a) Encontre as equações dos lados do triângulo ABC.
b) Encontre a equação de uma das medianas do triângulo ABC.
c) Encontre a equação de uma das alturas do triângulo ABC.
d) Encontre a equação de uma das bissetoras do triângulo ABC.
e) Encontre a área do triângulo ABC.
Decisão realizamos usando uma calculadora.
As coordenadas do triângulo são fornecidas: A (2,1), B (1, -2), C (-1,0).
1) Coordenadas vetoriais
Encontramos as coordenadas dos vetores pela fórmula:
X \u003d x j - x i; Y \u003d y j - y i
Por exemplo, para o vetor AB
X \u003d 1-2 \u003d -1; Y \u003d -2-1 \u003d -3
AB (-1; -3)
AC (-3; -1)
BC (-2; 2)
2) Módulos de vetores
3) Ângulo entre linhas retas
O ângulo entre os vetores a 1 (X 1; Y 1), a 2 (X 2; Y 2) pode ser encontrado pela fórmula: 
onde a 1 a 2 \u003d X 1 X 2 + Y 1 Y 2
Encontre o ângulo entre os lados AB e AC 
γ \u003d arccos (0,6) \u003d 53,13 0
4) Projeção vetorial
Projeção vetorial b por vetor uma pode ser encontrado pela fórmula:
Encontre a projeção do vetor AB no vetor AC 
5) Área de um triângulo
Decisão
Pela fórmula, obtemos:
6) Divisão de um segmento a este respeito
O vetor de raio r do ponto A, dividindo o segmento AB na razão AA: AB \u003d m 1: m 2, é determinado pela fórmula: 
As coordenadas do Ponto A são encontradas pelas fórmulas: 
Equação da mediana do triângulo
Denotamos o ponto médio do lado BC pela letra M. Então, as coordenadas do ponto M podem ser encontradas pelas fórmulas para dividir o segmento ao meio. 
M (0; -1)
Encontraremos a equação mediana AM usando a fórmula para a equação de uma linha reta passando por dois pontos dados. A mediana AM passa pelos pontos A (2; 1) e M (0; -1), portanto:
ou
ou
y \u003d x -1 ou y -x +1 \u003d 0
7) Equação de uma linha reta
Equação da linha reta AB
ou
ou
y \u003d 3x -5 ou y -3x +5 \u003d 0
Equação da linha AC
ou
ou
y \u003d 1/3 x + 1/3 ou 3y -x - 1 \u003d 0
Equação da linha BC 
ou
ou
y \u003d -x -1 ou y + x +1 \u003d 0
8) O comprimento da altura do triângulo desenhado a partir do vértice A
A distância d do ponto M 1 (x 1; y 1) à linha reta Ax + By + C \u003d 0 é igual ao valor absoluto da quantidade: 
Encontre a distância entre o ponto A (2; 1) e a linha BC (y + x +1 \u003d 0) 
9) Equação de altura através do vértice C
A reta que passa pelo ponto M 0 (x 0; y 0) e perpendicular à reta Ax + By + C \u003d 0 tem um vetor de direção (A; B) e, portanto, é representada pelas equações: 
Essa equação pode ser encontrada de outra maneira. Para fazer isso, encontramos a inclinação k 1 da reta AB.
Equação AB: y \u003d 3x -5, ou seja k 1 \u003d 3
Vamos encontrar a inclinação k da perpendicular a partir da condição de que duas retas são perpendiculares: k 1 * k \u003d -1.
Substituindo em vez de k 1 a inclinação desta linha reta, obtemos:
3k \u003d -1, de onde k \u003d -1 / 3
Como a perpendicular passa pelo ponto C (-1,0) e tem k \u003d -1 / 3, procuraremos sua equação na forma: y-y 0 \u003d k (x-x 0).
Substituindo x 0 \u003d -1, k \u003d -1 / 3, y 0 \u003d 0, obtemos:
y-0 \u003d -1 / 3 (x - (- 1))
ou
y \u003d -1 / 3 x - 1/3
Equação da bissetriz de um triângulo
Encontre a bissetriz do ângulo A. O ponto de intersecção da bissetriz com o lado BC é denotado por M.
