Nos referenciais inerciais, uma mudança na velocidade de um corpo só é possível quando outro corpo age sobre ele. Quantitativamente, a ação de um corpo sobre outro é expressa usando uma quantidade física como a força (). O impacto de um corpo em outro pode causar uma mudança na velocidade do corpo, tanto em magnitude quanto em direção. Portanto, a força é um vetor e é determinada não apenas pela magnitude (módulo), mas também pela direção. A direção da força determina a direção do vetor de aceleração do corpo, que é afetado pela força considerada.
A magnitude e a direção da força são determinadas pela segunda lei de Newton:
onde m é a massa do corpo sobre a qual a força atua - a aceleração que a força transmite ao corpo em questão. O significado da segunda lei de Newton reside no fato de que as forças que atuam sobre um corpo determinam como a velocidade do corpo muda, e não apenas sua velocidade. Observe que a segunda lei de Newton é cumprida exclusivamente em referenciais inerciais.
Se várias forças atuam simultaneamente no corpo, então o corpo se move com uma aceleração, que é igual à soma vetorial das acelerações que apareceriam sob a ação de cada um dos corpos separadamente. As forças que atuam sobre o corpo e aplicadas a seu único ponto devem ser somadas de acordo com a regra de adição de vetores.
DEFINIÇÃO
A soma vetorial de todas as forças que atuam no corpo simultaneamente é chamada força resultante ():
Se várias forças atuam no corpo, a segunda lei de Newton é escrita como:
A resultante de todas as forças que atuam no corpo pode ser zero se houver uma compensação mútua das forças aplicadas ao corpo. Nesse caso, o corpo se move a uma velocidade constante ou está em repouso.
Ao representar as forças que atuam sobre o corpo no desenho, no caso de movimento uniformemente acelerado do corpo, a força resultante dirigida ao longo da aceleração deve ser representada por mais tempo do que a força dirigida de forma oposta (a soma das forças). No caso de movimento uniforme (ou repouso), o comprimento dos vetores de força direcionados em direções opostas é o mesmo.
Para encontrar a força resultante, é necessário descrever no desenho todas as forças que devem ser levadas em conta na tarefa que atua sobre o corpo. As forças devem ser adicionadas de acordo com as regras de adição de vetores.
Exemplos de resolução de problemas
EXEMPLO 1
| A tarefa | O corpo repousa sobre um plano inclinado (Fig. 1), retratam as forças que atuam sobre o corpo, qual é a resultante de todas as forças aplicadas ao corpo? |
| Decisão | Vamos fazer um desenho. Um corpo localizado em um plano inclinado é influenciado pela força da gravidade (), a força da reação normal do suporte () e a força de atrito em repouso (conforme a condição, o corpo não se move) (). A resultante de todas as forças que atuam no corpo () pode ser encontrada pela soma do vetor: Vamos primeiro adicionar a força da gravidade e a força de reação do suporte de acordo com a regra do paralelogramo, obtemos a força. Essa força deve ser direcionada ao longo do plano inclinado ao longo do movimento do corpo. Em comprimento, o vetor deve ser igual ao vetor da força dos espinhos, já que o corpo está em repouso pela condição. De acordo com a segunda lei de Newton, a resultante deve ser igual a zero: |
| Responda | A força resultante é zero. |
EXEMPLO 2
| A tarefa | Uma carga suspensa no ar por uma mola se move com uma aceleração constante para baixo (Fig. 3), quais forças atuam sobre a carga? Qual é a resultante das forças aplicadas à carga? Para onde a força resultante será direcionada? |
| Decisão | Vamos fazer um desenho. A carga suspensa na mola é influenciada pela força da gravidade () da Terra e pela força da mola () (da mola), quando a carga se move no ar, a força de atrito da carga no ar é geralmente desprezada. As forças resultantes aplicadas à carga em nosso problema podem ser encontradas como: |
As leis de Newton são uma abstração matemática. Na realidade, a causa do movimento ou repouso dos corpos, assim como sua deformação, são várias forças ao mesmo tempo. Portanto, um acréscimo importante às leis da mecânica será a introdução do conceito de força resultante e sua aplicação.
Sobre os motivos das mudanças
A mecânica clássica é dividida em duas seções - cinemática, que descreve a trajetória do movimento dos corpos por meio de equações, e dinâmica, que trata das razões para mudar a posição dos objetos ou dos próprios objetos.
A causa das mudanças é uma determinada força, que é uma medida da ação de outros corpos ou campos de força no corpo (por exemplo, um campo eletromagnético ou gravidade). Por exemplo, a força da elasticidade causa a deformação do corpo, a força da gravidade - a queda dos corpos na Terra.
