 2 + 4 + a + 3<0 ?

Quando x0 temos machado 2 + 4x + a + 3<0 ... Coeficiente sênior e deve ser negativo, o discriminante deve ser menor que zero.

e<0, Д=16-4a (a + 3)<0; 16-4а 2 -12а<0; а 2 +3а-4>0; e<-4 e a\u003e 1;

parábola vértice abscissa x 0 \u003d -v / 2a \u003d - 4 / 2a \u003d -2 / a 0de onde e<-4 .

Quando x<0 temos machado 2 –4x + a + 3<0 ... Argumentando da mesma forma, obtemos: e<-4 .

Resposta: em e<-4 esta desigualdade é válida para todos os valores reais de x.

Exercícios para trabalho independente:

Resolva as desigualdades com parâmetros:

# 2. (Ha)<0,

Número 3. Existem valores de a para os quais a desigualdade machado 2\u003e 2 + 5 não tem soluções?

Lições número 8 - 9... Método de intervalos para resolver equações e inequações contendo um módulo.

Vamos considerar o método dos intervalos pelo exemplo de resolução da equação

- + 3-2 \u003d x + 2.

Para resolver essa desigualdade, você precisa expandir os módulos. Para fazer isso, selecione intervalos, em cada um dos quais as expressões sob o sinal de módulo assumem apenas valores positivos ou negativos. Encontrar tais intervalos é baseado no seguinte teorema: se no intervalo (a; c) a função f é contínua e não desaparece, então ela retém um sinal constante neste intervalo.

Para selecionar intervalos de constância, encontramos os pontos em que as expressões escritas no módulo desaparecem:

x + 1 \u003d 0, x \u003d -1; x \u003d 0; x - 1 \u003d 0, x \u003d 1; x - 2 \u003d 0, x \u003d 2.

Os pontos obtidos dividirão a linha reta nos intervalos necessários. Vamos definir os sinais das expressões

x + 1, x, x - 1, x - 2 nestes intervalos:

Considerando as placas, vamos abrir os módulos. Como resultado, obtemos um conjunto de sistemas que é equivalente a esta equação:

O último conjunto é reduzido à forma:

Solução do conjunto de sistemas e da equação dada: -2; x2.

A técnica usada é chamada método de intervalo... Ele também é usado para resolver desigualdades.

Resolva a desigualdade: + x - 2<0.

1) Encontre os zeros da expressão: x 2 -3x.

x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3.

2) Divida a linha de coordenadas em intervalos e defina o sinal da expressão x 2 -3x em cada intervalo:

3) Vamos abrir o módulo:

Solução do primeiro sistema :, solução do segundo. Solução desta desigualdade: .

Exercícios para trabalho independente:

№3

Lição número 10 - 11... Solução das desigualdades da forma , por meio de transições equivalentes.

Considere as desigualdades da forma e. Aceitamos o seguinte teorema sem prova: para qualquer valor de a, a desigualdadeequivale a um sistema de desigualdades e a desigualdade é equivalente ao conjunto de desigualdades

Considere um exemplo: resolva a desigualdade: >x + 2.

Usando o teorema formulado, nos voltamos para o conjunto de desigualdades:

Sistema e desigualdade 0x\u003e 2 não tem soluções. Portanto, a solução para o conjunto (e esta desigualdade) é x.

Exercícios para trabalho independente:

Lição número 12.Aplicação das propriedades do valor absoluto na resolução de equações e inequações.

Ao resolver algumas tarefas, as propriedades do módulo são usadas. (Se necessário, repita-os, veja a lição número 1).

Vamos ilustrar a aplicação das propriedades do módulo ao resolver os exemplos a seguir.

Equações e seus sistemas contendo o sinal do valor absoluto
(desenvolvimento metódico)

Parágrafo 1. Informações básicas.

Item 1. Determinação do valor absoluto do número. Resolvendo as equações mais simples.

É melhor começar a se familiarizar com o conceito do valor absoluto de um número (módulo de um número) com sua interpretação geométrica: em geometria, um módulo é a distância de um ponto que representa um determinado número em um eixo numérico ou plano de coordenadas até a origem. Portanto, o número 5 está localizado no eixo numérico à direita de zero, e o número -5 à esquerda de zero, mas as distâncias dos pontos que representam esses números à origem são iguais e iguais a 5. O valor do valor absoluto do número a é indicado por colchetes :.
Vamos explicar a definição geométrica do módulo graficamente:

Consequentemente, uma definição algébrica de um módulo de um determinado valor é estabelecida:

.
Vamos agora considerar as equações mais simples (mas importantes para a compreensão do material), incluindo o sinal do valor absoluto. Queremos dizer alguma expressão algébrica contendo uma variável desconhecida.

A. Equações da forma, onde a é um determinado número. (1)
Esclareçamos o problema que temos diante de nós: se x é alguma solução para a equação (1), então, de acordo com a definição geométrica do módulo, o ponto f na reta numérica está localizado a uma distância a da origem. Portanto, se a0, temos dois pontos obrigatórios: f1 \u003d -a, f2 \u003d a.

Assim, a equação (1): em a0 tem soluções das equações e.
Resumidamente, a última declaração é escrita da seguinte forma:

Diz-se: o conjunto de soluções da equação para a\u003e 0 é a união dos conjuntos de soluções das equações e.

Exemplo 1. Resolva as equações: a); b); no) ; d).

Soluções:
a) 
Resposta: x1 \u003d 1; x2 \u003d 6.

B) \u003d\u003e não há soluções, porque o módulo (valor absoluto) de qualquer valor não pode ser negativo.
Resposta: Não há soluções.

B) 
Resposta: x1 \u003d -3; x2 \u003d 0.

D) 
Resposta: x1 \u003d -3; x2 \u003d 3.

Exemplo 2. Resolva as equações: a); b).

Soluções:
a) de acordo com (1), neste caso \u003d, ou seja, f (x) ≥2. Portanto, a equação não tem soluções.
Resposta: Não há soluções.

Resposta: x1 \u003d -5; x2 \u003d 0; x3 \u003d 2; x4 \u003d 7.

B. Equações da forma (2) e (3).
Uma vez que o módulo de qualquer expressão é uma quantidade não negativa, portanto, se x for uma solução para a equação (2), então o lado direito desta equação é não negativo, ou seja, ... Mas então no lado esquerdo da mesma equação, por definição, é simplesmente. Conclusão: na condição obrigatória, chegamos à identidade, portanto as soluções para a desigualdade serão simultaneamente soluções para a equação (2).
Argumentando de forma semelhante, descobrimos que todas as soluções para a desigualdade são soluções para a equação (3).