Vamos usar a fórmula: 
Equação AB: y -3x +5 \u003d 0, Equação AC: 3y -x - 1 \u003d 0 
^ A ≈ 53 0
A bissetriz divide o ângulo pela metade, portanto, o ângulo NAK ≈ 26,5 0
A tangente da inclinação AB é 3 (uma vez que y -3x +5 \u003d 0). O ângulo de inclinação é 72
^ NKA≈ 180 0 - 72 0 \u003d 108 0
^ ANK ≈ 180 0 - (108 0 + 26,5 0) ≈ 45,5 0
tg (45,5 0) \u003d 1
A bissetriz passa pelo ponto A (2,1), utilizando a fórmula, temos:
y - y 0 \u003d k (x - x 0)
y - 1 \u003d 1 (x - 2)
ou
y \u003d x -1
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Exemplo... As coordenadas dos vértices do triângulo ABC são dadas: A (–3; –1), B (4; 6), C (8; –2).
Requerido: 1) calcular o comprimento do lado da aeronave; 2) elaborar uma equação para o lado da aeronave; 3) encontre o canto interno do triângulo no vértice B; 4) traçar a equação da altura da AK traçada a partir do vértice A; 5) encontre as coordenadas do centro de gravidade de um triângulo homogêneo (pontos de intersecção de suas medianas); 6) fazer um desenho em um sistema de coordenadas.
A tarefa... As coordenadas dos vértices do triângulo ABC são dadas: A (7; 4), B (-9; -8), C (-2; 16). Requeridos:
- iguale a mediana do vértice B e calcule seu comprimento.
- iguale a altura do vértice A e calcule seu comprimento.
- encontre o cosseno do ângulo interno B do triângulo ABC.
Baixar solução
Exemplo No. 3... Você recebe os vértices A (1; 1), B (7; 4), C (4; 5) do triângulo. Encontre: 1) o comprimento do lado AB; 2) ângulo interno A em radianos com precisão de 0,001. Faça um desenho.
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Exemplo No. 4... Você recebe os vértices A (1; 1), B (7; 4), C (4; 5) do triângulo. Encontre: 1) a equação da altura desenhada através do vértice C; 2) a equação da mediana desenhada pelo vértice C; 3) o ponto de intersecção das alturas do triângulo; 4) o comprimento da altura caiu do vértice C. Faça um desenho.
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Exemplo No. 5... Os vértices do triângulo ABC são dados: A (-5; 0), B (7; -9), C (11; 13). Determine: 1) o comprimento do lado AB; 2) a equação dos lados AB e AC e suas inclinações; 3) a área do triângulo.
As coordenadas dos vetores são encontradas pela fórmula: X \u003d x j - x i; Y \u003d y j - y i
aqui Coordenadas X, Y vetores; x i, y i - coordenadas do ponto A i; x j, y j - coordenadas do ponto А j
Por exemplo, para o vetor AB
X \u003d x 2 - x 1; Y \u003d y 2 - y 1
X \u003d 7 - (- 5) \u003d 12; Y \u003d -9-0 \u003d -9
AB (12; -9), AC (16; 13), BC (4; 22).
O comprimento dos lados do triângulo
O comprimento do vetor a (X; Y) é expresso por meio de suas coordenadas pela fórmula:
Área de um triângulo
Sejam os pontos A 1 (x 1; y 1), A 2 (x 2; y 2), A 3 (x 3; y 3) os vértices do triângulo, então sua área é expressa pela fórmula:
No lado direito, há um determinante de segunda ordem. A área de um triângulo é sempre positiva.
Decisão... Tomando A como o primeiro vértice, encontramos:
Pela fórmula, obtemos:
Equação em linha reta
A linha reta que passa pelos pontos A 1 (x 1; y 1) e A 2 (x 2; y 2) é representada pelas equações:
Equação da linha reta AB
A equação canônica da linha:
ou
ou
y \u003d -3 / 4 x -15 / 4 ou 4y + 3x +15 \u003d 0
A inclinação da linha reta AB é k \u003d -3 / 4
Equação da linha AC
ou
ou
y \u003d 13/16 x + 65/16 ou 16y -13x - 65 \u003d 0
A inclinação da linha reta AB é k \u003d 13/16
A tarefa... As coordenadas dos vértices da pirâmide ABCD são fornecidas. Requeridos:
- Escreva os vetores no sistema ort e encontre os módulos desses vetores.
- Encontre o ângulo entre os vetores.
- Encontre a projeção de um vetor em um vetor.