Força é uma grandeza vetorial, ou seja, sua ação é dirigida. O módulo de força no caso geral é proporcional a um determinado coeficiente (para a deformação de uma mola, esta é a sua rigidez), bem como aos parâmetros de ação (massa, carga).
Por exemplo, no caso da força de Coulomb, esta é a magnitude de ambas as cargas, tomado módulo, o quadrado da distância entre as cargas e o coeficiente k, no sistema SI determinado pela expressão: $ k \u003d (1 \\ over 4 \\ pi \\ epsilon) $, onde $ \\ epsilon $ - constante dielétrica.
Combinando forças
No caso em que n forças agem no corpo, elas falam da força resultante, e a fórmula para a segunda lei de Newton assume a forma:
$ m \\ vec a \u003d \\ sum \\ limits_ (i \u003d 1) ^ n \\ vec F_i $.
Figura: 1. Forças resultantes.
Como F é uma grandeza vetorial, a soma das forças é chamada de geométrica (ou vetor). Essa adição é realizada de acordo com a regra de um triângulo ou paralelogramo, ou por componentes. Vamos explicar cada método com um exemplo. Para fazer isso, escrevemos a fórmula para a força resultante na forma geral:
$ F \u003d \\ soma \\ limites_ (i \u003d 1) ^ n \\ vec F_i $
E representamos a força $ F_i $ como:
$ F \u003d (F_ (xi), F_ (yi), F_ (zi)) $
Então a soma das duas forças será o novo vetor $ F_ (ab) \u003d (F_ (xb) + F_ (xa), F_ (yb) + F_ (ya), F_ (zb) + F_ (za)) $.
Figura: 2. Adição de componentes de vetores.
O valor absoluto da resultante pode ser calculado da seguinte forma:
$ F \u003d \\ sqrt ((F_ (xb) + F_ (xa)) ^ 2 + (F_ (yb) + F_ (ya)) ^ 2 + (F_ (zb) + F_ (za)) ^ 2) $
Agora vamos dar uma definição estrita: a força resultante é a soma vetorial de todas as forças que afetam o corpo.
Vamos analisar as regras do triângulo e do paralelogramo. Graficamente, é assim:
Figura: 3. Regra do triângulo e paralelogramo.
Exteriormente, eles parecem ser diferentes, mas quando se trata de cálculos, eles se resumem a encontrar o terceiro lado de um triângulo (ou, o que é o mesmo, a diagonal de um paralelogramo) usando o teorema do cosseno.
Se houver mais de duas forças, às vezes é mais conveniente usar a regra do polígono. Em seu núcleo, ainda é o mesmo triângulo, repetido apenas em uma figura várias vezes. Se, como resultado, o contorno é fechado, a ação total das forças é zero e o corpo está em repouso.
Tarefas
- A caixa, localizada no centro do sistema de coordenadas retangulares cartesianas, é atuada por duas forças: $ F_1 \u003d (5, 0) $ e $ F_2 \u003d (3, 3) $. Calcule a resultante por dois métodos: de acordo com a regra do triângulo e usando a adição de vetores de componentes.
Decisão
A força resultante é a soma vetorial de $ F_1 $ e $ F_2 $.
Portanto, escrevemos:
$ \\ vec F \u003d \\ vec F_1 + \\ vec F_2 \u003d (5 + 3, 0 + 3) \u003d (8, 3) $
O valor absoluto da força resultante:
$ F \u003d \\ sqrt (8 ^ 2 + 3 ^ 2) \u003d \\ sqrt (64 + 9) \u003d 8,5 N $
Agora obtemos o mesmo valor usando a regra do triângulo. Para fazer isso, primeiro encontramos os valores absolutos de $ F_1 $ e $ F_2 $, bem como o ângulo entre eles.
$ F_1 \u003d \\ sqrt (5 ^ 2 + 0 ^ 2) \u003d 5 H $
$ F_2 \u003d \\ sqrt (3 ^ 2 + 3 ^ 2) \u003d 4,2 H $
O ângulo entre eles é de 45º, já que a primeira força é paralela ao eixo do Boi e a segunda divide o primeiro plano coordenado pela metade, ou seja, é a bissetriz de um ângulo retangular.