Exemplo 3. Resolva as equações: a); b); no) .
Soluções:
a) 
Responda:.

B) 
Responda:.

C. Equações da forma (4).
Se x for uma solução para a equação (4), então, de acordo com a definição geométrica do módulo, as distâncias na reta numérica dos pontos feg até a origem são iguais, ou seja, ou os pontos feg coincidem (temos :), ou são simétricos entre si quanto à origem (temos :). Portanto

Como característica especial, a equação deve ser mencionada.
As soluções para esta equação são todas x para as quais a expressão é definida.

Exemplo 4. Resolva as equações: a); b); no) ; d).

Soluções:

A) Esta equação é uma equação da forma, onde. Esta função é definida para qualquer x real, então x é qualquer.
Resposta: x - qualquer.

B) 
Responda:.

B) 
.
Responda:.

Nota: desde , então ambos os lados da equação (4) podem ser elevados ao quadrado, liberando-se dos módulos, e entre as raízes da equação resultante não haverá "extra" para nós.
Por exemplo: de onde viemos.

D. Equações da forma. (cinco)
Temos: a soma das expressões que não são negativas por definição é igual a zero. Portanto, cada um dos termos deve ser igual a zero. Porque se e somente se, e se e somente se, portanto, a equação (5) é equivalente ao sistema :.
É mais racional resolver este sistema da seguinte maneira: escolhendo um mais simples das equações, encontre suas soluções e verifique-as quanto à conformidade com todo o sistema, substituindo-as na equação restante.

Exemplo 5. Resolva as equações: a);
b).

Soluções:

E)
Substituindo alternadamente x \u003d -1 ex \u003d 1 na primeira equação, obtemos que ambas as equações do sistema são satisfeitas apenas para x \u003d -1.
Resposta: x \u003d -1.

B) Esta equação é equivalente (equivalente) ao sistema:

Resposta: x \u003d -2.
Item 2. Método dos intervalos. A solução dos sistemas mais simples.

Deixe a equação ser resolvida. De acordo com a definição algébrica de um módulo:

Assim, o ponto x \u003d 2 divide o eixo numérico em dois intervalos, em cada um dos quais os colchetes modulares acima da expressão x-2 se expandem de maneiras diferentes:

Portanto, a solução da equação original é reduzida à consideração sequencial de duas situações possíveis:
a) Suponha que x seja uma solução para a equação original e.
Então temos :, que corresponde à condição a). Portanto, é uma solução para a equação original.
b) Suponha que x é uma solução para a equação original, e
Então temos :, que não corresponde à condição b). Portanto, não é uma solução para a equação original.
A equação considerada tem uma única raiz :.

O método de espaçamento é especialmente útil se houver vários colchetes modulares na equação. A única dificuldade é definir uma sequência clara de ações, por isso é altamente recomendável seguir o seguinte plano:

1) Determine todos os valores da incógnita nos quais as expressões sob os sinais de módulo se desvanecem ou se tornam indefinidas e marque os pontos obtidos no eixo numérico.
2) Resolva a equação original em cada um dos intervalos numéricos identificados.
3) Combine as soluções encontradas em uma resposta geral.

É útil no final da primeira etapa escrever exatamente como, dependendo da posição da incógnita no eixo numérico, cada colchete modular é expandido.

Exercício: Expanda os colchetes modulares em uma expressão.
Primeiro, consideramos os colchetes: para, então marcamos um ponto no eixo numérico.
Em seguida, consideramos os colchetes externos: resolvemos a equação (a solução é realizada pelo método de intervalos acima:

A primeira equação não tem raízes e a segunda são os números 1 e -1, mas x \u003d 1 não satisfaz a condição).
Além disso, escolhendo um x arbitrário maior que -1, por exemplo x \u003d 0, garantimos que para x\u003e -1; escolhendo um x arbitrário menor que -1, por exemplo x \u003d -2, garantimos que para x

Como resultado, os pontos x \u003d -1 e x \u003d 0 são marcados no eixo numérico. Em cada um dos intervalos resultantes, os módulos na expressão original são expandidos ao longo da "cadeia" (*):

Quando;
em;
em.

Exemplo 6 Resolva as equações: a); b); no) ; d).
Soluções:

A) Estágio I.
... Portanto:
.

Estágio II.
1) Então, portanto, a equação original assumirá a forma :.

2). Então, portanto, a equação original assume a forma: o que não corresponde ao segmento em consideração, portanto, neste intervalo, a equação original não tem raízes.
3) Então, portanto, a equação original assumirá a forma: que corresponde ao meio-intervalo considerado, portanto, a equação original.
Estágio III.
No primeiro e no segundo intervalos numéricos, a equação não tem solução. No terceiro, tomamos uma decisão.
Responda:.

B) Estágio I.
Portanto:

Temos os seguintes intervalos numéricos:

Estágio II.
1) Então, portanto, a equação original assumirá a forma:
Obtivemos a igualdade numérica correta, então qualquer meio-intervalo dado é uma solução para a equação original!
2). Temos, expandindo os módulos de acordo com os resultados da primeira etapa: o que corresponde ao segmento considerado, pois há uma solução para a equação original.
3) Expanda os módulos:
Obtivemos uma igualdade numérica incorreta, portanto, neste meio intervalo, a equação original não tem raízes.

Estágio III.
No primeiro intervalo:
No segundo intervalo:
No terceiro intervalo: não há soluções.
Resultado:
Responda:

C) Estágio I.
Primeiro, consideramos o módulo "interno", depois o "externo":
1) x \u003d 0 para x \u003d 0 \u003d\u003e
2)
Esta equação deve ser resolvida separadamente. Observe que os intervalos numéricos a serem considerados já são conhecidos (ver (*)):
pois não temos soluções
pois temos,
mas x1 não corresponde à condição.
Assim, .
A própria expressão é positiva para (por exemplo, x \u003d 10 :) e negativa para (por exemplo, x \u003d 1 :). Portanto:

Temos os seguintes intervalos numéricos:

Estágio II.
Em cada intervalo, primeiro abra os suportes modulares externos, depois os internos.
1) .
:, que corresponde ao intervalo considerado, portanto há uma solução para a equação original.
2) .
: .
Vamos verificar a correspondência das raízes encontradas com o segmento dado: - obviamente, vamos agora verificar se a relação

Obviamente, ou seja, é uma raiz estranha.
3) .
: Vamos verificar a correspondência obtida para o meio-intervalo dado: é a raiz da equação original.

Estágio III.
;
;
.
Responda:.

D) Uma característica desta equação é a presença de uma incógnita no denominador da fração, portanto, é necessário encontrar o domínio de definição da equação (TOC) a cada intervalo numérico.