- Encontre a área de um rosto ABC.
- Encontre o volume da pirâmide ABCD.
Exemplo 1
A 1 (1,8,2), A 2 (5,2,6), A 3 (0, -1, -2), A 4 (-2,3, -1): Exemplo No. 2
A 1 (5,2,1), A 2 (-3,9,3), A 3 (-1,3,5), A 4 (-1, -5,2): Exemplo No. 3
A 1 (-1.0.2), A 2 (-2.0.6), A 3 (-3.1.2), A 4 (-1.2.4): Exemplo No. 4
A tarefa... Encontre o ângulo agudo entre as linhas x + y -5 \u003d 0 e x + 4y - 8 \u003d 0.
Recomendações para solução... A tarefa é resolvida usando o serviço Ângulo entre duas linhas retas.
Responda: 30,96 o
Exemplo 1... As coordenadas dos pontos A1 (1; 0; 2), A2 (2; 1; 1), A3 (-1; 2; 0), A4 (-2; -1; -1) são fornecidas. Encontre o comprimento da aresta A1A2. Iguale a aresta A1A4 e a face A1A2A3. Faça uma equação da altura baixada do ponto A4 ao plano A1A2A3. Encontre a área do triângulo A1A2A3. Encontre o volume da pirâmide triangular A1A2A3A4.
As coordenadas dos vetores são encontradas pela fórmula: X \u003d x j - x i; Y \u003d y j - y i; Z \u003d z j - z i
aqui coordenadas X, Y, Z do vetor; x i, y i, z i - coordenadas do ponto A i; x j, y j, z j - coordenadas do ponto A j;
Então, para o vetor A 1 A 2 eles serão os seguintes:
X \u003d x 2 - x 1; Y \u003d y 2 - y 1; Z \u003d z 2 - z 1
X \u003d 2-1; Y \u003d 1-0; Z \u003d 1-2
A 1 A 2 (1; 1; -1)
A 1 A 3 (-2; 2; -2)
A 1 A 4 (-3; -1; -3)
A 2 A 3 (-3; 1; -1)
A 2 A 4 (-4; -2; -2)
A 3 A 4 (-1; -3; -1)
O comprimento do vetor a (X; Y; Z) é expresso por meio de suas coordenadas pela fórmula: 
Problema 1. As coordenadas dos vértices do triângulo ABC são dadas: A (4; 3), B (16; -6), C (20; 16). Encontre: 1) o comprimento do lado AB; 2) as equações dos lados AB e BC e suas inclinações; 3) o ângulo B em radianos com precisão de dois dígitos; 4) a equação da altura do CD e seu comprimento; 5) a equação da mediana AE e as coordenadas do ponto K de intersecção desta mediana com a altura CD; 6) a equação da reta que passa pelo ponto K paralelo ao lado AB; 7) coordenadas do ponto M, localizadas simetricamente ao ponto A em relação à linha reta CD.
Decisão:
1. A distância d entre os pontos A (x 1, y 1) e B (x 2, y 2) é determinada pela fórmula
Aplicando (1), encontramos o comprimento do lado AB:
2. A equação da linha reta que passa pelos pontos A (x 1, y 1) e B (x 2, y 2) tem a forma
(2)
Substituindo as coordenadas dos pontos A e B em (2), obtemos a equação do lado AB:
Tendo resolvido a última equação para y, encontramos a equação do lado AB na forma de uma equação de uma linha reta com uma inclinação:
de onde
Substituindo em (2) as coordenadas dos pontos B e C, obtemos a equação da reta BC:
Ou 
3. Sabe-se que a tangente do ângulo entre duas retas, cujas inclinações são respectivamente iguais e é calculada pela fórmula
(3)
O ângulo B procurado é formado pelas retas AB e BC, cujas inclinações se encontram: Aplicando (3), obtemos
Ou feliz.
4. A equação de uma linha reta passando por um determinado ponto em uma determinada direção tem a forma
(4)
A altura do CD é perpendicular ao lado AB. Para encontrar a inclinação da altura CD, usamos a condição de que as linhas sejam perpendiculares. Desde então 
Substituindo em (4) as coordenadas do ponto C e a inclinação encontrada da altura, obtemos
Para encontrar o comprimento da altura CD, primeiro determinamos as coordenadas do ponto D - o ponto de intersecção das linhas AB e CD. Resolvendo o sistema juntos:
encontrar 
Essa. D (8; 0).