Agora, tendo colocado os vetores de acordo com a regra do triângulo, calculamos a resultante pelo teorema do cosseno:
$ F \u003d \\ sqrt (F_1 ^ 2 + F_2 ^ 2 - 2F_1F_2 cos135) \u003d \\ sqrt (F_1 ^ 2 + F_2 ^ 2 + 2F_1F_2 sin45) \u003d \\ sqrt (25 + 18 + 2 \\ cdot 5 \\ cdot 4,2 \\ Três forças atuam na máquina: $ F_1 \u003d (-5, 0) $, $ F_2 \u003d (-2, 0) $, $ F_1 \u003d (7,0) $. Qual é a sua resultante?
- Basta adicionar os componentes x dos vetores:
Decisão
$ F \u003d -5 - 2 + 7 \u003d 0 $
O que aprendemos?
No decorrer da lição, o conceito de forças resultantes foi introduzido e vários métodos de seu cálculo foram considerados, bem como um registro da segunda lei de Newton foi introduzido para o caso geral quando o número de forças é ilimitado.
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Consideremos agora o caso em que a resultante de todas as forças aplicadas ao corpo não é zero, ou quando apenas uma força atua sobre o corpo. Nesse caso, conforme segue a segunda lei de Newton, o corpo se moverá com aceleração. A velocidade do corpo vai mudar, e o trabalho feito pelas forças neste caso não é zero, pode ser positivo ou negativo. Pode-se esperar que haja alguma conexão entre a mudança na velocidade do corpo e o trabalho realizado pelas forças aplicadas ao corpo. Vamos tentar instalá-lo. Imaginemos, para simplicidade de raciocínio, que o corpo se move ao longo de uma linha reta e a resultante das forças aplicadas a ele é constante em valor absoluto; e é direcionado ao longo da mesma linha reta. Vamos designar esta força resultante através e a projeção do deslocamento na direção da força através Direcione o eixo de coordenadas ao longo da direção da força. Então, como foi mostrado em § 75, o trabalho executado é igual a Direcionar o eixo das coordenadas ao longo do movimento do corpo. Então, como mostrado em § 75, o trabalho A executado pela resultante é igual a: Se as direções de força e deslocamento coincidem, então o trabalho é positivo e o trabalho é positivo. Se a resultante é direcionada em direção oposta à direção do movimento do corpo, então seu trabalho é negativo. A força confere aceleração a ao corpo. De acordo com a segunda lei de Newton. Por outro lado, no segundo capítulo, descobrimos que com movimento retilíneo uniformemente acelerado
Portanto, segue-se que
Aqui está a velocidade inicial do corpo, ou seja, sua velocidade no início do movimento - sua velocidade no final desta seção.
Obtivemos uma fórmula que relaciona o trabalho realizado por uma força com a mudança na velocidade (mais precisamente, o quadrado da velocidade) do corpo causada por essa força.
Metade do produto da massa de um corpo pelo quadrado de sua velocidade tem um nome especial - a energia cinética do corpo, e frequentemente a fórmula (1) é chamada de teorema da energia cinética.
O trabalho de força é igual à mudança na energia cinética do corpo.
Pode-se mostrar que a fórmula (1), derivada por nós para uma força de magnitude constante e direcionada ao longo do movimento, também é válida nos casos em que a força muda e sua direção não coincide com a direção do movimento.
A Fórmula (1) é notável em muitos aspectos.
Em primeiro lugar, segue-se que o trabalho da força que atua sobre o corpo depende apenas dos valores iniciais e finais da velocidade do corpo e não da velocidade com que ele se move em outros pontos.
Em segundo lugar, a partir da fórmula (1), pode-se ver que seu lado direito pode ser positivo e negativo, dependendo se a velocidade do corpo aumenta ou diminui. Se a velocidade do corpo aumenta, então o lado direito da fórmula (1) é positivo, portanto, o trabalho também deve ser assim porque para aumentar a velocidade do corpo (de acordo com valor absoluto) a força que atua sobre ele deve ser direcionada na mesma direção do deslocamento. Ao contrário, quando a velocidade do corpo diminui, o lado direito da fórmula (1) assume um valor negativo (a força é direcionada no sentido oposto ao deslocamento).
Se em ponto de partida a velocidade do corpo é zero, a expressão para o trabalho assume a forma:
A fórmula (2) permite calcular o trabalho que precisa ser feito para informar ao corpo em repouso uma velocidade igual a
O oposto é óbvio: para parar um corpo que se move em velocidade, é necessário trabalhar
muito reminiscente da fórmula obtida no capítulo anterior (ver § 59), estabelecendo entre o momento de uma força e uma mudança no momento de um corpo
Na verdade, o lado esquerdo da fórmula (3) difere do lado esquerdo da fórmula (1) em que a força nele é multiplicada não pelo deslocamento feito pelo corpo, mas pelo tempo que a força atua. No lado direito da fórmula (3) está o produto da massa corporal por sua velocidade (impulso) em vez da metade do produto do peso corporal pelo quadrado de sua velocidade, que aparece no lado direito da fórmula (1). Ambas as fórmulas são uma consequência das leis de Newton (das quais foram derivadas) e as quantidades são características do movimento.