Temos dois meios intervalos:

Estágio II.
1) expandindo o módulo e simplificando, obtemos a equação.
OOU :. Quando do TOC, obviamente, obtemos a igualdade correta, ou seja, todos são soluções para a equação original.
2) expandindo o módulo e simplificando, obtemos a equação TOC :. Então, que corresponde ao meio-intervalo considerado, portanto há uma solução para a equação original.

Responda:.

B. A solução de sistemas simples de equações contendo o sinal de um valor absoluto não deve causar dificuldades: por via de regra, basta utilizar o método de substituição conhecido pelos alunos.

Exemplo 7. Resolva sistemas de equações:
a B C D)

Soluções:
a) Da primeira equação do sistema obtemos:
Então, após a substituição (*), a segunda equação assumirá a forma:
.
De acordo com (*): para em.
Responda:

B) Da primeira equação do sistema obtemos:
.
Pois, a partir da segunda equação do sistema, obtemos
respectivamente, x \u003d 2.
Pois, a partir da segunda equação do sistema, obtemos y \u003d -5.
Responda:.

C) Da segunda equação do sistema, obtemos:
.
Pois, da primeira equação, obtemos.
Na primeira equação, obtemos; respectivamente,.
Responda:.

D) Neste caso, é mais fácil usar o método da adição e resolver a equação resultante - o método do intervalo.
.

1) não temos soluções;
2) nós entendemos.
Conclusão: e agora temos a primeira equação.
Responda:.

Item 3. Métodos racionais de solução: as considerações geométricas e algébricas mais simples, generalização do método dos intervalos, mudança de variável.

A. Algumas equações simples permitem uma interpretação geométrica clara, sua solução é muito simplificada - intervalos numéricos "inadequados" são imediatamente excluídos da consideração.
Vamos mostrar primeiro que geometricamente existe a distância entre os pontos do eixo numérico que representam os números e. Para fazer isso, no eixo numérico, onde já está marcado e mova a origem até o ponto. As coordenadas dos pontos mudarão:

A distância entre os pontos é, de acordo com o novo quadro de referência, a distância entre os pontos e, ou seja,

Exemplo 8. Resolva as equações: a) b) c) d) e).

Soluções:
a) É necessário indicar no eixo numérico tal x tal que a soma das distâncias de x a 1 e de x a 3 seja 3 unidades. A distância entre 1 e 3 é de 2 unidades, portanto (caso contrário). Acontece que x está à esquerda de 1 ou à direita de 3 - a alguma distância deles, e em qualquer caso. Portanto, onde.

Os dois valores de x agora são facilmente encontrados.
Responda:.
b) É necessário indicar no eixo numérico tais pontos 2x que a distância de 2x a -2 é maior que a distância de 2x a 7 por 9,12 unidades.
Se, a diferença considerada é sempre -9;
Se, a diferença considerada é sempre 9;
Se, a diferença considerada é menor ou igual a 9.
Por exemplo, deixe:

Então.
Resposta: Não há soluções.

C) Vamos reescrever a equação como. Portanto, o x necessário está três vezes mais próximo de 3 do que de 2:

\u003d\u003e nenhuma solução, pois x está sempre mais próximo de 2 do que de 3;
"A olho" ,;
\u003d\u003e "A olho" ,.
Responda:.

D) Este exemplo mostra que uma divisão "estrita" do eixo dos números em intervalos (sem visualizações "sobrepostas") é muito útil:

Não há soluções;
(corresponde ao meio-intervalo considerado);
sem soluções.
Responda:.

E) Vamos começar aplicando o método de intervalo:

Notemos agora que dentro e fora do segmento dado. Portanto, faz sentido considerar a equação apenas neste intervalo, e obteremos :. Obviamente, x \u003d 2.
Responda:.

B. Estudando as faixas de valores dos lados direito e esquerdo da equação, muitas vezes é possível simplificar o curso da solução, excluindo os valores obviamente inadequados da incógnita.

Exemplo 9. Resolva as equações: a) b) c) d).

Soluções:

A) O lado esquerdo da equação não é negativo para qualquer x e o lado direito é um número negativo.
Resposta: Não há soluções.

B) O lado esquerdo da equação é não negativo para qualquer x, portanto, se x for uma solução, então o lado direito também é não negativo. Portanto, basta considerar apenas os valores de x da área que é. Mas então obteve a igualdade errada.
Resposta: Não há soluções.
c) A expressão é positiva para qualquer x, portanto, os colchetes modulares externos podem ser removidos. Além disso, se x for uma solução, o lado direito também é positivo, portanto, é suficiente considerar x do domínio. Então temos (corresponde à área).
Responda:.

D) A soma de dois termos não negativos é igual a 1 se cada um dos termos não ultrapassar um: Visto que, então, no intervalo indicado obtemos Se, então, obviamente, não estamos satisfeitos. Portanto, se x é uma solução, então. E neste meio intervalo temos
É claro que é uma raiz estranha.
Responda:.

C. Considere as equações da forma (1)
Resolvendo esta equação pelo método dos intervalos, obtemos uma equação para esses intervalos, onde e a equação para os intervalos, onde. É claro que não faz sentido considerar cada intervalo separadamente - basta dividi-los nos dois grupos indicados: para cada um deve-se resolver a equação correspondente e verificar as raízes obtidas para cumprimento da condição declarada. portanto

Outra opção também é possível: é claro que entre as soluções da equação, as verdadeiras raízes da equação (1) serão aquelas para as quais, realizando raciocínio semelhante para o caso, obtemos

Qual das opções a escolher depende do tipo de funções, por exemplo, se as soluções das equações são mais fáceis de substituir pela verificação, então é mais razoável aplicar o primeiro método.

Exemplo 10. Resolva as equações: a)
b) c).

Soluções:

A) Suponha
Então nós temos
Suponha
Então não temos soluções.
Vamos agora verificar as raízes obtidas. Vamos reescrever a equação original:
... Porque, ambas as raízes são verdadeiras.
Responda:

B) Suponha
Então não temos soluções.
Suponha
Então nós temos
Para determinar a verdade dessas raízes, verifique a condição. Obtemos: Obviamente, a raiz é estranha. Para verificar, vamos descobrir se isso é verdade. Sendo assim, a desigualdade em consideração não é satisfeita.
Resposta: Não há soluções.

C) Vamos reescrever a equação: Usamos a seguinte ilustração gráfica: (gráficos de funções e são apresentados aqui).

Agora está claro que as lacunas numéricas resultantes devem ser combinadas nos três grupos a seguir:
1). Recebemos (corresponde à condição indicada).
2) Nós temos
sem soluções.
3) Nós temos
sem soluções.
Responda:.