Usando a fórmula (1), encontramos o comprimento da altura CD:
5. Para encontrar a equação para a mediana AE, primeiro determinamos as coordenadas do ponto E, que é o meio do lado BC, usando a fórmula para dividir o segmento em duas partes iguais:
(5)
Conseqüentemente,
Substituindo as coordenadas dos pontos A e E em (2), encontramos a equação para a mediana:
Para encontrar as coordenadas do ponto de intersecção da altura CD e a mediana AE, resolvemos em conjunto o sistema de equações
Nós achamos.
6. Uma vez que a linha reta necessária é paralela ao lado AB, então sua inclinação será igual a declive AB reto. Substituindo em (4) as coordenadas do ponto encontrado K e a inclinação, obtemos 
3x + 4y - 49 \u003d 0 (KF)
7. Como a linha AB é perpendicular à linha CD, o ponto procurado M, localizado simetricamente ao ponto A em relação à linha CD, encontra-se na linha AB. Além disso, o ponto D é o ponto médio do segmento AM. Aplicando as fórmulas (5), encontramos as coordenadas do ponto M desejado:
Triângulo ABC, altura CD, mediana AE, linha reta KF e ponto M são plotados no sistema de coordenadas xOy na Fig. 1
Objetivo 2.
Elabore a equação do lugar geométrico dos pontos, cuja razão entre as distâncias e um determinado ponto A (4; 0) e uma determinada linha reta x \u003d 1 é 2. 
Decisão:
No sistema de coordenadas xOy, construímos um ponto A (4; 0) e uma linha reta x \u003d 1. Seja M (x; y) um ponto arbitrário do local desejado de pontos. Deixe-nos baixar a perpendicular MB para a linha dada x \u003d 1 e determinar as coordenadas do ponto B. Como o ponto B está em uma linha reta, sua abscissa é 1. A ordenada do ponto B é igual à ordenada do ponto M. Portanto, B (1; y) (Fig. 2 )
Pela condição do problema | MA |: | MV | \u003d 2. Distâncias | MA | e | MB | encontramos pela fórmula (1) do problema 1:
Quadrando os lados esquerdo e direito, obtemos
ou
A equação resultante é uma hipérbole com o semieixo real a \u003d 2, e o imaginário
Vamos definir os focos da hipérbole. Para a hipérbole, a igualdade é mantida. Consequentemente, e 
- focos de hipérbole. Como você pode ver, o ponto A (4; 0) fornecido é o foco correto da hipérbole.
Vamos determinar a excentricidade da hipérbole resultante:
As equações das assíntotas da hipérbole têm a forma e. Portanto, ou e são as assíntotas da hipérbole. Antes de construir uma hipérbole, construímos suas assíntotas.
Problema 3. Faça uma equação para a localização dos pontos equidistantes do ponto A (4; 3) e linha reta y \u003d 1. Reduza a equação resultante à sua forma mais simples.
Decisão: Seja M (x; y) um dos pontos do locus de pontos desejado. Deixemos cair do ponto M a perpendicular MB para a reta dada y \u003d 1 (Fig. 3). Determine as coordenadas do ponto B. Obviamente, a abscissa do ponto B é igual à abscissa do ponto M e a ordenada do ponto B é igual a 1, ou seja, B (x; 1). Pela declaração do problema | MA | \u003d | MV |. Consequentemente, para qualquer ponto M (x; y) pertencente ao lugar geométrico desejado dos pontos, a seguinte igualdade é verdadeira:
A equação resultante define uma parábola com vértice em um ponto. Para trazer a equação da parábola à sua forma mais simples, colocamos ey + 2 \u003d Y, então a equação da parábola assume a forma: 
Como aprender a resolver problemas em geometria analítica?
Um problema típico com um triângulo em um avião
Esta lição é criada sobre a abordagem do equador entre a geometria plana e a geometria espacial. NO este momento há necessidade de sistematizar as informações acumuladas e responder a uma questão muito importante: como aprender a resolver problemas em geometria analítica? A dificuldade reside no fato de que você pode pensar em um número infinito de problemas em geometria, e nenhum livro conterá toda a multidão e variedade de exemplos. Não é derivada de uma função com cinco regras de diferenciação, uma tabela e várias técnicas….
Existe uma solução! Não direi palavrões que desenvolvi algum tipo de técnica grandiosa, porém, em minha opinião, existe uma abordagem eficaz para o problema em consideração, que permite até mesmo um bule cheio atingir um desempenho bom e excelente. Pelo menos, o algoritmo geral para resolver problemas geométricos está claramente formado em minha cabeça.
O QUE VOCÊ PRECISA saber e ser capaz de
resolver problemas de geometria com sucesso?
Não há como escapar disso - para não apertar botões aleatoriamente, você precisa dominar os fundamentos da geometria analítica. Portanto, se você apenas começou a estudar geometria ou a esqueceu completamente, comece com uma lição Vetores para manequins... Além de vetores e ações com eles, você precisa conhecer os conceitos básicos de geometria plana, em particular, equação de uma linha reta em um plano e. A geometria do espaço é apresentada por artigos Equação plana, Equações de uma linha reta no espaço, Tarefas básicas na linha e no avião e algumas outras lições. Linhas curvas e superfícies espaciais de segunda ordem estão um tanto afastadas e não há tantos problemas específicos com elas.
Suponha que um aluno já tenha conhecimentos e habilidades elementares para resolver os problemas mais simples de geometria analítica. Mas acontece assim: você lê a condição do problema, e ... você quer fechar tudo de uma vez, jogá-lo em um canto distante e esquecer que tal pesadelo... Além disso, isso não depende fundamentalmente do nível das suas qualificações: de vez em quando, eu mesmo encontro tarefas para as quais a solução não é óbvia. O que fazer nesses casos? Não há necessidade de ter medo de uma tarefa que você não entende!
Em primeiro lugar, você deve instalar - é um problema "plano" ou espacial? Por exemplo, se vetores com duas coordenadas aparecem na condição, então, é claro, esta é a geometria do plano. E se o professor carregou o ouvinte agradecido com uma pirâmide, então esta é claramente a geometria do espaço. Os resultados da primeira etapa já são bastante bons, pois conseguimos cortar uma grande quantidade de informações desnecessárias para essa tarefa!
Segundo... A condição geralmente irá preocupá-lo com alguma forma geométrica. De fato, caminhe pelos corredores de sua universidade natal e verá muitos rostos preocupados.
Em problemas "planos", para não mencionar os pontos e linhas garantidos, a figura mais popular é o triângulo. Vamos analisá-lo detalhadamente. Em seguida, vem o paralelogramo e, muito menos comuns, são retângulos, quadrados, losangos, círculos e outras formas.
Em problemas espaciais, podem voar as mesmas figuras planas + os próprios planos e as pirâmides triangulares comuns com paralelepípedos.
Segunda questão - você sabe tudo sobre essa figura? Suponha que a condição seja sobre um triângulo isósceles, e você lembra vagamente que tipo de triângulo é. Abrimos um livro escolar e lemos sobre um triângulo isósceles. O que fazer ... o médico disse um diamante, o que significa um diamante. Geometria analítica é geometria analítica, mas a tarefa ajudará a resolver as propriedades geométricas das próprias figurasconhecido por nós de currículo escolar... Se você não sabe a que é igual a soma dos ângulos do triângulo, você pode sofrer por muito tempo.
Terceiro. SEMPRE tente seguir o desenho (em um rascunho / cópia limpa / mentalmente), mesmo se isso não for exigido pela condição. Nos problemas "planos", o próprio Euclides mandava pegar uma régua e um lápis nas mãos - e não apenas para entender a condição, mas também para fins de auto-exame. Nesse caso, a escala mais conveniente é 1 unidade \u003d 1 cm (2 células tétrades). Não vamos falar sobre alunos descuidados e matemáticos girando em caixões - nesses problemas é quase impossível cometer um erro. Para tarefas espaciais, realizamos um desenho esquemático, que também ajudará a analisar a condição.
Um desenho ou desenho esquemático geralmente permite que você veja imediatamente a maneira de resolver um problema. Claro, para isso você precisa saber os fundamentos da geometria e cortar as propriedades das formas geométricas (consulte o parágrafo anterior).
Quarto. Desenvolvimento de algoritmo de solução... Muitos problemas de geometria são multipassos, então a solução e seu projeto são muito convenientes para quebrar em pontos. Freqüentemente, o algoritmo vem imediatamente à mente depois de ler uma condição ou concluir um desenho. Em caso de dificuldades, começamos com a PERGUNTA do problema... Por exemplo, de acordo com a condição "você precisa construir uma linha reta ...". Aqui, a pergunta mais lógica é: "O que é suficiente saber para construir esta linha?" Suponha que “sabemos o ponto, precisamos saber o vetor de direção”. Fazemos a próxima pergunta: “Como encontrar esse vetor de direção? De onde? " etc.
Às vezes há uma "mordaça" - o problema não está resolvido e é isso. As razões para a rolha podem ser as seguintes:
- Grave lacuna no conhecimento básico. Em outras palavras, você não sabe ou (e) não vê algo muito simples.
- Desconhecimento das propriedades das formas geométricas.
- A tarefa foi difícil. Sim, isso acontece. Não faz sentido tomar banho por horas e recolher as lágrimas em um lenço. Peça conselhos de seu professor, de outros alunos ou faça uma pergunta no fórum. Além disso, é melhor tornar sua configuração específica - sobre aquela parte da solução que você não entende. Um grito na forma de "Como resolver o problema?" não parece muito bom ... e acima de tudo para a sua própria reputação.
Estágio cinco... Nós decidimos-verificamos, decidimos-conferimos, decidimos-conferimos-damos a resposta. É benéfico verificar cada ponto da tarefa imediatamente após sua conclusão... Isso o ajudará a identificar o erro imediatamente. Naturalmente, ninguém proíbe resolver rapidamente todo o problema, mas existe o risco de reescrever tudo do zero (muitas vezes várias páginas).
Estas são, talvez, todas as principais considerações que convém orientar ao resolver problemas.
A parte prática da lição é representada pela geometria em um plano. Haverá apenas dois exemplos, mas não parecerão poucos \u003d)
Vamos percorrer o fio do algoritmo que acabei de discutir em meu pequeno trabalho científico:
Exemplo 1
São fornecidos três picos de um paralelogramo. Encontre o topo.
Começamos a entender:
Passo um: é óbvio que estamos falando de um problema "plano".
Passo dois: o problema é sobre um paralelogramo. Todo mundo se lembra de uma figura de paralelogramo? Não há necessidade de sorrir, muitas pessoas recebem educação na idade de 30-40-50 anos ou mais, então até mesmo fatos simples podem ser apagados da memória. A definição de um paralelogramo é encontrada no Exemplo # 3 da lição. (Não) dependência linear de vetores. Base vetorial.
Passo três: Vamos fazer um desenho no qual marcamos três picos conhecidos. É engraçado como é fácil construir imediatamente o ponto desejado: 
É claro que construir é bom, mas a decisão deve ser formulada analiticamente.
Etapa quatro: Desenvolvimento de um algoritmo de solução. A primeira coisa que vem à mente é que o ponto pode ser encontrado como a interseção de linhas retas. Não conhecemos suas equações, então temos que lidar com este problema:
1) Os lados opostos são paralelos. Por pontos 
encontre o vetor de direção desses lados. Esta é a tarefa mais simples considerada na lição. Vetores para manequins.
Nota: é mais correto dizer "a equação de uma linha reta contendo um lado", mas doravante, para abreviar, usarei as frases "equação de um lado", "vetor de direção de um lado", etc.
3) Os lados opostos são paralelos. Encontre o vetor de direção desses lados por pontos.
4) Vamos fazer a equação de uma linha reta ao longo de um ponto e um vetor de direção
Nos pontos 1-2 e 3-4, na verdade resolvemos o mesmo problema duas vezes, aliás, ele foi desmontado no exemplo número 3 da lição Os problemas mais simples com uma linha reta em um avião... Era possível percorrer um caminho mais longo - primeiro, encontrar as equações das retas e só então "puxar" os vetores de direção delas.
5) Agora as equações das retas são conhecidas. Resta redigir e resolver o sistema correspondente equações lineares (veja os exemplos nº 4, 5 da mesma lição Os problemas mais simples com uma linha reta em um avião).
Ponto encontrado.
A tarefa é bastante simples e sua solução é óbvia, mas existe um caminho mais curto!
Segunda solução:
As diagonais do paralelogramo são reduzidas à metade por seu ponto de interseção. Marquei o ponto, mas para não atrapalhar o desenho, não fiz as diagonais.