Mas entre as fórmulas (1) e (3) há também uma diferença fundamental: a fórmula O) estabelece uma conexão entre as quantidades escalares, enquanto a fórmula (3) é uma fórmula vetorial.
Problema I. Que trabalho precisa ser feito para que um trem se movendo em uma velocidade aumente sua velocidade Massa do trem. Que força deve ser aplicada ao trem para que esse aumento de velocidade ocorra em um trecho de 2 km? Considere o movimento uniformemente acelerado.
Decisão. O trabalho A pode ser encontrado pela fórmula
Substituindo os dados fornecidos na tarefa aqui, obtemos:
Mas a definição, portanto,
Problema 2, que altura o corpo alcançará quando for jogado para cima em relação à sua velocidade inicial?
Decisão. O corpo se elevará até que sua velocidade seja zero. Apenas a força da gravidade atua sobre o corpo onde está a massa do corpo e é a aceleração da queda livre (desprezamos a força da resistência do ar e a força de Arquimedes).
Aplicando a fórmula
Já obtivemos essa expressão anteriormente (ver p. 60) de uma maneira mais complicada.
Exercício 48
1. Como o trabalho de força está conectado com a energia cinética do corpo?
2 Como a energia cinética de um corpo muda se a força aplicada a ele faz um trabalho positivo?
3. Como a energia cinética de um corpo muda se a força aplicada a ele funciona negativamente?
4. O corpo se move uniformemente em torno de um círculo com raio de 0,5 m, tendo uma energia cinética de 10 J. Qual é a força que atua no corpo? Como é dirigido? Qual é o trabalho desta força?
5. Uma força de 40 N é aplicada a um corpo em repouso pesando 3 kg. Depois disso, o corpo passa ao longo de um plano horizontal liso sem atrito de 3 m. Então, a força diminui para 20 N, e o corpo passa mais 3 m. Encontre a energia cinética do corpo no ponto final de seu movimento.
6. Que trabalho deve ser feito para parar um trem de 1.000 toneladas movendo-se a uma velocidade de 108 km / h?
7. Em um corpo de 5 kg, movendo-se a uma velocidade de 6 m / s, uma força de 8 N atua no lado oposto ao do movimento. Como resultado, a velocidade do corpo diminui para 2 m / s. Que trabalho, em magnitude e sinal, a força fez? Quão longe o corpo viajou?
8. Sobre o corpo, que inicialmente estava em repouso, passa a atuar uma força de 4 N, dirigida em um ângulo de 60 ° em relação ao horizonte. O corpo se move em uma superfície horizontal lisa sem atrito. Calcule o trabalho da força se o corpo percorreu uma distância de 1 m.
9. O que é o teorema da energia cinética?
A primeira lei de Newton nos diz que em referenciais inerciais, os corpos podem mudar sua velocidade apenas se forem influenciados por outros corpos. Com a ajuda da força ($ \\ overline (F) $), eles expressam a ação mútua dos corpos uns sobre os outros. A força é capaz de alterar a magnitude e a direção da velocidade do corpo. $ \\ overline (F) $ é uma quantidade vetorial, ou seja, possui módulo (magnitude) e direção.
Definição e fórmula da resultante de todas as forças
Na dinâmica clássica, a lei básica pela qual a direção e o módulo da força resultante são encontrados é a segunda lei de Newton:
\\ [\\ overline (F) \u003d m \\ overline (a) \\ \\ left (1 \\ right), \\]
onde $ m $ é a massa do corpo sobre a qual atua a força $ \\ overline (F) $; $ \\ overline (a) $ é a aceleração que a força $ \\ overline (F) $ confere ao corpo em questão. O significado da segunda lei de Newton é que as forças que atuam sobre um corpo determinam a mudança na velocidade do corpo, e não apenas sua velocidade. Você deve saber que a segunda lei de Newton é cumprida para referenciais inerciais.