D. O método de substituir alguma expressão por uma nova variável literal é bem conhecido. Você só pode notar que, ao resolver equações contendo um módulo, muitas vezes é possível limitar imediatamente a faixa de variação da nova variável.
Exemplo 11. Resolva equações ou um sistema de equações: a);
b);
no)

Soluções:
a) Substituindo a nova variável, obtemos o sistema, o que significa que e são as raízes da equação.
Responda:.

B) Substituindo a expressão por uma nova variável, obtemos a equação. Nós temos:
... Resta resolver essas equações.
Responda:.

C) Reescrevemos a equação como:
Obviamente, duas opções são possíveis:
1)
2) Substitua por uma nova variável. Observe que de acordo com o significado da substituição e de acordo com o ODD desta equação, ou seja, (*) E a equação assumirá a forma. Uma vez que temos
Levando em consideração (*), finalmente obtemos
Portanto, substituindo por, obtemos
Uma vez que, pelo significado da substituição, obtemos

Tarefas de controle para §1.
1) Resolva usando a definição do módulo de um número:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j).

2) Resolva as equações "padrão":
a) b) c) d) e) f) g) h) i).

3) Resolva pelo método dos intervalos:
a) b); c) d) e) f) g) h) i) k) l) m) n) o) n) p) c) t) y) f) x) h)

4) Decida de forma racional:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) l) m) n)

5) Resolva os sistemas de equações:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) l) m) n) o) n) p)

Equações e seus sistemas contendo o sinal do valor absoluto
(desenvolvimento metódico)

Parágrafo 1. Informações básicas.

Item 1. Determinação do valor absoluto do número. Resolvendo as equações mais simples.

É melhor começar a se familiarizar com o conceito do valor absoluto de um número (módulo de um número) com sua interpretação geométrica: em geometria, um módulo é a distância de um ponto que representa um determinado número em um eixo numérico ou plano de coordenadas até a origem. Portanto, o número 5 está localizado no eixo numérico à direita de zero, e o número -5 à esquerda de zero, mas as distâncias dos pontos que representam esses números à origem são iguais e iguais a 5. O valor do valor absoluto do número a é indicado por colchetes :.
Vamos explicar a definição geométrica do módulo graficamente:

Consequentemente, uma definição algébrica de um módulo de um determinado valor é estabelecida:

.
Vamos agora considerar as equações mais simples (mas importantes para a compreensão do material), incluindo o sinal do valor absoluto. Queremos dizer alguma expressão algébrica contendo uma variável desconhecida.

A. Equações da forma, onde a é um determinado número. (1)
Esclareçamos o problema que temos diante de nós: se x é alguma solução para a equação (1), então, de acordo com a definição geométrica do módulo, o ponto f na reta numérica está localizado a uma distância a da origem. Portanto, se a0, temos dois pontos obrigatórios: f1 \u003d -a, f2 \u003d a.

Assim, a equação (1): em a0 tem soluções das equações e.
Resumidamente, a última declaração é escrita da seguinte forma:

Diz-se: o conjunto de soluções da equação para a\u003e 0 é a união dos conjuntos de soluções das equações e.

Exemplo 1. Resolva as equações: a); b); no) ; d).

Soluções:
a) 
Resposta: x1 \u003d 1; x2 \u003d 6.

B) \u003d\u003e não há soluções, porque o módulo (valor absoluto) de qualquer valor não pode ser negativo.
Resposta: Não há soluções.

B) 
Resposta: x1 \u003d -3; x2 \u003d 0.

D) 
Resposta: x1 \u003d -3; x2 \u003d 3.

Exemplo 2. Resolva as equações: a); b).

Soluções:
a) de acordo com (1), neste caso \u003d, ou seja, f (x) ≥2. Portanto, a equação não tem soluções.
Resposta: Não há soluções.

Resposta: x1 \u003d -5; x2 \u003d 0; x3 \u003d 2; x4 \u003d 7.

B. Equações da forma (2) e (3).
Uma vez que o módulo de qualquer expressão é uma quantidade não negativa, portanto, se x for uma solução para a equação (2), então o lado direito desta equação é não negativo, ou seja, ... Mas então no lado esquerdo da mesma equação, por definição, é simplesmente. Conclusão: na condição obrigatória, chegamos à identidade, portanto as soluções para a desigualdade serão simultaneamente soluções para a equação (2).
Argumentando de forma semelhante, descobrimos que todas as soluções para a desigualdade são soluções para a equação (3).

Exemplo 3. Resolva as equações: a); b); no) .
Soluções:
a) 
Responda:.

B) 
Responda:.

C. Equações da forma (4).
Se x for uma solução para a equação (4), então, de acordo com a definição geométrica do módulo, as distâncias na reta numérica dos pontos feg até a origem são iguais, ou seja, ou os pontos feg coincidem (temos :), ou são simétricos entre si quanto à origem (temos :). Portanto

Como característica especial, a equação deve ser mencionada.
As soluções para esta equação são todas x para as quais a expressão é definida.

Exemplo 4. Resolva as equações: a); b); no) ; d).

Soluções:

A) Esta equação é uma equação da forma, onde. Esta função é definida para qualquer x real, então x é qualquer.
Resposta: x - qualquer.

B) 
Responda:.

B) 
.
Responda:.

Nota: desde , então ambos os lados da equação (4) podem ser elevados ao quadrado, liberando-se dos módulos, e entre as raízes da equação resultante não haverá "extra" para nós.
Por exemplo: de onde viemos.

D. Equações da forma. (cinco)
Temos: a soma das expressões que não são negativas por definição é igual a zero. Portanto, cada um dos termos deve ser igual a zero. Porque se e somente se, e se e somente se, portanto, a equação (5) é equivalente ao sistema :.
É mais racional resolver este sistema da seguinte maneira: escolhendo um mais simples das equações, encontre suas soluções e verifique-as quanto à conformidade com todo o sistema, substituindo-as na equação restante.

Exemplo 5. Resolva as equações: a);
b).

Soluções:

E)
Substituindo alternadamente x \u003d -1 ex \u003d 1 na primeira equação, obtemos que ambas as equações do sistema são satisfeitas apenas para x \u003d -1.
Resposta: x \u003d -1.

B) Esta equação é equivalente (equivalente) ao sistema:

Resposta: x \u003d -2.
Item 2. Método dos intervalos. A solução dos sistemas mais simples.

Deixe a equação ser resolvida. De acordo com a definição algébrica de um módulo:

Assim, o ponto x \u003d 2 divide o eixo numérico em dois intervalos, em cada um dos quais os colchetes modulares acima da expressão x-2 se expandem de maneiras diferentes:

Portanto, a solução da equação original é reduzida à consideração sequencial de duas situações possíveis:
a) Suponha que x seja uma solução para a equação original e.
Então temos :, que corresponde à condição a). Portanto, é uma solução para a equação original.
b) Suponha que x é uma solução para a equação original, e
Então temos :, que não corresponde à condição b). Portanto, não é uma solução para a equação original.
A equação considerada tem uma única raiz :.

O método de espaçamento é especialmente útil se houver vários colchetes modulares na equação. A única dificuldade é definir uma sequência clara de ações, por isso é altamente recomendável seguir o seguinte plano:

1) Determine todos os valores da incógnita nos quais as expressões sob os sinais de módulo se desvanecem ou se tornam indefinidas e marque os pontos obtidos no eixo numérico.
2) Resolva a equação original em cada um dos intervalos numéricos identificados.
3) Combine as soluções encontradas em uma resposta geral.

É útil no final da primeira etapa escrever exatamente como, dependendo da posição da incógnita no eixo numérico, cada colchete modular é expandido.

Exercício: Expanda os colchetes modulares em uma expressão.
Primeiro, consideramos os colchetes: para, então marcamos um ponto no eixo numérico.
Em seguida, consideramos os colchetes externos: resolvemos a equação (a solução é realizada pelo método de intervalos acima:

A primeira equação não tem raízes e a segunda são os números 1 e -1, mas x \u003d 1 não satisfaz a condição).
Além disso, escolhendo um x arbitrário maior que -1, por exemplo x \u003d 0, garantimos que para x\u003e -1; escolhendo um x arbitrário menor que -1, por exemplo x \u003d -2, garantimos que para x

Como resultado, os pontos x \u003d -1 e x \u003d 0 são marcados no eixo numérico. Em cada um dos intervalos resultantes, os módulos na expressão original são expandidos ao longo da "cadeia" (*):

Quando;
em;
em.

Exemplo 6 Resolva as equações: a); b); no) ; d).
Soluções:

A) Estágio I.
... Portanto:
.

Estágio II.
1) Então, portanto, a equação original assumirá a forma :.

2). Então, portanto, a equação original assume a forma: o que não corresponde ao segmento em consideração, portanto, neste intervalo, a equação original não tem raízes.
3) Então, portanto, a equação original assumirá a forma: que corresponde ao meio-intervalo considerado, portanto, a equação original.
Estágio III.
No primeiro e no segundo intervalos numéricos, a equação não tem solução. No terceiro, tomamos uma decisão.
Responda:.

B) Estágio I.
Portanto:

Temos os seguintes intervalos numéricos:

Estágio II.
1) Então, portanto, a equação original assumirá a forma:
Obtivemos a igualdade numérica correta, então qualquer meio-intervalo dado é uma solução para a equação original!
2). Temos, expandindo os módulos de acordo com os resultados da primeira etapa: o que corresponde ao segmento considerado, pois há uma solução para a equação original.
3) Expanda os módulos:
Obtivemos uma igualdade numérica incorreta, portanto, neste meio intervalo, a equação original não tem raízes.

Estágio III.
No primeiro intervalo:
No segundo intervalo:
No terceiro intervalo: não há soluções.
Resultado:
Responda:

C) Estágio I.
Primeiro, consideramos o módulo "interno", depois o "externo":
1) x \u003d 0 para x \u003d 0 \u003d\u003e
2)
Esta equação deve ser resolvida separadamente. Observe que os intervalos numéricos a serem considerados já são conhecidos (ver (*)):
pois não temos soluções
pois temos,
mas x1 não corresponde à condição.
Assim, .
A própria expressão é positiva para (por exemplo, x \u003d 10 :) e negativa para (por exemplo, x \u003d 1 :). Portanto:

Temos os seguintes intervalos numéricos:

Estágio II.
Em cada intervalo, primeiro abra os suportes modulares externos, depois os internos.
1) .
:, que corresponde ao intervalo considerado, portanto há uma solução para a equação original.
2) .
: .
Vamos verificar a correspondência das raízes encontradas com o segmento dado: - obviamente, vamos agora verificar se a relação

Obviamente, ou seja, é uma raiz estranha.
3) .
: Vamos verificar a correspondência obtida para o meio-intervalo dado: é a raiz da equação original.

Estágio III.
;
;
.
Responda:.

D) Uma característica desta equação é a presença de uma incógnita no denominador da fração, portanto, é necessário encontrar o domínio de definição da equação (TOC) a cada intervalo numérico.

Temos dois meios intervalos:

Estágio II.
1) expandindo o módulo e simplificando, obtemos a equação.
OOU :. Quando do TOC, obviamente, obtemos a igualdade correta, ou seja, todos são soluções para a equação original.
2) expandindo o módulo e simplificando, obtemos a equação TOC :. Então, que corresponde ao meio-intervalo considerado, portanto há uma solução para a equação original.

Responda:.

B. A solução de sistemas simples de equações contendo o sinal de um valor absoluto não deve causar dificuldades: por via de regra, basta utilizar o método de substituição conhecido pelos alunos.

Exemplo 7. Resolva sistemas de equações:
a B C D)

Soluções:
a) Da primeira equação do sistema obtemos:
Então, após a substituição (*), a segunda equação assumirá a forma:
.
De acordo com (*): para em.
Responda:

B) Da primeira equação do sistema obtemos:
.
Pois, a partir da segunda equação do sistema, obtemos
respectivamente, x \u003d 2.
Pois, a partir da segunda equação do sistema, obtemos y \u003d -5.
Responda:.

C) Da segunda equação do sistema, obtemos:
.
Pois, da primeira equação, obtemos.
Na primeira equação, obtemos; respectivamente,.
Responda:.

D) Neste caso, é mais fácil usar o método da adição e resolver a equação resultante - o método do intervalo.
.

1) não temos soluções;
2) nós entendemos.
Conclusão: e agora temos a primeira equação.
Responda:.

Item 3. Métodos racionais de solução: as considerações geométricas e algébricas mais simples, generalização do método dos intervalos, mudança de variável.

A. Algumas equações simples permitem uma interpretação geométrica clara, sua solução é muito simplificada - intervalos numéricos "inadequados" são imediatamente excluídos da consideração.
Vamos mostrar primeiro que geometricamente existe a distância entre os pontos do eixo numérico que representam os números e. Para fazer isso, no eixo numérico, onde já está marcado e mova a origem até o ponto. As coordenadas dos pontos mudarão:

A distância entre os pontos é, de acordo com o novo quadro de referência, a distância entre os pontos e, ou seja,

Exemplo 8. Resolva as equações: a) b) c) d) e).

Soluções:
a) É necessário indicar no eixo numérico tal x tal que a soma das distâncias de x a 1 e de x a 3 seja 3 unidades. A distância entre 1 e 3 é de 2 unidades, portanto (caso contrário). Acontece que x está à esquerda de 1 ou à direita de 3 - a alguma distância deles, e em qualquer caso. Portanto, onde.

Os dois valores de x agora são facilmente encontrados.
Responda:.
b) É necessário indicar no eixo numérico tais pontos 2x que a distância de 2x a -2 é maior que a distância de 2x a 7 por 9,12 unidades.
Se, a diferença considerada é sempre -9;
Se, a diferença considerada é sempre 9;
Se, a diferença considerada é menor ou igual a 9.
Por exemplo, deixe:

Então.
Resposta: Não há soluções.

C) Vamos reescrever a equação como. Portanto, o x necessário está três vezes mais próximo de 3 do que de 2:

\u003d\u003e nenhuma solução, pois x está sempre mais próximo de 2 do que de 3;
"A olho" ,;
\u003d\u003e "A olho" ,.
Responda:.

D) Este exemplo mostra que uma divisão "estrita" do eixo dos números em intervalos (sem visualizações "sobrepostas") é muito útil:

Não há soluções;
(corresponde ao meio-intervalo considerado);
sem soluções.
Responda:.

E) Vamos começar aplicando o método de intervalo:

Notemos agora que dentro e fora do segmento dado. Portanto, faz sentido considerar a equação apenas neste intervalo, e obteremos :. Obviamente, x \u003d 2.
Responda:.

B. Estudando as faixas de valores dos lados direito e esquerdo da equação, muitas vezes é possível simplificar o curso da solução, excluindo os valores obviamente inadequados da incógnita.

Exemplo 9. Resolva as equações: a) b) c) d).

Soluções:

A) O lado esquerdo da equação não é negativo para qualquer x e o lado direito é um número negativo.
Resposta: Não há soluções.

B) O lado esquerdo da equação é não negativo para qualquer x, portanto, se x for uma solução, então o lado direito também é não negativo. Portanto, basta considerar apenas os valores de x da área que é. Mas então obteve a igualdade errada.
Resposta: Não há soluções.
c) A expressão é positiva para qualquer x, portanto, os colchetes modulares externos podem ser removidos. Além disso, se x for uma solução, o lado direito também é positivo, portanto, é suficiente considerar x do domínio. Então temos (corresponde à área).
Responda:.

D) A soma de dois termos não negativos é igual a 1 se cada um dos termos não ultrapassar um: Visto que, então, no intervalo indicado obtemos Se, então, obviamente, não estamos satisfeitos. Portanto, se x é uma solução, então. E neste meio intervalo temos
É claro que é uma raiz estranha.
Responda:.

C. Considere as equações da forma (1)
Resolvendo esta equação pelo método dos intervalos, obtemos uma equação para esses intervalos, onde e a equação para os intervalos, onde. É claro que não faz sentido considerar cada intervalo separadamente - basta dividi-los nos dois grupos indicados: para cada um deve-se resolver a equação correspondente e verificar as raízes obtidas para cumprimento da condição declarada. portanto

Outra opção também é possível: é claro que entre as soluções da equação, as verdadeiras raízes da equação (1) serão aquelas para as quais, realizando raciocínio semelhante para o caso, obtemos

Qual das opções a escolher depende do tipo de funções, por exemplo, se as soluções das equações são mais fáceis de substituir pela verificação, então é mais razoável aplicar o primeiro método.

Exemplo 10. Resolva as equações: a)
b) c).

Soluções:

A) Suponha
Então nós temos
Suponha
Então não temos soluções.
Vamos agora verificar as raízes obtidas. Vamos reescrever a equação original:
... Porque, ambas as raízes são verdadeiras.
Responda:

B) Suponha
Então não temos soluções.
Suponha
Então nós temos
Para determinar a verdade dessas raízes, verifique a condição. Obtemos: Obviamente, a raiz é estranha. Para verificar, vamos descobrir se isso é verdade. Sendo assim, a desigualdade em consideração não é satisfeita.
Resposta: Não há soluções.

C) Vamos reescrever a equação: Usamos a seguinte ilustração gráfica: (gráficos de funções e são apresentados aqui).

Agora está claro que as lacunas numéricas resultantes devem ser combinadas nos três grupos a seguir:
1). Recebemos (corresponde à condição indicada).
2) Nós temos
sem soluções.
3) Nós temos
sem soluções.
Responda:.

D. O método de substituir alguma expressão por uma nova variável literal é bem conhecido. Você só pode notar que, ao resolver equações contendo um módulo, muitas vezes é possível limitar imediatamente a faixa de variação da nova variável.
Exemplo 11. Resolva equações ou um sistema de equações: a);
b);
no)

Soluções:
a) Substituindo a nova variável, obtemos o sistema, o que significa que e são as raízes da equação.
Responda:.

B) Substituindo a expressão por uma nova variável, obtemos a equação. Nós temos:
... Resta resolver essas equações.
Responda:.

C) Reescrevemos a equação como:
Obviamente, duas opções são possíveis:
1)
2) Substitua por uma nova variável. Observe que de acordo com o significado da substituição e de acordo com o ODD desta equação, ou seja, (*) E a equação assumirá a forma. Uma vez que temos
Levando em consideração (*), finalmente obtemos
Portanto, substituindo por, obtemos
Uma vez que, pelo significado da substituição, obtemos

Tarefas de controle para §1.
1) Resolva usando a definição do módulo de um número:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j).

2) Resolva as equações "padrão":
a) b) c) d) e) f) g) h) i).

3) Resolva pelo método dos intervalos:
a) b); c) d) e) f) g) h) i) k) l) m) n) o) n) p) c) t) y) f) x) h)

4) Decida de forma racional:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) l) m) n)

5) Resolva os sistemas de equações:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) l) m) n) o) n) p)

Tarefas para plotar a função do "módulo" e tarefas com parâmetros são tradicionalmente um dos tópicos mais difíceis da matemática, portanto sempre está incluído nas tarefas de nível avançado e avançado do Exame Estadual e Exame Estadual Unificado.

O conceito de “módulo” é estudado na escola desde o 6º ano e, ao nível, apenas definições e cálculos, apesar de ser amplamente utilizado em muitas secções do curso de matemática escolar, por exemplo, no estudo dos erros absolutos e relativos do número aproximado; em geometria e física, serão estudados os conceitos de vetor e seu comprimento (módulo de um vetor). Os conceitos do módulo são usados \u200b\u200bem cursos de matemática superior, física e ciências técnicas estudados em instituições de ensino superior.

Os graduados enfrentam o problema de passar com sucesso na Agência de Exames do Estado no 9º ano e, posteriormente, no Exame Estadual Unificado.

Este ano, nas aulas de matemática, nos familiarizamos com o conceito de função linear e aprendemos a traçar seu gráfico. Foi mostrado que este gráfico é tomado como base para a construção da função "módulo". Além disso, a professora disse que as equações vêm com um ou mais módulos. Decidi estudar este tópico mais profundamente, especialmente porque será útil para mim ao passar nos exames.

Tópico "Método gráfico para resolver equações contendo um valor absoluto"

Objetivo : estudo da possibilidade de construção racional de gráficos com módulos para resolução de equações contendo um módulo e um parâmetro

Estude a teoria resolvendo métodos de equações com um módulo.

Aprenda a resolver equações de 1º grau contendo o sinal do valor absoluto.

Classifique métodos gráficos para resolver equações.

Analise as vantagens e desvantagens de vários métodos para traçar a função "módulo".

Descubra o que é um parâmetro

Aplicar métodos racionais para resolver equações com um parâmetro

Objeto - métodos para resolver equações com um módulo

Método gráfico do assunto para resolver equações

Métodos de pesquisa: teóricos e práticos:

teórico - é o estudo da literatura sobre o tema de pesquisa; informações da Internet;

prático é a análise das informações obtidas no estudo da literatura, os resultados obtidos pela resolução de equações com um módulo de várias formas;

comparação de métodos de resolução de equações, o assunto da racionalidade de seu uso ao resolver várias equações com um módulo.

Capítulo I

Conceitos e definições

1.1 O conceito de “módulo” é amplamente utilizado em muitas seções do curso de matemática escolar, por exemplo, no estudo dos erros absolutos e relativos do número aproximado; em geometria e física, são estudados os conceitos de vetor e seu comprimento (módulo de um vetor). Os conceitos do módulo são usados \u200b\u200bem cursos de matemática superior, física e ciências técnicas estudados em instituições de ensino superior.

A palavra "módulo" vem da palavra latina "módulo", que significa "medida". Esta palavra tem muitos significados e é usada não só em matemática, física e tecnologia, mas também em arquitetura, programação e outras ciências exatas.Acredita-se que o termo foi sugerido para ser usado por Cotes, um aluno de Newton. O sinal de módulo foi introduzido no século 19 por Weierstrass.

Na arquitetura, o módulo é a unidade de medida inicial definida para uma determinada estrutura arquitetônica. Na engenharia, este é um termo usado em vários campos da tecnologia, servindo para denotar vários coeficientes e quantidades, por exemplo, o módulo de elasticidade, módulo de engajamento. Em matemática, módulo tem vários significados, mas Vou considerá-lo como o valor absoluto de um número.

Definição : Módulo (valor absoluto) de um número real eeste número é chamado se e≥0, ou o número oposto - e, se um e<0; o módulo de zero é zero.

Módulo é a distância em uma linha de coordenadas de zero a um ponto.

1.2. Uma equação com módulo é uma equação que contém uma variável sob o sinal absoluto (sob o sinal do módulo). Resolver uma equação significa encontrar todas as suas raízes, ou provar que não há raízes. Métodos para resolver equações com um módulo:

1. Pela definição de um módulo - "remover o módulo". A decisão é baseada na definição.

2. Método analítico - resolução de equações usando transformações de expressões incluídas na equação e as propriedades do módulo.

3. Método dos intervalos: expansão do módulo em intervalos e meios intervalos formados pelos "zeros" dos módulos.

4.Método gráfico. A essência desse método é plotar essas funções, representando os lados esquerdo e direito da equação. Se os gráficos se cruzam, então as abscissas dos pontos de interseção desses gráficos serão as raízes desta equação.

1.3 Métodos para traçar gráficos de funções com módulo

1.3.1. Priorado. Duas linhas retas são construídas y \u003d kx + b, onde x\u003e 0, y \u003d -kh + b, onde x<0

1.3.2 Método de simetria. Um gráfico é traçado y \u003d kx + b, para x\u003e 0. Parte da linha reta para x<0 отображается относительно оси абцисс.

1.3.3. Conversão de funções:

a) y \u003d | x | + n o gráfico sobe no eixo das ordenadas em unidades

b) y \u003d | x | -n o gráfico é deslocado para baixo na ordenada

c) y \u003d | x + n | o gráfico é deslocado para a esquerda ao longo do eixo das abcissas

d) y \u003d | x -n | o gráfico é deslocado para a direita ao longo do eixo das abcissas

1.3.4. O método dos intervalos. A linha de coordenadas é dividida em intervalos e meio-intervalos por zeros de módulos. Além disso, usando a definição do módulo, para cada uma das áreas encontradas, obtemos uma equação que deve ser resolvida neste intervalo e obtemos uma função.

1.3.5. Método de expansão das regiões de zeros. No caso em que existem vários módulos, é mais conveniente não expandir os módulos, mas usar a seguinte instrução: a soma algébrica dos módulos n expressões lineares é uma função linear por partes, cujo gráfico consiste em n +1 segmentos de linha reta.

Então o gráfico pode ser construído por n+2 pontos, n das quais são as raízes das expressões intramodulares, uma mais é um ponto arbitrário com uma abcissa, a menor das menores dessas raízes, e o último com uma abscissa, a maior das maiores das raízes.

1.4. Nós temos a equação ax + b \u003d c.Nesta equação x - desconhecido, a, b, c - coeficientes que podem assumir diferentes valores numéricos. Os coeficientes definidos desta forma são chamados de parâmetros. Uma equação com parâmetros define muitas equações (para todos os valores de parâmetro possíveis).

essas são todas as equações que são definidas pela equação com parâmetros ax + b \u003d c.

Resolver uma equação com parâmetros significa:

Indique em quais valores dos parâmetros a equação tem raízes e quantas delas estão em diferentes valores dos parâmetros.

Encontre todas as expressões para as raízes e indique para cada uma delas os valores dos parâmetros nos quais essa expressão determina a raiz da equação.

1.5.Conclusões:

Assim, existem diferentes métodos de traçar gráficos com um módulo que precisam ser investigados para a possibilidade de sua aplicação racional.

Capítulo II

Análise de métodos de plotagem de funções contendo um módulo e aplicativo

« Um gráfico é uma linha falante

o que pode dizer muito "

M.B. Balk

2.1. Estudando os tipos de equações com um módulo, vimos que podem ser divididas por tipos e métodos de solução.

Tabela. Classificação dos tipos de equações e seus métodos de solução.

Tipo de equação

Tipo de equação

Método de solução

1. Equação com um módulo

| x n | \u003d a

| x | n \u003d a

1. Por definição de módulo

2. Gráfico

3. Analítico

2. Equação contendo 2 módulos

| x n | | x m | \u003d a

1. Por definição de módulo

2. Gráfico

3. Método dos intervalos

4. Analítico

3. Módulos aninhados

||| x n | m || \u003de

1. Por definição de módulo

2. Gráfico

Conclusão: assim, a classificação das equações dá-nos métodos gerais para resolver todos os tipos de equações - isto é, por definição, um módulo e um método gráfico.

2.2.Análise de plotagem.

2.2.1. Tipo 1. Construção de y \u003d | x |

2.2.1.1.Priorado.

1. Construa uma linha reta y \u003d x

2. Selecione parte da linha reta em x 0

3. Construa uma linha reta y \u003d -x

4. Selecione a parte da linha reta em x<0

2.2.1.2. Método de simetria

1. Construa uma linha reta y \u003d x

2. Construir simetria sobre o eixo de abscissa em x<0

2.2.1.3. Construção y \u003d | x -2 |

1. Construa uma linha reta y \u003d x-2

2. Selecione parte da linha reta em x-2 0

3. Construa uma linha reta y \u003d -x + 2

4. Selecione parte da linha reta em x-2<0

Conclusão: o método de simetria é mais racional

2.2.2. Tipo 2.

Tarefa: construir um gráfico y \u003d

2.2.2.1.Método de espaçamento

1. no
obtemos y \u003d -x + 3 + 1-x-4; y \u003d -2x

2. em
obtemos \u003d -x + 3-1 + x-4; y \u003d -2

3. em
obtemos y \u003d x-3-1 + x-4; y \u003d 2x-8

4. Construímos todas as linhas retas.

5. Selecione partes de linhas retas em intervalos

2.2.2.2.Método de Expansão de Região Zero

1.Zeros: 3 e 1; área estendida: 2.4.0

2. Calcular os valores em: 3,1,2,4,0 é: -2, -2, -2, 0, 0

3. Coloque pontos com suas coordenadas e conecte

Conclusão: O método de expansão da região de zeros é mais racional

2.2.3. Tipo 3. Módulos aninhados - "matryoshka"

E siga a construção y \u003d || x | -1 |

2.2.3.1. Por definição de módulo

Pela definição do módulo principal, temos:

1) x\u003e 0 y \u003d | x | -1

2) x<0 у=-|х|+1

2. "Remova" o seguinte módulo:

Módulo: y \u003d x-1, x\u003e 0 e y \u003d -x + 1 x<0

y \u003d -x + 1 x\u003e 0 y \u003d x-1 x<0

3. Construímos gráficos

2.2.3.2 Método de simetria

1.y \u003d | x | -1
y \u003d x-1, simetria

2. Simetria sobre o eixo de abscissa da parte do gráfico, onde x-1<0

Conclusão: o método da simetria é mais racional.

2.2.4. Vamos resumir a análise dos resultados em uma tabela:

Conhecimento e habilidades

desvantagens

Priorado

Definição de Módulo

Saber: como são determinadas as coordenadas dos pontos das retas

Ser capaz de selecionar uma parte de uma linha reta por desigualdade

Soluções volumosas

Aplicação de um grande corpo de conhecimento

Ao “remover” o módulo, erros podem ser cometidos

Método de simetria

Conhecer e ser capaz de aplicar funções de transformação

Construir simetria sobre o eixo de abscissa

Conhecimento de algoritmos de transformação de gráfico

Método de espaçamento

Encontre zeros do módulo

Defina intervalos e meios-intervalos

Módulos de expansão

Calcular módulos

Forneça termos semelhantes

Ser capaz de traçar pontos por suas coordenadas

Construir direito

Soluções volumosas

Muitos cálculos e conversões ao remover zeros

Leva muito tempo

Exatidão da determinação de intervalos e meios-intervalos

Método de Expansão de Zeros

Encontre zeros do módulo

Ser capaz de expandir a área de zeros

Ser capaz de calcular módulos nesses pontos

Ser capaz de traçar pontos por suas coordenadas

Tolerância de erro de cálculo

Método de transformação de função

Conheça o algoritmo de conversão

Ser capaz de traçar pontos por suas coordenadas

Ser capaz de calcular as coordenadas dos pontos

Ser capaz de aplicar um algoritmo de conversão

Conhecimento de algoritmos de transformação de gráfico

Conclusão: analisando a tabela, concluímos que o método de simetria e expansão da área dos zeros é o mais racional, uma vez que contêm a menor quantidade de ações a serem construídas, o que significa que economizam tempo.

2.3.Aplicação de métodos de plotagem racional para resolver equações com módulo e parâmetro

2.3.1. Resolva a equação:

Nós construímos y \u003d
e y \u003d 0,5-x

2. Área estendida: -1.2

3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)

4. Desenhe linhas e raios

2.3.2. USE 2009 Encontre todos os valores de a, para cada um dos quais a equação
, tem exatamente 1 raiz. a \u003d 7. No decorrer do trabalho realizado, pudemos estudar e analisar diferentes métodos de plotagem. Como resultado da análise e comparação dos métodos gráficos, as seguintes conclusões foram obtidas:

Traduzir um problema algébrico para uma linguagem rrafiks permite que você evite soluções complicadas;

Ao resolver equações contendo um módulo e um parâmetro, o método gráfico é mais visual e relativamente mais simples;

Ao construir gráficos contendo 2 módulos e uma "boneca de aninhamento", o método de simetria é mais prático;

Embora o método gráfico para resolver equações seja aproximado, uma vez que a precisão depende da linha unitária selecionada, a espessura do lápis, os ângulos em que as linhas se cruzam, etc., mas este método permite estimar o número de raízes de equações para resolver equações com um parâmetro.

Considerando que uma das tarefas mais populares no exame e no GIA são equações com um módulo, então meu principal resultado é que posso resolver equações com um módulo e um parâmetro de forma gráfica.

Lista de referências

1. Dankova I. "Formação inicial em matemática", Moscou, 2006.

2. Trabalho extracurricular em matemática. Alkhova Z.N., Makeeva A.V., Saratov: Lyceum, 2003.

3. Matemática. Livro didático editado por L.Ya. Muravya, Moscow Bridge, 1994.

4. Matemática. Grades 8-9: uma coleção de disciplinas eletivas. Edição-2 Autor-compilador: M.E. Kozina., Volgogrado: Professor, 2007

5. Yastrebinetskiy G.A. Tarefas com parâmetros. M, 2006.