Iguale o lado por pontos 
:
Para verificar, você deve mentalmente ou em um esboço, substituir as coordenadas de cada ponto na equação resultante. Agora vamos encontrar a inclinação. Para fazer isso, reescrevemos a equação geral como uma equação com inclinação:
Portanto, a inclinação é:
Da mesma forma, encontramos as equações dos lados. Não vejo muito sentido em descrever a mesma coisa, então darei imediatamente o resultado final: 
2) Encontre o comprimento do lado. Esta é a tarefa mais simples discutida na lição. Vetores para manequins... Por pontos 
usamos a fórmula:
Usando a mesma fórmula, é fácil encontrar os comprimentos dos outros lados. A verificação pode ser feita muito rapidamente com uma régua comum.
Nós usamos a fórmula 
.
Encontre vetores:
Nesse caminho:
A propósito, ao longo do caminho, encontramos os comprimentos das laterais.
Como um resultado:
Bem, parece verdade, para ser convincente, você pode anexar um transferidor ao canto.
Atenção! Não confunda o ângulo de um triângulo com um ângulo entre linhas retas. O ângulo do triângulo pode ser obtuso, mas o ângulo entre as linhas não (veja o último parágrafo do artigo Os problemas mais simples com uma linha reta em um avião) No entanto, para encontrar o ângulo de um triângulo, você pode usar as fórmulas da lição acima, mas a aspereza é que essas fórmulas sempre fornecem um ângulo agudo. Com a ajuda deles, resolvi esse problema em um rascunho e obtive o resultado. E na cópia limpa teria que escrever desculpas adicionais para isso.
4) Faça uma equação de uma linha reta passando por um ponto paralelo a uma linha reta.
Uma tarefa padrão, discutida em detalhes no exemplo número 2 da lição Os problemas mais simples com uma linha reta em um avião... Da equação geral da linha reta 
retire o vetor de direção. Vamos compor a equação de uma linha reta ao longo de um ponto e um vetor de direção: 
Como faço para encontrar a altura de um triângulo?
5) Vamos fazer a equação da altura e encontrar seu comprimento.
Não há como escapar de definições estritas, então você tem que roubar de um livro escolar:
A altura do triângulo é chamada de perpendicular desenhada do vértice do triângulo até a linha reta que contém o lado oposto.
Ou seja, é necessário traçar a equação da perpendicular traçada do vértice ao lado. Esta tarefa é considerada nos exemplos nº 6, 7 da lição Os problemas mais simples com uma linha reta em um avião... Da equação 
remova o vetor normal. Vamos compor a equação da altura por um ponto e um vetor de direção: 
Observe que não sabemos as coordenadas do ponto.
Às vezes, a equação da altura é encontrada a partir da proporção das inclinações das retas perpendiculares :. Nesse caso, então :. Vamos compor a equação da altura por ponto e inclinação (veja o início da lição Equação de uma linha reta em um plano):
O comprimento da altura pode ser encontrado de duas maneiras.
Existe uma forma indireta:
a) encontramos - o ponto de intersecção da altura e do lado;
b) encontre o comprimento do segmento por dois pontos conhecidos.
Mas na aula Os problemas mais simples com uma linha reta em um avião uma fórmula conveniente para a distância de um ponto a uma linha reta foi considerada. O ponto é conhecido :, a equação da linha também é conhecida: 
, Nesse caminho:
6) Calcule a área do triângulo. No espaço, a área de um triângulo é tradicionalmente calculada usando produto vetorial de vetores, mas aqui está um triângulo no avião. Usamos a fórmula escolar:
- a área de um triângulo é igual à metade do produto de sua base e altura.
Nesse caso:
Como faço para encontrar a mediana de um triângulo?
7) Vamos compor a equação da mediana.
Triângulo mediano é chamado de segmento que conecta o vértice do triângulo com o meio do lado oposto.
a) Encontre um ponto - o meio da lateral. Nós usamos fórmulas de coordenadas de ponto médio... As coordenadas das extremidades do segmento são conhecidas: 
, então as coordenadas do meio são: 
Nesse caminho: 
Nós compomos a equação da mediana por pontos 
:
Para verificar a equação, você precisa substituir as coordenadas dos pontos nela.
8) Encontre o ponto de intersecção da altura e da mediana. Acho que todo mundo já aprendeu a executar esse elemento da patinação artística sem cair: 