O corpo pode ser influenciado não por um, mas por um certo conjunto de forças. A ação total dessas forças é caracterizada usando o conceito de força resultante. Deixe que várias forças atuem no corpo ao mesmo tempo. Nesse caso, a aceleração do corpo é igual à soma dos vetores de aceleração que surgiriam na presença de cada força separadamente. As forças que atuam no corpo devem ser somadas de acordo com a regra da adição de vetores. A força resultante ($ \\ overline (F) $) é a soma vetorial de todas as forças que atuam no corpo no momento:
\\ [\\ overline (F) \u003d (\\ overline (F)) _ 1 + (\\ overline (F)) _ 2+ \\ dots + (\\ overline (F)) _ N \u003d \\ soma \\ limites ^ N_ (i \u003d 1) ((\\ A fórmula (2) é a fórmula para a resultante de todas as forças aplicadas ao corpo. A força resultante é um valor artificial introduzido para a conveniência dos cálculos. A força resultante é direcionada como um vetor de aceleração do corpo.
A lei básica da dinâmica do movimento translacional na presença de várias forças
Se várias forças atuam no corpo, a segunda lei de Newton é escrita como:
\\ [\\ sum \\ limits ^ N_ (i \u003d 1) ((\\ overline (F)) _ i) \u003d m \\ overline (a) \\ left (3 \\ right). \\]
$ \\ overline (F) \u003d 0 $ se as forças aplicadas ao corpo se cancelam. Então em
sistema inercial a velocidade de referência do movimento do corpo é constante. Ao representar as forças que atuam sobre um corpo na figura, no caso de movimento uniformemente acelerado, a força resultante é representada por mais tempo do que a soma das forças que são opostas a ele. Se o corpo se move a uma velocidade constante ou está em repouso, os comprimentos dos vetores de força (a resultante e a soma das forças restantes) são os mesmos e eles são direcionados em direções opostas.
Quando as forças resultantes são encontradas, a figura mostra todas as forças consideradas na tarefa. Essas forças são somadas de acordo com as regras de adição de vetores.
Exemplos de tarefas para as forças resultantes
Exemplo 1
A tarefa.
Um ponto material é influenciado por duas forças dirigidas a um ângulo $ \\ alpha \u003d 60 () ^ \\ circ $ entre si. Qual é a resultante dessas forças, se $ F_1 \u003d 20 \\ $ H; $ F_2 \u003d 10 \\ $ H? Decisão.
Vamos fazer um desenho. As forças na Fig. 1 adicionamos de acordo com a regra do paralelogramo. O comprimento da força resultante $ \\ overline (F) $ pode ser encontrado usando o teorema do cosseno:
Vamos calcular o módulo da força resultante:
Responda.
$ F \u003d 26,5 $ H Exemplo 2
As forças atuam em um ponto material (Fig. 2). Qual é a resultante dessas forças?
Um ponto material é influenciado por duas forças dirigidas a um ângulo $ \\ alpha \u003d 60 () ^ \\ circ $ entre si. Qual é a resultante dessas forças, se $ F_1 \u003d 20 \\ $ H; $ F_2 \u003d 10 \\ $ H? As forças resultantes aplicadas ao ponto (Fig. 2) são iguais a:
Vamos fazer um desenho.{!LANG-07aad47fc96b013388d245442b5b95eb!}
\\ [\\ overline (F) \u003d (\\ overline (F)) _ 1 + (\\ overline (F)) _ 2 + (\\ overline (F)) _ 3 + (\\ overline (F)) _ 4 \\ left (2.1 \\ right). \\]
Encontre as forças resultantes $ (\\ overline (F)) _ 1 $ e $ (\\ overline (F)) _ 2 $. Essas forças são direcionadas ao longo de uma linha reta, mas em direções opostas, portanto:
Como $ F_1\u003e F_2 $, a força $ (\\ overline (F)) _ (12) $ é direcionada na mesma direção que a força $ (\\ overline (F)) _ 1 $.
Encontre as forças resultantes $ (\\ overline (F)) _ 3 $ e $ (\\ overline (F)) _ 4 $. Essas forças são direcionadas ao longo de uma linha vertical (Fig. 1), o que significa:
A direção da força $ (\\ overline (F)) _ (34) $ coincide com a direção do vetor $ (\\ overline (F)) _ 3 $, uma vez que $ (\\ overline (F)) _ 3\u003e (\\ overline (F)) _ 4 $.
A resultante, que atua em um ponto material, é encontrada como:
\\ [\\ overline (F) \u003d (\\ overline (F)) _ (12) + (\\ overline (F)) _ (34) \\ left (2.2 \\ right). \\]
As forças $ (\\ overline (F)) _ (12) $ e $ (\\ overline (F)) _ (34) $ são perpendiculares entre si. Encontre o comprimento do vetor $ \\ overline (F) $ pelo teorema de Pitágoras: